1、第 1 页（共 17 页）2018 年 04 月 28 日 187*6232 的初中数学组卷一解答题（共 5 小题）1如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（ 1，0） ，点 B（3，0）和点C（ 0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点 E 的坐标；（2）点 C 是否在以 BE 为直径的圆上？请说明理由；（3）点 Q 是抛物线对称轴上一动点，点 R 是抛物线上一动点，是否存在点Q、 R，使以 Q、R、C、B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、 R 的坐标，若不存在，请说明理由2如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（ 3，0） ，B（2，3） ，C （0，
2、3） ，其顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）设点 M（1，m） ，当 MB+MD 的值最小时，求 m 的值；（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 N，E 为直线 AC 上任意一点，过点E 作 EFND 交抛物线于点 F，以 N，D，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由第 2 页（共 17 页）3如图，抛物线 y=x22x3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，直线 l与抛物线交于 A，C 两点，其中点 C 的横坐标为 2（1）求
3、 A，B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点（P 与 A，C 不重合） ，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求ACE 面积的最大值；（3）若直线 PE 为抛物线的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC 与 y 轴交于点 Q，点 M 为直线 PE 上一动点，则在 x 轴上是否存在一点 N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点 M，N 的坐标；若不存在，请说明理由（4）点 H 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C 、F、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的 F 点
4、坐标；如果不存在，请说明理由4如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）第 3 页（共 17 页）（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由5如图，矩形 O
5、ABC 在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴，点 C 在 y 轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过 O，A 两点且顶点在 BC 边上，与直线 AC 交于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由第 4 页（共 17 页）2018 年 04 月 28 日 187*6232 的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共 5 小题）1如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（ 1，0） ，点 B（3，0）和点C（
6、0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点 E 的坐标；（2）点 C 是否在以 BE 为直径的圆上？请说明理由；（3）点 Q 是抛物线对称轴上一动点，点 R 是抛物线上一动点，是否存在点Q、 R，使以 Q、R、C、B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、 R 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （1）将 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c 中，列方程组求 a、b、c 的值即可；（2）根据勾股定理的逆定理可得：BCE=90，可得结论；（3）分两种情况：以 BC 为边时，如图 1，R 在对称轴的右侧时， BCRQ，四边形 CQRB 是平行
7、四边形，根据平移规律先得 R 的横坐标为 4，代入抛物线的解析式可得 R（4，5） ，由平移规律可得 Q（1，2 ） ；如图 2，R 在对称轴的左侧， RCBQ，四边形 CRQB 是平行四边形，同理可得点 Q、 R 的坐标以 BC 为对角线时，如图 3，同理根据平移规律可得结论第 5 页（共 17 页）【解答】解：（1）由题意，得： ，解得： ，故这个抛物线的解析式为 y=x2+2x+3，y=x2+2x+3=（x1） 2+4，顶点 E（1，4） ；（2）点 C 在以 BE 为直径的圆上，理由是：C （0，3） ，B（3，0） ， E（1，4） ，BC 2=32+32=18，CE 2=12+12
8、=2，BE 2=（3 1） 2+42=20，BC 2+CE2=BE2，BCE=90 ，点 C 在以 BE 为直径的圆上；（3）存在，分两种情况：以 BC 为边时，如图 1，R 在对称轴的右侧时， BCRQ，四边形 CQRB 是平行四边形，由 C 到 B 的平移规律可知：Q 的横坐标为 1，则 R 的横坐标为 4，当 x=4 时，y=x 2+2x+3=42+24+3=16+8+3=5，R （4，5） ，Q （ 1，2） ；如图 2，R 在对称轴的左侧， RCBQ，四边形 CRQB 是平行四边形，由 C 到 B 的平移规律可知：Q 的横坐标为 1，则 R 的横坐标为2，当 x=2 时，y=x 2+
9、2x+3=4+2（ 2）+3=5，R （2，5） ，Q （ 1，8） ；第 6 页（共 17 页）以 BC 为对角线时，如图 3，由 C 和 Q 的平移规律可得：R 的横坐标为 2，当 x=2 时，y=4+4+3=3，R （2，3） ，根据 R 到 B 的平移规律可得：Q（1，0） ；综上所述，R（4，5） ，Q（1，2）或 R（2，5） ，Q（1，8）或 R（2，3） ，Q（ 1，0） 第 7 页（共 17 页）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理，勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是（3）的关键2如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点
10、A（ 3，0） ，B（2，3） ，C （0，3） ，其顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）设点 M（1，m） ，当 MB+MD 的值最小时，求 m 的值；（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 N，E 为直线 AC 上任意一点，过点E 作 EFND 交抛物线于点 F，以 N，D，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由第 8 页（共 17 页）【分析】 （1）根据待定系数法，可得答案；（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到 B 点关于直线 x=1 的对称点 B
11、，连接BD，BD 与直线 x=1 的交点即是点 M 的位置，继而求出 m 的值（3）根据平行于 y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得 PE 的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（4）设出点 E 的，分情况讨论， 当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，根据平行四边形的性质，可得关于 x 的方程，继而求出点 E 的坐标【解答】解：（1）将 A，B ，C 点的坐标代入解析式，得，解得 ，抛物线的解析式为 y=x22x+3（2）配方，得 y=（x+1） 2+4
12、，顶点 D 的坐标为（ 1，4）作 B 点关于直线 x=1 的对称点 B，如图 1 ，则 B（ 4，3） ，由（1）得 D（ 1，4） ，可求出直线 DB的函数关系式为 y= x+ ，当 M（ 1，m）在直线 DB上时，MN+MD 的值最小，则 m= 1+ = 第 9 页（共 17 页）（3）作 PEx 轴交 AC 于 E 点，如图 2 ，AC 的解析式为 y=x+3，设 P（m， m22m+3） ，E（ m，m+3） ，PE=m22m+3（m+3）=m 23mSAPC = PE|xA|= （m 23m）3= （m + ） 2+ ，当 m= 时， APC 的面积的最大值是 ；（4）由（1） 、
13、 （2）得 D（ 1，4） ，N （ 1，2）点 E 在直线 AC 上，设 E（x，x +3） ，当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，则 F（x，x 22x+3） ，EF=DNx 22x+3（x+3）=42=2，解得，x=2 或 x=1（舍去） ，则点 E 的坐标为：（2，1） 当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，则 F（x ， x22x+3） ，EF=DN，（x+3）（x 22x+3）=2，解得 x= 或 x= ，即点 E 的坐标为：（ ， ）或（ ， ）第 10 页（共 17 页）综上可得满足条件的点 E 为 E（2，1）或：（ ， ）或
14、（ ， ） 【点评】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）利用轴对称求最短路径；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解（4）的关键是平行四边形的性质得出关于 x 的方程，要分类讨论，以防遗漏3如图，抛物线 y=x22x3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，直线 l与抛物线交于 A，C 两点，其中点 C 的横坐标为 2（1）求 A，B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点（P 与 A，C 不重合） ，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求ACE 面积的最大值；（3）若直线 PE 为抛物线
15、的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC 与 y 轴交于点 Q，点 M 为直线 PE 上一动点，则在 x 轴上是否存在一点 N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点 M，N 的坐标；若不存在，请说明理由（4）点 H 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C 、F、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由【分析】 （1）令抛物线 y=x22x3=0，求出 x 的值，即可求 A，B 两点的坐标，根第 11 页（共 17 页）据两点式求出直线 AC 的函数表达式；（2）设 P 点的横坐标为
16、 x（ 1x 2） ，求出 P、E 的坐标，用 x 表示出线段 PE的长，求出 PE 的最大值，进而求出 ACE 的面积最大值；（3）根据 D 点关于 PE 的对称点为点 C（2， 3） ，点 Q（0， 1）点关于 x 轴的对称点为 M（ 0，1） ，则四边形 DMNQ 的周长最小，求出直线 CM 的解析式为y=2x+1，进而求出最小值和点 M，N 的坐标；（4）结合图形，分两类进行讨论，CF 平行 x 轴，如图 1，此时可以求出 F 点两个坐标；CF 不平行 x 轴，如题中的图 2，此时可以求出 F 点的两个坐标【解答】解：（1）令 y=0，解得 x1=1 或 x2=3，A（1 ，0） ，B
17、（3 ，0） ；将 C 点的横坐标 x=2 代入 y=x22x3 得 y=3，C （2，3） ，直线 AC 的函数解析式是 y=x1，（2）设 P 点的横坐标为 x（ 1x 2） ，则 P、 E 的坐标分别为：P（x ， x1） ，E（x，x 22x3） ，P 点在 E 点的上方，PE=（x1） （x 22x3）=x 2+x+2，当 x= 时， PE 的最大值= ，ACE 的面积最大值 = PE2（ 1）= PE= ，（3）D 点关于 PE 的对称点为点 C（2， 3） ，点 Q（0， 1）点关于 x 轴的对称点为 K（0，1 ） ，连接 CK 交直线 PE 于 M 点，交 x 轴于 N 点，
18、可求直线 CK 的解析式为 y=2x+1，此时四边形 DMNQ 的周长最小，第 12 页（共 17 页）最小值=|CM|+QD=2 +2，求得 M（1， 1） ，N（ ， 0） （4）存在如图 1，若 AFCH，此时的 D 和 H 点重合， CD=2，则 AF=2，于是可得 F1（1，0） ，F 2（3，0） ，如图 2，根据点 A 和 F 的坐标中点和点 C 和点 H 的坐标中点相同，再根据|HA|= |CF|，求出 F4（4 ，0） ，F 3 综上所述，满足条件的 F 点坐标为 F1（1，0） ，F 2（ 3，0） ，F3 ，F 4（4 ， 0） 【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识
19、点，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大第 13 页（共 17 页）4如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点
20、 P 的坐标；若不存在，试说明理由【分析】 （1）先根据直线的解析式求出 A、C 两点的坐标，然后将 A、C 的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式进而可根据抛物线的解析式求出 B点的坐标（2）ME 的长实际是直线 BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 ME 的长和 F 点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出 ME 的最大值（3）根据（2）的结果可确定出 F，M 的坐标，要使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是 MP=BF，那么只需将 M 点的坐标向左或向右平移 BF 长个单位即可得出 P 点的坐标，然后将得出的 P 点坐标代入抛物线的解
21、析式中，即可判断出是否存在符合条件的 P 点【解答】解：（1）当 y=0 时，3x3=0，x=1A（1 ，0）当 x=0 时，y=3，C （0，3） ，第 14 页（共 17 页） ，抛物线的解析式是：y=x 22x3当 y=0 时，x 22x3=0，解得：x 1=1，x 2=3B（3，0） （2）由（1）知 B（3，0） ，C （0，3）直线 BC 的解析式是：y=x3，设 M（ x，x3） （0x3） ，则 E（x ，x 22x3）ME=（x3）（x 22x3） =x2+3x=（x ） 2+ ；当 x= 时， ME 的最大值为 （3）答：不存在由（2）知 ME 取最大值时 ME= ，E （
22、 ， ） ， M（ ， ）MF= ，BF=OB OF= 设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F 、B 为顶点的四边形是平行四边形，则 BP MF，BFPMP 1（ 0， ）或 P2（3， ）当 P1（ 0， ）时，由（1 ）知 y=x22x3=3P 1 不在抛物线上当 P2（ 3， ）时，由（1 ）知 y=x22x3=0P 2 不在抛物线上综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F 、B 为顶点的四边形第 15 页（共 17 页）是平行四边形【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数
23、学思想方法 （2）中弄清线段 ME 长度的函数意义是解题的关键5如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴，点 C 在 y 轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过 O，A 两点且顶点在 BC 边上，与直线 AC 交于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）设抛物线顶点为 E，根据题意 E（2， 3） ，设抛物线解析式为y=a（x2） 2+3，将 A（4，0）坐标代入 q 求出 a 即可解
24、决问题；（2）求出直线 AC 的解析式，利用方程组确定交点坐标即可；（3）分两种情况考虑：当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示；当点 M 在x 轴下方时，如答图 2 所示；分别利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：（1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3，得：E （2，3） ，设抛物线解析式为 y=a（x 2） 2+3，将 A（4，0 ）坐标代入得：0=4a+3，即 a= ，则抛物线解析式为 y= （x2） 2+3= x2+3x；第 16 页（共 17 页）（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b（k0） ，将 A（4，0 ）与 C（0，3）代入得：，解得： ，故直线
25、 AC 解析式为 y= x+3，与抛物线解析式联立得： ，解得： 或 ，则点 D 坐标为（ 1， ） ；（3）存在，分两种情况考虑：当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示：四边形 ADMN 为平行四边形，DMAN，DM=AN ，由对称性得到 M（3， ） ，即 DM=2，故 AN=2，N 1（ 2，0） ，N 2（6，0） ；当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：第 17 页（共 17 页）过点 D 作 DQx 轴于点 Q，过点 M 作 MPx 轴于点 P，可得ADQNMP，MP=DQ= ，NP=AQ=3 ，将 yM= 代入抛物线解析式得： = x2+3x，解得：x M=2 或 xM=2+ ，x N=xM3= 1 或 1，N 3（ 1，0） ，N 4（ 1，0） 综上所述，满足条件的点 N 有四个：N 1（2，0） ，N 2（6，0） ，N 3（ 1，0） ，N4（ 1，0 ） 【点评】此题考查了二次函数综合题、待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
