1、精品资源课题： 10 3 组合(五 )教学目的：1 对排列组合的知识有一个系统的了解，从而进一步掌握；2能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题；3提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力教学重点： 排列、组合综合问题教学难点： 排列、组合综合问题授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：学生易于辨别组合、 全排列问题， 而排列问题就是先组合后全排列. 在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排
2、列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述. 也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程. 据笔者观察， 有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法） . 要解决这个问题， 需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能
3、说明问题 . 久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法 . 若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解. 教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法教学过程 ：一、复习引入：1 分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方法，, ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法欢下载精品资源2. 分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分
4、成n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，,，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn种不同的方法3排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列4排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的 排列数 ，用符号 Anm 表示5排列数公式：m(1)(n2)(n m1)（ m, n N , m n ）Ann n6 阶乘： n! 表示正整数 1 到 n 的
5、连乘积，叫做 n 的阶乘 规定 0! 17排列数的另一个计算公式：Anm =n!(nm)!8 组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出m mn 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个 组合说明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同9组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 m mn 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 用符号mCn表示10组合数公式： Cnm Anmn(n 1)(n2) (nm 1)Ammm!或 C mnn!(n, mN , 且mn)m!( n m)!11 组合数的性质1： CnmCnn m规定：
6、Cn01 ；12组合数的性质2： Cnm 1 Cnm + Cnm 1二、讲解范例：例 1某考生打算从7 所重点大学中选3 所填在第一档次的3 个志愿栏内，其中欢下载精品资源A 校定为第一志愿； 再从 5 所一般大学中选 3 所填在第二档次的三个志愿栏内，其中 B 、 C 两校必选，且 B 在 C 前 问：此考生共有多少种不同的填表方法？解：先填第一档次的三个志愿栏：因A 校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有A62 种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B 、 C 两校有 C32种填法， 剩余的一个志愿栏有 A31 种填法 由分步计数原理知， 此考生不同的填表方法共有 A62 C32A
7、31270 （种）A例 2 如图是由 12个小正方形组成的3 4 矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点 B 的不同路径之中， 最短路B径有条解： 总揽全局： 把质点沿网格线从点A 到点 B 的最短路径分为七步， 其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，因此，本题的结论是：C7335 例 3 圆周上有 12 个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？解：要使交点个数最多，则只需所有的交点都不重合显然，并不是每两条弦都在圆内有交点，但如果两条弦相交，则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是
8、一一对应的因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即C124 495 个变式 ：本题构造了四边形以求得满足条件的交点，类似的，前面讲过一个问题：以一个正方体的8 个顶点连成的异面直线共有对解：以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有C8412 58 个，每个四面体的四条棱可以组成3 对异面直线，因此以一个正方体的8 个顶点连成的异面直线共有 3 58 174 对另解 ： 3 2C 43C41C42 C42 10174 对例 4 有 10 只不同的试验产品，其中有 4只次品，6 只正品，现每次取一只测试，直到 4 只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？解：本题
9、实质是，前五次测试中有1只正品 4 只次品，且第五次测试的是次品思路一： 设想有五个位置， 先从 6 只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上， 有 C61C41 种方法；再把 4 只次品在剩下的四个位置上任意排列，有 A44 种欢下载精品资源排法 故不同的情形共有 C61C41 A44576 种思路二： 设想有五个位置， 先从 4 只次品中任选 1只，放在第五个位置上，有 C41 种方法；再从 6 只正品中任选1 只，和剩下的 3 只次品一起在前四个位置上任意排列，有 C61 A44 种方法 故不同的情形共有 C41C61 A44576 种例5 在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有 2
10、人，他们各赛了 3 场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83 场，问：比赛开始时参赛者有多少人？解：需要考虑两种情况：第一种，因故退出比赛的两人之间没有进行比赛，则Cn22 6 83 ，此方程无正整数解；第二种，因故退出比赛的两人之间进行了比赛，则 Cn226 1 83，解得 n15 ，所以，比赛开始时参赛者有15 人三、课堂练习 ：1. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们356有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可4B7以通过的最大信息量，现从结点A 向结点 B 传递信息，信息66可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息8量为（ ）A 26B
11、 24C 20D 192学校召开学生代表大会，高二年级的3 个班共选 6 名代表，每班至少 1 名，代表的名额分配方案种数是（ ）A 64B 20C 18D 103 3 名医生和 6 名护士被分配到3 所学校为学生体检，每所学校分配1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有（）A 90B 180C 270D 5404公共汽车上有 4 位乘客，汽车沿途停靠 6 个站，那么这4 位乘客不同的下车方式共有种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4 位乘客不同的下车方式共有种5 4 名男生和 3 名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（ 1）男生必须排在一起；（ 2）女生互不相邻；（ 3）男
12、女生相间；（ 4）女生按指定顺序排列6有排成一行的7 个空位置，3 位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有种不同的坐法7赛艇运动员 10 人， 3 人会划右舷， 2 人会划左舷，其余5 人两舷都能划，现要从中挑选 6 人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有种选法12A12欢下载精品资源8 A, B, C , D , E5 位同学进行网页设计比赛，决出了第1 至第 5 名的名次A 、B 两位同学去询问名次，主考官对A 说：“很遗憾，你和B 都未拿到冠军” ；对B 说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5 位同学的名次排列共可能有种不同的情况9学校餐厅供应客饭， 每位学生可以在餐厅提供的
13、菜肴中任选2 荤 2 素共 4 种不同的品种，现在餐厅准备了5 种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备种不同的素菜种10有 10 只不同的试验产品，其中有 4 只次品， 6 只正品， 现每次取一只测试，直到测出 1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有_ 种11圆周上有 12 个等分点，以其中3 个点为顶点的直角三角形的个数为个答案： 1. D2. D3. D4.641296,C64 A443605. A44 A44576 A44 A531440 A33 A44144 A748406.A53607. C33C735C63 C32C52C
14、53C31C53C436758.3 3 A33549. C52Cx2200xmin710.C64C44C41144011.C61C10160四、小结 ：1解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决 一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；2解决计数问题的常用策略有： （ 1）特殊元素优先安排； （ 2）排列组合混合题要先选（组合）后排； （ 3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部） ；（ 4）不相邻问题插空处理； （ 5）顺序一定问题除法处理； （ 6）正难则反，合理转化五、课后作业 ：六、板书设计（略）七、课后记：欢下载
