1、二次函数与四边形的动点问题、二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市)如图，抛物线y =x2 -2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于 A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线 AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点，过 P点作y轴的平行线交抛物线于 E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点F, 使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.13练习1.(河南省实验区)23.如图，对称轴为直线 x = 7的抛物线经过点
2、A (6, 0)和B (0, 4)(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形. 求平行 四边形OEAF的面积S与X之间的函数关系式，并写出自变 量X的取值范围；当平行四边形 OEAF的面积为24时，请判断平行四 边形OEAF是否为菱形？是否存在点E,使平行四边形 OEAF为正方形？若 存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.X轴对称，则当点P运30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.ny练习2.(四川省德阳市)25.如图，已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线11的顶点
3、为C(3,4),抛物线12与li关于x轴对称，顶点为C(1)求抛物线12的函数关系式；(2)已知原点O,定点D(0,4), %上的点P与li上的点P始终关于 动到何处时，以点 D, O, P, P为顶点的四边形是平行四边形?(3)在12上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为练习3.(山西卷)如图，已知抛物线G与坐标轴的交点依次是 A(4,0) , B(2,0) , E(0,8).(1)求抛物线 Ci关于原点对称的抛物线 C2的解析式；(2)设抛物线C1的顶点为M ,抛物线C2与x轴分别交于C, D两点(点C在点D的左侧)，顶点为 N ,四边形MDNA的面积为S .若点A,点D同时以每
4、秒1个单 位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ,点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形 MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值;(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.、二次函数与四边形的面积 例1.(资阳市)25.如图10,已知抛物线 P: y=ax2+bx+c(a w加x轴交于A、B两点(点A 在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F
5、、G 分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y5-2-45-20(1)求A、B、C三点的坐标；y .(2)若点D的坐标为(m, 0),矩形DEFG的面积为S,求S与 m的函数关系，并指出 m的取值范围； e(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M,使FM=k-DF,若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.图10练习1.（辽宁省十二市 2007年第26题）.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ,点H的坐标为（一8, 0）,点N的坐标为（6, 4）.（1）画出直角梯形 OMNH绕点。旋转180的图形OABC,并写出顶点 A, B,
6、 C的坐 标（点M的对应点为 A,点N的对应点为 B,点H的对应点为 C）;（2）求出过A, B, C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m,且E, F, G分别在线段 CO, OA, AB上，求四边形 BEFG 的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；面积 S是否存在最小值？ 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形 BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写 出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由.4y-81 -4)练习3.(吉林课改卷)如图，正方形 ABCD的边长为2cm ,在对称中心 O处有一钉子.
7、动点P , Q同时从点A出发，点P沿At Bt C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止,点Q沿At D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止.P, Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2ycm .(1)当0W x w 1时，求y与x之间的函数关系式；(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x值；(3)当1& x 2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时 / POQ的变化范围；(4)当0W x 2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.练习4.(四川资阳卷)如图，已知抛物线li： y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线li上
8、的动点(B不与A、C重合)，抛物线12与li关于x轴对称，以AC为对角线的平 行四边形ABCD的第四个顶点为 D.(1)求12的解析式；(2)求证：点D一定在12上；(3) DABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值三、二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28.如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC,已知0(0, 0),A(4, 0), C(0, 3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将 PAB沿PB翻折,得到 PDB;再在OC边上选取适当的点 E,将
9、 POE沿PE翻折，得到 PFE,并使直线PD、PF重合.(1)设P(x, 0), E(0, y),求y关于x的函数关系式，并求y的最大值;(2)如图2,若翻折后点 D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;PE为直角边的直角三角在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q,使 PEQ是以形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.例2. (2007年沈阳市第26题)、已知抛物线 y=ax2 + bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上，线段 OB、OC的 长(OB0）.问当c为何值时，该抛物线上存P占八、在点P,使得以G, S, H, P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的坐标.
