1、 中小学个性化辅导专家圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这
2、两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；dr内含（图 5） 无交点 ；RrddCBAO中小学个性化辅导专家1rRd3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的
3、直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4个定理，简称 2推 3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它 3个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABCDEBCDACD中任意 2个条件推出其他 3个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OAB弧 弧CD例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条
4、弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB是_cm.2rRd 4rRd5rRdOE DCBAOC DA B中小学个性化辅导专家2、在直径为 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在 中，弦 ，且 ，垂足为 ， 于 ， 于 .OCDABHABOEC
5、DF（1）求证：四边形 是正方形.EHF（2）若 ， ，求圆心 到弦 和 的距离.3C9OABCD4、已知：ABC 内接于O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O到 BC的距离为 3cm，求 AB的长5、如图，F 是以 O为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，ADBC 于 D，求证：AD= BF.21例题 3、度数问题1、已知：在 中，弦 ， 点到 的距离等于 的一半，求： 的度数和圆的半径.Ocm12ABOABAOB2、 已知： O的半径 ，弦 AB、 AC的长分别是 、 .求 的度数。1A23BAC例题 4、相交问题如图，已知O 的直径 AB和弦 CD相交于点 E，AE
6、=6cm，EB=2cm，BED=30，求 CD的长.例题 5、平行问题在直径为 50cm的O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD之间的距离.例题 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、 D两点，设大圆和小圆的 半径分别为 .求证： .ba, 2baBDAA BDCEO 中小学个性化辅导专家例题 7、平行与相似已知：如图， 是 的直径， 是弦， ， 于 .求证： .ABOCD于AECDBFFDEC六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1推 3定理，即上述四个
7、结论中，只要知道其中的 1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一 半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBAB 2C2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧 是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形。即：在
8、 中， O 是直角三角形或AB90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形FEDC BAO CBAOD CBAOCB AOCB AO中小学个性化辅导专家圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过
9、切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O利用切线性质计算线段的长度例 1：如图，已知：AB 是O 的直径，P 为延长线 上的一点，PC 切O 于C，CDAB 于 D，又 PC=4，O 的半径为 3求：OD 的长EDCBANM AOPBAO中小学个性化辅导专家利用切线性质计算角的度数例 2：如图，已知：AB 是O 的直径，CD 切O 于 C，
10、AECD 于 E，BC 的延长线与 AE的延长线交于 F，且AF=BF求：A 的度数利用切线性质证明角相等例 3：如图，已知：AB 为O 的直径，过 A作弦 AC、AD，并延长与过 B的切线交于 M、N求证：MCN=MDN利用切线性质证线段相等例 4：如图，已知：AB 是O 直径，COAB，CD 切O 于 D，AD 交 CO于中小学个性化辅导专家E求证：CD=CE利用切线性质证两直线垂直例 5：如图，已知：ABC 中，AB=AC，以 AB为直径作O，交 BC于 D，DE 切O 于 D，交 AC于 E求证：DEAC十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在
11、 中，弦 、 相交于点 ，OABCDP P（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，OABCD 2E（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线 长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OPAB 2C（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 中， 、 是割线OPBEPO DCBAO EDCB AD EC BPAO中小学个性化辅导专家 PCBDE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的的公共弦。
12、如图： 垂直平分 。12OA即： 、 相交于 、 两点B 垂直平分12十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 。2十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：OABCRtBOD :1:32ODB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtOAE:1:2AEO（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .RtOAB:1:32BOA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRlBAO1 O2 CO2O1BADCB AOECBA DOBAOS lBAO中小学个性化辅导专家（2）扇形面积公式： 21360nRSl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： 2V3.圆锥侧面展开图（1） =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13Vh久久教育教务处 C1D1DCBAB1RrC BAO
