1、Bzier 曲线约束降多阶的算法分析与比较摘 要： 为了产品外形数据的压缩与传递得以顺利进行,急需开发参数曲线降阶这一项关键技术,特别是构造 L2范数下 Bzier 曲线带高阶端点插值条件的 降多阶算法,并分析各类算法的每个优缺点.这是当前计算机辅助设计(CAD)领域的热门课题之一.基于工程的应用需要,对国际 CAD 期刊近年来发表的此课题中最有代表性的4种算法,从理论机理、误差预测、表达形式、逼近精度、机时消耗这5个方面,作了系统的剖析与对比,并用大量实例对算法效果进行比较,指明了各种算法的优缺点,找到了一种最优的算法,从而为外形设计及图形显示系统的研制提供了富有参考价值的意见.关键词： 算
2、法比较；Bzier 曲线；降多阶；端点约束； L2范数Analyse and comparison for some algorithms of multi-degree reduction with constrained Bzier curvesAbstract: In order to actualize the compression and communication of product model data successfully, it is urgently required to develop a key technique, the reduction of para
3、meter curve, especially to construct an algorithm for multi-degree reduction of Bzier curves with constraints of endpoints continuity of high degree in L2-norm, and to analyze every strongpoint and shortcoming of all kinds of algorithms. This is one of the popular project in the field of Computer Ai
4、ded Design (CAD) at present. Based on the request of application of engineering to practice, four typical algorithms, published in the international CAD journals these years, are roundly analyzed and compared according to their theoretical mechanism, error forecast, expression form, approximation ac
5、curacy and computing time. Also numerical tests are made to validate and compare the arithmetic effect by using many samples. Then the merits and weaknesses of the above various methods are indicated, and an optimal algorithm is found. Thus the valuable suggestions to the development of shape design
6、 and graphics display systems are provided.Key words: Algorithm comparison; Bzier curve; multi-degree reduction; constraints of endpoints; L2-norm参数曲线的降阶技术,应用于外形设计系统中对数据的压缩、交换和传递 1,2,是当前计算机辅助设计领域的热点课题之一.在众多降阶算法中,L 2范数下 Bzier 曲线约束降多阶的算法相当典型而实用 3,4,占有重要的一席之地,因而倍受人们关注.这一研究的进程,大致上可按其技术指标划分为2002年前、后两个阶段.
7、在2002年以前, 各种算法不能同时实现曲线端点高阶插值与降多阶；文献5 冲破了这种局限,使得两者同时实现,开启了第2研究阶段.值得注意的是：2002年以来,围绕这一专题,国际上的专业或综合期刊恰好每年都发表一篇代表性论文 5-8,每篇论文都提出一个新颖算法.虽然这些算法从理论上来看各有创新,从使用上来看各有规则,却至今未有人对它们的原理从对比的角度进行分析,对它们的优缺点以求实的态度展开评论,因而技术人员难免有一种无所适从之感.这对工程应用无疑是一个障碍.尤其令人困惑的是,这些算法中哪个精度最大或耗时最少还是一个谜.那么, 就有必要用同一批样本对它们进行统一的试验与比较.另一方面,透过公式的
8、外在形式,从相互比较中去搞清各种算法的几何内涵及代数关系也具有重要的理论意义.基于这种思考,本文对这4种代表性的降阶逼近算法,从理论机制、误差预测、表达形式、逼近精度、机时消耗这5方面作了系统的梳理与比较,旨在揭示其原始思想,评介其长处短处,并用大量实例进行验证,希望为外形设计系统的降阶运算提供富有参考价值的意见.为便于比较,本文把这4篇论文中有关算法与公式的形式在保持原意的前提之下作了较多改写,并把各种几何参数用统一的符号加以表达；4篇论文的算法分别简记为算法1 5,算法2 6,算法3 7以及算法4 8.1 符号与定义定义 1. 假设 , 是 次3iPR()niBtBernstein 基,
9、若对 次 2;=LBzier 曲线 , , 0()niitt10存在 次 Bzier 曲线m,使得两者按某一范数0()=()QiitBt意义的距离达到最小,且满足 ()()()()1 01kkllnmnmrsP,PQ;, 则称这种降阶为在该范数意义下带次端点插值条件的 Bzier 曲线(1)rs,降 阶. 定义 2. 在 L2 范数意义下,曲线相对于曲线 的逼近误()mtQ()ntP差定义为 2 1120()()dnnmLttttPQ.定义 3. 对一条已知的 Bzier 曲线,如果只有求出其相应的降多阶曲线以后,才能算出其逼近误差,则称该降阶逼近不能进行误差预测,称其误差为事后误差；否则,称
10、该降阶逼近能进行误差预测,称其误差为先验误差.降阶误差预测对工程具有明显价值. 若先验误差大于公差,可避免盲目降阶,而是先对原曲线分割,再对子曲线求先验误差, 直到其小于公差,再施行降阶.2 4 种约束降多阶算法的剖析2.1 算法 1 5的分析算法的新颖思想是把原曲线 分解()ntP为 3 个独立的部分,让它们各司其职： 1001() 2() nrmi insi iristnBBtQ.P,-=-+-其中第 1 和第 3 部分作为欲求降阶曲线和式的首段与末段,次数均为 次,因而将只需分别执行保左右端点高阶插值的功能而不必考虑降阶；中间部分的曲线 在两端点I处分别有直到 次的零导1()rs,矢,
11、因而将只需执行降多阶逼近的功能而不必考虑保证端点约束.这样就解决了以往降多阶与端点高阶插值不能兼顾的矛盾.本方法在降多阶逼近中,应用了 Jacobi多项式的最佳最小平方逼近性质.先把曲线化为以 为控制顶点的 次I2iPnrs-Bzier 曲线 与 的乘积 ,再把曲线I(1)st-化为 ,即以 为I320nrsr,iiJ-=3iP控制顶点的 次 Jacobi 曲线 ；应I用 Jacobi 多项式逼近理论 ,曲线 的前项是对它的最佳最小平方逼近,rs-所以这前 项的 倍是对曲m-(1)srt-线 的最佳最小平方逼近. 剩下的问题只是I将曲线 的前 项化回以 为控r4iP制顶点的 次 Bzier 曲
12、线 ,并把s-IV曲线 与 的乘积化为降阶曲线IV(1)t和式的中间段.最后综合起来,曲线)mt就可同时实现端点 次插(1)rs,值与降多阶.该算法不能进行误差预测,事后误差为 2 11 23s(2)()()dnmLrr,i iittxJx PQ()0+1 012nirsniniJxixBn, ,从以上分析可看出, 该算法的优点是分解原曲线为 3 个独立的部分再应用Jacobi 多项式的逼近性质,首次解决了端点约束与降多阶在实现过程中的矛盾；但也正因为分解所得的第 1 和第 3 部分是仅按端点约束条件决定的,被隔绝于逼近过程之外,没有与第 2 部分一起作为一条完整的曲线去实行最小平方逼近,所以
13、算法的最终逼近精度未必最佳；此外,虽然该算法的降阶曲线并不以显式表达,但具有显式表达的潜力；3 年后,文献9把它改进为矩阵形式的显式表达.2.2 算法 26的分析算法的基本思想是着眼于几何逼近技术, 对原曲线控制顶点作一个最小扰动来得到约束降多阶曲线.其理论创新在于作者证明的这样一个结论：Bzier 曲线在区间两端点带 次插值条件的降0,1(1)rs,多阶最佳 L2 逼近问题,等价于按照加权 0,1;()()(), 1 .i insirwiris 的 Euclidean 范数去寻求其控制顶点的带约束的最小扰动量.因此,该问题的目标为用此待定最小扰动向量来表达的降阶曲线,与原曲线的加权 Eucl
14、idean 距离为最小,亦即问题被归结为求控制顶点的加权最小二乘扰动, 而条件是降阶曲线升阶以后其各个高次项系数为 0.于是按 Lagrange 乘子法可求出最佳扰动量与降阶曲线.上述思想是新颖而深刻的.不过有一点小的缺憾.仅当降阶次数为 1,即 时, 1mn降阶曲线控制顶点 才具有显式表示；而iQ且这时没有提供先验误差,仅求得其事后误差函数为 20(1) (1) 01insniirinnsjjj jrjEtBtwwtP,.（ ）特别, 当 时, 此误差函数可化简, 从rs而这时有一个粗略的上界.当降阶次数大于 1,即 时,降mn阶曲线的控制顶点不能用显式表示,其扰动量 须根据 Lagrang
15、e 乘子()e,irns法, 从下列极小化问题 ( 为待定乘子)Ljm去求得： 210min(,)mi jnsniij irji-sjiiirjwjePe.而 则根(0Q,;,i 据端点处 次插值条件去求得, 1)rs且这时没有提供先验误差与事后误差.如果要得到显式降阶公式,只能逐次降阶,那样做显然会影响逼近精度与上机时间.从以上分析可知, 该算法的优点在于把几何逼近与范数等价逼近相结合, 具有最佳逼近精度；略为不足之处是：除了逐次降阶, 它没有显式表达式与误差表达式,更没有先验误差.2.3 算法 37的分析算法的创新思想是利用两个正交补空间的等价性,把 范数意义下 Bzier 曲线2L的约束
16、降多阶问题,转化为加权 Euclidean范数意义下满足端点条件的最小二乘求解问题,最后的解借助广义逆矩阵来表示.为了方便,下面以 Bzier 曲线的分量来进行算法评述.把两端点分别有直到次零导数的 次多项式1()rs,n全体所张成的空间记为 , ()() ,0,0;,1;1,knnnlftffkrls 可以证明, 的子空间sn相对于 内积()rsm2L10,:(dLfgft的正交补空间等同于它相对于其 Bzier 纵标之加权 2iinnirs的 Euclidean 内积的00(),()nniiiiBtftg:nsirf正交补空间.利用此性质,可推得：对已给 次 Bernstein 多项式n,
17、寻求 次多项式0()()niiftBtfm的逼近问题gm()()()()()i 0, 1;,1; kknntllmftgtfgrs无论相对于 内积, 还是相对于加权2LEuclidean 内积 , 均有相同的极小解. 于是, 已知 次 Bernstein 多项式n的 Bzier 纵标 ()nft01(,),nff去求约束降多阶多项式 的 Bzier 纵标)tgm的问题, 就进一步转化01,g为在 00!,()() 1;!,()() 0;kkl lnmfgrfs的条件下,按 上加权 Euclidean 内积的+1R一个最小二乘求解问题 ,m+1RingfT, ,(1) .ijijnmnTttij
18、i把欲求的解 分解为已知部df分 和未知部分 ,即有 ,则最fgfTg后的解可借助于升阶矩阵 的广义逆矩阵来表出.从以上分析可看出,该算法的优点是利用范数意义的等价转换,把约束降多阶转化为条件控制下的最小二乘问题.但它不能预测误差,没有给出事后误差,也没能证明具有最佳的逼近误差.此外,其降阶曲线并不以显式表达,只是对部分中间结果有显式表达.还须指出,文献7给出的权是错的.文献10纠正了此错误 , 把原表达式 改正为i：*i*()1), , ,()(), .1iiiirisrsnrnirss 在本文第 3 节的实例中, 系采用纠正后的权. 若用原文献7的权,则逼近误差还将明显增大.2.4 算法
19、48的分析算法的基本思想是把原曲线与欲求的降阶曲线()=Pntx之(21,Qmt )x差分解为关于权函数的 次rs)1)(snJacobi 多项式曲线 与函数(ns的乘积, 即2(1srsrrxt(2)(2)10) ()= 1ssnmnrssrrnrssrrxxJJ, ,PQbb. 上式有一石四鸟之功效： 1. 它轻松地满足了降阶曲线的端点 次插值；(1)r,2. 它自然地诱导了降阶逼近的先验误差 ：E221() (1)dnmLsrnsEtttPQ.再应用 Jacobi 多项式 在2,0nrsrllJx上关于权函数 的正交性, 立即,()得到 212(2)()(2)10 srsrnrsrmsE
20、, ,bb2(2)() 12rssrllllrss, .3. 它确切地保证了降阶逼近的最佳性质：从(1)式两端对多项式次数的比较可看出,常向量 仅与已知11b,bnrsrsmrs曲线 有关, 而与降阶曲线 的()xP ()xQ选择无关. 因此, 最佳逼近必定能够达到,其充要条件是 为零； 4.它直0bmrs接地实现了降阶逼近曲线 的显式表()mxQ达：利用曲线 与曲线()nP(2)1()21 srsrsrn nmsxJ,Q:b的 次项系数对应相等关系,即可求k出T121 T()()10msrsrnsrnmn, ,bbABP, 于是由(2)可确定先验误差, 由(1)能得出,从而得到降阶曲线的控制
21、顶点mxQTT01(1)01()()()()1)1 ( nmsrnnsr mrnsrnsrn , , , ,G,FFAB. 这里 是带权 Jacobi 基向幂基的转换矩阵,是 Bernstein 基与幂基的相互转换矩B,阵 8.从以上分析可看出,该算法的特点在于充分利用 Jacobi 多项式的正交性、幂基的线性无关性以及正交基与幂基的相互转换性, 巧妙地导出了约束降多阶的显式表达式. 此公式非常简单,只要用一个约束降多阶变换的矩阵 ,去左乘原曲线的(1)nmsr,G控制顶点所组成的列向量即可.尤其应当指出的是, 此矩阵可事先按各种参数算好, 象三角函数表那样存储()nsr于计算机内, 随时准备
22、调用,这样就大大节省了交互操作时间. 此外,该算法具有先验误差,逼近精度不可再改进,因而克服了以往的种种局限,具有相当大的应用价值.3 4 种约束降多阶算法的比较为了比较 4 种约束降多阶算法的逼近精度与计算速度, 我们进行了全面的编程试验, 用同一批曲线样本、按同一类参数作了大量实际考核与效果对比, 并绘制了逼近曲线图. 所有算法均采用 Matlab7.0 软件,在奔腾微机上予以实现. 表 1 是实验曲线的 3 批已知数据, 分别列出了已知曲线的次数 及降阶曲线的n次数 , 左右端点约束的阶数m以及已知曲线的控制顶点的平1,rs面坐标 .ixy表 1. 约束降多阶试验的已知曲线数据Table
23、 1. Data of the known curve for the tests of constrained multi-degree reduction参数nmrs控制顶点坐标 ix控制顶点坐 标 iy实例1139 4 3 0, 0.7, 2, 3, 3.75, 4.5, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 3, 40, -50, -11, -30, 12, 22, 27, 24, 0, -20, -70, -20 ,-10, 0实例25 4 1 2 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 10, 1, 4, 2, 5, 0实例39 6 2 2 0, 4, 5.5, 7, 7, 8
24、.5, 12.5, 14.5, 18.5, 18.5.0, 4, 3.4, 2.5, -4, 3, 4, 2, 3, 0图 1-3 显示的是对每批已知数据用 4种不同的约束降多阶算法进行降阶的结果曲线图.其中已知曲线用细实线表示,算法 1, 2, 3, 4 所得降阶曲线分别用五角星、三角形、小圆与虚线表示.从图中可以明显看出,就降阶逼近精度而言,算法 4 与算法 2 相同, 在这 4 种降阶方法中为最高；算法 3 略为次之,而算法 1 则位于其后.表 2 显示的是对每批已知数据用 4 种不同的约束降多阶算法进行降阶的机时消耗值. 从表中可以明显看出 , 就机时消耗而言, 算法 4 在这 4 种
25、降阶方法中为最少, 算法 2 紧随其后, 接下来为算法 3, 而算法1 则位于其后. 算法 4 之所以计算快捷, 乃是因为它具有显式表达公式, 而约束降多阶变换的矩阵已事先按各种参数算好存储于计算机内, 整个计()nmsr算过程仅需执行一个矩阵乘法而已.最后, 按照以上试验结果及上节中的理论分析, 我们可以把这 4 种约束降多阶算法的特性与功能统一地列成表 3 加以比较.图 1. 实例 1 的计算结果Fig.1 The results of computing for Example 1图 2. 实例 2 的计算结果Fig.2 The results of computing for Exam
26、ple 2图 3. 实例 3 的计算结果Fig.3 The results of computing for Example 3表 2. 约束降多阶试验的机时消耗对比(时间单位：秒)Table 2. Comparison between computing times for the tests of constrained multi-degree reduction s算法 1 算法 2 算法 3 算法 4实例10.2500 0.1100 0.1560 0.0470实例20.0940 0.0470 0.0470 0.0310实例30.2030 0.0780 0.0930 0.0160表 3
27、. 约束降多阶算法的特性与功能比较Table 3. Comparison between characteristics and functions of the algorithms of constrained multi-degree reduction比较指标显式表达公式先验/事后误差公式逼近精度机时消耗算法 1 无 无/有 较低 最多算法 2 无(降一次时有)无/无(降一次时有)最高 较少算法 3 无(部分中间结果有)无/无 较高 较多算法 4 有 有/有 最高 最少所以我们能够得出如下结论：这 4 种不同的约束降多阶算法中,逼近效果最好的是算法 4 与算法 2,计算时间最省的是算法
28、4；惟一地既具有显式降阶曲线公式又具有先验降阶误差公式的还是算法 4.因此建议在几何设计及图形系统中,大力推广与应用算法 4. 至于算法 2 和算法 3 在理论基础上有类似与相通之处,它们都是受 Lutterkort 等人 4的工作启发而做的研究,都把文献4的降阶理论成功地推广到了曲线端点保高阶插值的情况,因而大大拓广了原技术的应用范围, 这是它们的独到创新之处.而算法 1则在首次同时实现曲线端点保高阶插值与降多阶方面功不可没,其思想与技巧也是富有启发性和值得借鉴的.参考文献(References)1 HU Shi-min, SUN Jia-guang, JIN Tong-guang, et
29、al. Approximate degree reduction of Bzier curves J. Tsinghua Science and Technology, 1998, 3(2): 997-1000.2 胡事民. CAD 系统数据通讯中若干问题的研究D. 杭州: 浙江大学博士学位论文, 1996 年4 月.HU Shi-min. Research on some problems in data communication for CAD systems D. Hangzhou: PhD Dissertation in Zhejiang University, April 1996
30、.3 ECK M. Least squares degree reduction J. Computer Aided Design, 1995, 27(11): 845-851.4 LUTTERKORT D, PETERS J, REIF U. Polynomial degree reduction in L2-norm equals best Euclidean approximation of Bzier coefficients J. Computer Aided Geometric Design, 1999, 16(7): 607-612. 5 CHEN G.uo-dong, WANG
31、 Guo-jin. Optimal multi-degree reduction of Bzier curves with constraints of endpoints continuity J. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19(6): 365-377.6 ZHENG Jian-min, WANG Guo-zhou. Perturbing Bzier coefficients for best constrained degree reduction in the L2-norm J. Graphical Models, 2003, 65
32、(6): 351-368.7 AHN Y J, Lee B-G, Park Y, et al. Constrained polynomial degree reduction in the L2-norm equals best weighted Enclidean approximation of coefficients J. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21(2): 181-1918 ZHANG Ren-jiang, WANG Guo-jin. Constrained Bzier curves best multi-degree redu
33、ction in the L2-norm J. Progress in Natural Science, 2005, 15(9): 843-850.9 SUNWOO H. Matrix representation for multi-degree reduction of Bzier curves J. Computer Aided Geometric Design, 2005,22(3): 261-273.10 ZHANG Ren-jiang, WANG Guo-jin. A Note on the paper in CAGD (2004, 21(2), 181-191) J. Computer Aided Geometric Design, 2005, 22(9): 815-817.
