1、圆苑老师一、圆的概念集合形式的概念：1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1 、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线
2、距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；2、点在圆上dr点 B 在圆上；3、点在圆外dr点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；AdrOBdCrdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr ；外切（图2）有一个交点dRr ；相交（图3）有两个交点Rrd R r ；内切（图4）有一个交点dRr ；内含（图5）无交点dRr ；dddRrRrrR图 1图 2图 3ddrRrR图 4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（ 1）平
3、分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即： AB 是直径 ABCD CE DE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。A即：在 O 中， AB CDOCDE弧 AC弧 BDOCDABB例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平
4、分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示， 如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度AB是 _cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在O 中，弦 ABCD ，且 ABCD ，垂足为 H ， OEAB 于
5、 E ， OFCD 于 F .（ 1）求证：四边形OEHF 是正方形 .（ 2）若 CH3 ， DH9 ，求圆心 O 到弦 AB 和 CD 的距离 .4、已知： ABC内接于 O， AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O到 BC的距离为 3cm，求 AB的长5、如图， F 是以 O为圆心， BC为直径的半圆上任意一点，A 是的中点， ADBC于 D，求证： AD=1 BF.2AFE例题 3、度数问题B DOC1、已知：在 O 中，弦 AB12cm ， O 点到 AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB的度数和圆的半径 .2、已知：O的半径OA 1，弦ABAC的长分别是2 、3.求BAC的度数
6、。、例题 4、相交问题如图，已知O的直径 AB和弦 CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm， BED=30，求 CD的长 .CEABOD例题 5、平行问题在直径为50cm的 O中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 AB CD，求： AB与 CD之间的距离 .例题 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中， 大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a, b .求证： AD BDa2b2 .例题 7、平行与相似已知：如图，AB 是 O 的直径， CD 是弦， AECD于 E ， BFCD 于 F . 求证：ECFD .六、圆心角定理圆心角定理： 同圆或等圆中， 相等的圆心
7、角所对的弦相等，所对的弧相等，心距相等。此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，弦EFO即：AOBDOE ； ABDE ； OC OF ； 弧 BA 弧 BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的周角所对的弧是等弧；DACBCBOADC圆即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角CDBOA推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是
8、半圆，所对的弦C是直径。即：在 O 中， AB 是直径或C90C90 AB 是直径BAO推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜CBAO边的一半的逆定理。【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例 2】如图，已知O中， AB 为直径， AB=10cm，弦 AC=6cm， ACB的平分线交 O于 D，求 BC、 AD和 BD的长【例 3】如图所示，已知
9、AB为 O的直径， AC为弦， ODBC，交 AC于 D， BC=4cm（ 1）求证： AC OD；（ 2）求 OD的长；（ 3）若 2sinA 1=0，求 O的直径【例 4】四边形ABCD中， AB DC， BC=b， AB=AC=AD=a，如图，求BD的长【例 5】如图 1， AB是半 O的直径，过 A、 B 两点作半 O 的弦，当两弦交点恰好落在半 O 上 C 点时，则有 AC AC BC BC=AB2（ 1）如图 2，若两弦交于点P 在半 O内，则 AP AC BP BD=AB2是否成立？请说明理由（ 2）如图 3，若两弦 AC、 BD的延长线交于P 点，则 AB2=参照（ 1）填写相
10、应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O 中，CD四边形 ABCD 是内接四边形CBAD180BD180BAEDAEC例 1、如图 7-107 ， O中，两弦ABCD， M是 AB的中点，过M点作弦 DE求证： E， M， O， C四点共圆九、切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线
11、必过切点。OMAN推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线B PAPBPO平分BPAOP利用切线性质计算线段的长度A例 1：如图， 已知： AB是 O的直径， P 为延长线上的一点， PC切 O于 C，CD AB 于 D，又 PC=4， O的半径为3求： OD的长利用切线性质计算角的度数例 2：如图，已知： AB 是 O的直径， CD切 O于 C，
12、 AE CD于 E， BC的延长线与 AE的延长线交于 F，且AF=BF求： A 的度数利用切线性质证明角相等例 3：如图，已知： AB为 O的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过B 的切线交于M、N求证： MCN=MDN利用切线性质证线段相等例 4：如图，已知：AB 是 O直径， CO AB，CD切 O于 D， AD交 CO于 E求证： CD=CE利用切线性质证两直线垂直例 5：如图，已知：ABC中， AB=AC，以 AB 为直径作 O，交 BC于 D，DE切 O于 D，交 AC于 E求证：DE AC十一、圆幂定理（ 1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。BOD即
13、：在O 中，弦AB 、 CD 相交于点P ，PCA PA PB PC PD（ 2）推论：如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 O 中，直径 ABCD ，CBA CE 2AEBEO ED（ 3）切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。A即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线DE PA2PC PBOPCB（ 4）割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线 PC PBPD PE例 1. 如图 1，正方形
14、ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A 作半圆切线，切点为F，交CD于 E，求 DE： AE的值。例 2. O中的两条弦 AB 与 CD相交于 E，若 AE6cm， BE2cm， CD 7cm，那么 CE _cm。图 2例 3. 如图 3， P 是 O外一点， PC切 O于点 C， PAB是 O的割线，交 O 于 A、 B 两点，如果 PA： PB 1： 4，PC 12cm， O的半径为 10cm，则圆心O到 AB的距离是 _cm。图 3例 4. 如图 4，AB 为 O的直径，过 B 点作 O的切线 BC， OC交 O于点 E，AE的延长线交 BC于点 D，（1）求证：；（
15、 2）若 AB BC 2厘米，求CE、 CD的长。图 4例 5. 如图 5， PA、 PC切 O于 A、 C， PDB为割线。求证： ADB CCDAB图 5例 6. 如图 6，在直角三角形 ABC中， A 90，以 AB边为直径作 O，交斜边 BC于点 D，过 D点作 O的切线交 AC于 E。图 6求证： BC 2OE。十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。A如图： O1O2 垂直平分 AB 。O1O2即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点B O1O2 垂直平分 ABABC十三、圆的公切线O1O2两圆公切线长的计算公式：（ 1）公切线长： R
16、t O1O2C 中， AB2CO12O1O22CO22 ；（ 2）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长： CO2 是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（ 1）正三角形C在 O 中 ABC 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 Rt BOD 中 进 行 ：OOD : BD : OB 1:3 : 2 ；BADBCOAED（ 2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行， OE : AE : OA 1:1:2 ：（ 3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB 中进行， AB : OB : OA1:3 : 2 .OBA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ln R；180OS（ 2）扇形面积公式：Sn R21 lR3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2、圆柱：（ 1）圆柱侧面展开图ADS表S侧 2S底 = 2 rh 2 r 2底面圆周长BC（ 2）圆柱的体积： Vr 2hB13 . 圆锥侧面展开图（ 1） S表S侧 S底 = Rrr 2O（ 2）圆锥的体积： V1 r 2h3RCArBAlBD1母线长C1
