1、运 输 包 装,机电学院 卢杰,第二章 包装动力学理论基础,概 述,机械振动物体在平衡位置附近所作的周期性往复运动。 振动问题： 1）振动分析 2）环境预测 3）振动特性测定,概 述,包装件一般由结构复杂的内装物、非线性黏弹性缓冲垫、瓦楞纸箱等外包装等组成。自由度描述系统运动的独立坐标的数目。动画演示,单自由度线性系统的自由振动,1 无阻尼系统的自由振动 在不考虑阻尼的情况下，包装件最简单的力学模型可视作图所示的质量弹簧系统。 振体在受到初干扰(初位移或初速度)后，仅在系统恢复力的作用下在平衡位置附近作往复运动称为自由振动。 动画演示,单自由度线性系统的自由振动,(1)无阻尼系统自由振动的微分
2、方程及其解 Wkst,单自由度线性系统的振动,若仍以静平衡位置为原点，过O点铅垂向下选作x轴正方向，则振体从静平衡状态受到初干拢后偏离O点，取偏离任意x位置的振体为对象，弹性力F的值为： F-k(x+st)于是振体的运动微方程为：上式可简化为可以看出：振体受到的仍是线性恢复力，故振体作自由振动。,单自由度线性系统的振动,令 上式可写为： 这是自由振动微分方程的标准形式，是二阶常系数线性齐次微分方程。此方程的解为： 代入振体运动的初始条件： 可得： 所以：,单自由度线性系统的振动,若再令 则上式可改写为：式中 由此可知，振体在线性恢复力作用下的自由振动是简谐运动，振动中心在平衡位置。 A称为振幅
3、，是振体偏离振动中心的最大距离。它反映振体自由振动的范围。(nt+)称为相位，称为初相位。A和由运动的初始条件定。,单自由度线性系统的振动,(2)周期和频率 振体每振动一次所需的时间称为周期，以T表示。在简谐运动情况下，每经过一个周期，相位就增加2，故有 振体在每秒内振动次数称为固有频率，以f表示。它与周期T互为倒数，即： 从前面已知，简谐运动的圆频率,单自由度线性系统的振动,n称为系统的固有圆频率(或自然圆频率)，它表示振体在2秒内振动的次数，单位为弧度秒(rads)。 固有圆频率只决定于系统的基本参量振体的质量m和弹簧常数k，而与运动的初始条件无关。对于确定的系统，不论运动的初始条件如何，
4、振体总是以其固有圆频率n进行振动。 图(a)所表示的质量弹簧系统的周期和固有圆频率还和重力作用下的静变形有关，代入前式可得 而周期,单自由度线性系统的振动,(3)计算固有频率的能量法 有势力像重力、弹性力这一类力，其大小仅与空间位置有关，所作的功与路径无关，只取决于始末位置。 势能由某位置到选定的零势面，有势力所作的功称为物体在该位置具有的势能。 当一质点仅受有势力作用时，其动能和势能之和是常量，即机械能守恒。,单自由度线性系统的振动,设取平衡位置为坐标原点，在振动中，当振体运动到任意位置x且有速度时， 系统的动能为： 系统的势能为: 在振动过程中，当振体达到平衡位置时，系统的势能为零，振体的
5、速度最大，其动能也最大。故这时系统的全部机械能El就等于最大动能，即：,当振体运动到极端位置Xmax时，由于速度等于零，故其动能为零，这时系统的势能达到最大值,且等于全部机械能E2，即：,由于机械能守恒(E1=E2),在自由振动中，振体作简谐运动，振动的规律为：,代入,单自由度线性系统的振动,(4)串联弹簧和并联弹簧的等效刚度 两弹簧串联 因为两个弹簧所受的压力大小都等于所放置的物体重量mg，故两个弹簧的静伸长分别为： 则两串联弹簧的总伸长st应等于两个弹簧的静伸长之和,即:,单自由度线性系统的振动,若用另一个弹簧常数(刚度)为K的弹簧，来代替原来两个串联弹簧，使两个系统在相等重力mg作用下有
6、相同的静伸长st，则有：于是得:推广到n个弹簧的串联有:,单自由度线性系统的振动,两弹簧并联 物块在重力mg作用下作铅垂平动，设静伸长为st，两弹簧的压力分别为F1，F2，于是故,单自由度线性系统的振动,若用另一弹簧常数（刚度）为k的弹簧来代替原来的两个并联弹簧，使两个系统在放置同一物体时具有相同的静伸长st， mg=Kst比较上面两式有 Kk1+k2,单自由度线性系统的振动,推而广之，n个并联弹簧则有 弹簧串联后,其等效刚度变小； 弹簧并联可使其等效刚度变大。,单自由度线性系统的振动,例1 缓冲衬垫排列如图(a)所示，已知：kl175Nmm，k2875Nmm，k3：657Nmm 求等效弹簧刚
7、度。解：题中衬垫可简化为弹簧的串联和并联。假定产品m，其力学模型如图（b），其中k1和k2并联: k1,2=k1+k2=175+87.5 =262.6N/mm k1,2和k3串联,衬垫的等效刚度k为:,单自由度线性系统的振动,2 有阻尼系统的自由振动 任何缓冲包装材料都是有阻尼的，阻尼的形式很多，常见的有干摩擦阻尼和材料内阻尼等等。最常见也最简单的是粘滞阻尼。 当振体以不大的速度在流体介质(如空气、油类等)中运动时，介质给振体的阻力的大小与振体速度的一次方成正比，即 其中c称为粘滞阻尼系数，它决定于振体的形状、大小和介质的性质，其单位为牛顿秒米(Nsm)，式中负号表示阻力与速度的方向相反。,单
8、自由度线性系统的振动,2.1力学模型 取静平衡位置为坐标原点，铅垂向下为x轴的正方向。在振动中，振体除受到弹性恢复力F一kx作用外，还受到粘滞阻尼的作用，如图所示。 动画演示,单自由度线性系统的振动,2.2系统的运动微分方程 或 这是二阶常系数线性齐次微分方程。设它的解为： 将它代入方程，得到代数方程： 称它为该系统的特征方程。 方程的根：,单自由度线性系统的振动,根据(c/2m)2-k/m的值是零、是正数还是负数，这个解取有三种不同的形式。 当这个值为零时，有 或在这种情况下得到重根：原方程的解为：因为产生重根的情况具有特殊意义，所以我们把相应的阻尼系数的值称为临界阻尼系数，记为：,单自由度
9、线性系统的振动,特征方程的根改为： 令： 是系统中实际存在的阻尼与该系统临界阻尼系数之比，称为阻尼比。 特征方程根的性质取决于阻尼比的值是小于，等于还在大于。,单自由度线性系统的振动,(1)当 或 此时，特征方程的两个根都是虚根，即：,描写振体运动的微分方程的解为：,单自由度线性系统的振动,d是有阻尼时的圆频率，是相位差。上式可以理解为具有不变的频率d和相位差，但具有按指数规律衰减的振幅 振动，常数A和决定于初始条件。 曲线 为振动响应的包络线。系统称为弱阻尼系统，阻尼低于临界阻尼。 这种衰减振动的周期记为T1，有 在小阻尼情况下，T1略大于无阻尼自由振动的周期T，因为较小，对系统周期影响较小
10、，因此在小阻尼情况下，这种变化可以不计。,单自由度线性系统的振动,单自由度线性系统的振动,设相邻两次振动的振幅分别为Ai和Ai+1，则其振幅比为：方程表明；任意两个相邻振幅的比值都是常数，通常用振幅比的自然对数来表示幅值的衰减率，称为对数衰减率。,单自由度线性系统的振动,(2) 这种系统称为临界阻尼系统。 可以把原微分方程解写成 它表示一个按指数规律衰减的响应，A和B取决于初始条件。,单自由度线性系统的振动,(3) 当 这种系统称为过阻尼(或强阻尼)系统。特征方程的两个根都是负实根即： 所以位移是两个衰减指数函数的和即：,单自由度线性系统的振动,单自由度线性系统的振动,例2已知单自由度小阻尼系
11、统在t3=3.2s时的第三个振幅比t2=3.1s,这时的第二个振幅降低20%,试求此系统的阻尼比和固有频率.解:对数衰减率为:代入式得:或近似计算的误差只有0.6%。,单自由度线性系统的振动,由于振动周期T1t3-t2=0.1s，所以得此阻尼系统的固有频率为：或 利用d的值可求出 如果已知此系统的质量m，利用n值可确定出系统的刚度k。,单自由度系统的强迫振动,1 简谐激振力的强迫振动 包装件的运输过程中会受到长时间或瞬时的激励，这种激励所引起的振动称为强迫振动（或受迫振动）。假定这种激励为简谐扰力。 以静平衡位置为坐 标原点，x坐标向下为正， 则该系统的运动微分方程为： 动画演示,单自由度系统
12、的强迫振动,它的解由两部分组成。即：其中x1是对应的齐次方程的通解。 设1，则x1是一个衰减运动，它将随着时间的推移很快衰减为零，称这个解为瞬态解，通常不加考虑。为讨论方便，微分方程可改写为：,单自由度系统的强迫振动,其中， ， ，假定方程的特解x2为：式中，B为强迫振动的振幅，为相位差，其值待定。对上式求导得： 将以上三式代入微分方程得：,代入上式,单自由度系统的强迫振动,化简得：或： 强迫振动的振幅B和相位差只决定于系统本身特性和干扰力的性质，与运动初始条件无关。,单自由度系统的强迫振动,微分方程的通解为： 方程特解所描述的运动，表示有阻尼系统对干扰力的响应，只要这个激振函数继续作用，此运
13、动就会持续存在。特别是当齐次解表示的自由振动按指数规律衰减而完全消失以后，此运动仍将继续存在。因此，把强迫振动响应称为稳态解。系统在简谐激振力作用下的稳态受迫振动也是简谐运动，其频率与激振力相同，但存在相位差。,单自由度系统的强迫振动,动画演示,单自由度系统的强迫振动,令 (称为频率比)，则有 稳态解可写为：令 ，称为静力偏移，表示在力幅的静力作用下系统的偏移。则,单自由度系统的强迫振动,受迫振动的振幅B与静力B0之比值，表示干扰力对振动系统动力作用的效果，称为动力放大系数，用表示，即： （1）动力放大系数的变化只取决于和。为了便于分析，以为参变量，由上式可得出不同的一系列-曲线幅频特性曲线或
14、共振曲线。,单自由度系统的强迫振动,当1即 n(低频段)，各条曲线的动力放大系数都接近于1，即受迫的振幅B接近于静力偏移B0，也就是说缓慢交变的干扰力的动力作用接近于其静力作用。当即n时(高频段)，各条曲线的都趋近于零。这表明干扰力交变极其迅速时，振体由于惯性几乎来不及振动。对于0.707时，振幅已不再有最大值，共振现象也就不存在了。,当0，即为无阻尼情况时，由式(1)可得： 在离开共振频率足够远的地方，不论值如何，各条曲线彼此很靠近。这说明在和n不太接近时，阻尼对振幅的影响是很小的，这时小阻尼系统和无阻尼系统的响应几乎没有差别。因此一般认为在1.25时，可以按无阻尼系统来计算值。,单自由度系
15、统的强迫振动,3 在图示的振动系统中，已知弹簧常数k4.38N/mm，物块质量m=18.2kg，粘滞阻尼系数c0.149Nsmm，干扰力的力幅F044.5N，干扰力频率=15rad/s,试求振体的受迫振动。解：由已知数据可求得系统的固有频率：静力偏移:临界阻尼系数:,单自由度系统的强迫振动,阻尼比:频率比:动力放大系数:受迫振动的振幅:,单自由度系统的强迫振动,相位差:故振体的受迫振动的运动方程为:,单自由度系统的强迫振动,2 简谐激振位移的强迫振动设支座作简谐运动即：若仍取振体m的位移坐标为x，并向下为正，则当振体离开静平衡位置的距离为x时，弹簧的变形为x-xs，而振体与支座的相对速度则为
16、。从而在振体m上作用的弹性恢复力和阻尼力 。列出系统振动的运动微分方程式：或,代入 并加以整理得： （2）设（2）式的稳态解为：可以求得：将振体振幅与支座振动的振幅的比值（或者输出与输入振幅之比值）定义为传递率Tr，那么：,单自由度系统的强迫振动,如果把弹簧和阻尼器（对于包装件来说就是缓冲材料）当作隔振体，常选择弹簧常数k和阻尼系数c，从而选定和的值，使得在给定情况下传递率为最低。,单自由度系统的强迫振动,单自由度系统的强迫振动,当1。振体振幅会被放大，当1时，系统还要发生共振。因此这一区域称作放大区。包装件的运输工具在启动和停止过程中有可能经过这一放大区，因而在隔振体内应有适当的阻尼，以减小
17、运输工具经过共振区时的最大振幅。在 的区域内，Tr1，这时才有隔振效果，故称为隔振区，而且随着的增加，隔振效果增大。在实用中取2.55已经足够。,例2-4 包装件内装产品在静平衡时压缩缓冲衬垫引起的静变形为5.08cm，如果此包装件放在运输车上，支座扰频为15.7（rad/s），支座扰力幅值为 ，求产品最大位移和最大加速度。解：系统固有频率：,题中未计阻尼所以,负号表明输入与输出反相。,单自由度系统的强迫振动,单自由度系统的强迫振动,由于输出公式为因此： 同理，对于输入 有：所以 因此，最大输出加速度为：,产品偏离平衡位置的最大距离为1.42cm，且和车箱底板不同步。车箱底板振幅为。,单自由度系统的强迫振动,
