1、勾股定理课时练（1）1.在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2BC 2AC 2 的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图 182 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD BC，斜腰 DC 的长为10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是 _ cm（结果不取近似值） .3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _4.一根旗杆于离地面12 m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m ，旗杆在断裂之前高多少m ？5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米
2、处，那么这棵树折断之前的高度是米 .3m“路”4m第 5 题图第 2 题 图6. 飞机在空中水平飞行, 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞行多少千米 ?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm ，底面周长为 60 cm ，在外侧距下底 1 cm 的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm 的 F 处有一苍蝇， 试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ， AB=4cm ，BD=12cm 。求 CD的长 .第 8 题图9.
3、 如图，在四边形 ABCD中， A=60， B= D=90， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .第 9 题图10.如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m, 长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯, 已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?13m5m第 11 题12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为
4、15 千米早晨8：00 甲先出发，他以6 千米 / 时的速度向东行走， 1 小时后乙出发，他以5 千米 / 时的速度向北行进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第 7 题图第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得BC 2AC 21，所以 AB2 BC 2AC 2=1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为5 m ，而 3+4-5=2m ，所以他们少走了4 步.3.60，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为12252169 13 ，再利13用面积法得， 15 12113x, x60；22134. 解：依题意， AB=16 m ， AC=12 m ，在直
5、角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2AB 2AC 216 212 220 2 ,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗杆在断裂之前有32 m 高.5.86. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , C=90 ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000( 米 ),3所以飞机飞行的速度为540 ( 千米 / 小时 )2036007. 解：将曲线沿 AB展开，如图所示，过点 C 作 CE AB于 E.在 RtCEF ,CEF90 ， EF=18-1-1=16 （ cm ），1CE=30(cm) ，2.60CE2EF23021623
6、4( )由勾股定理，得CF=8.解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得在直角三角形 CBD中，根据勾股定理，得2222CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9. 解：延长 BC、AD交于点 E. （如图所示） B=90， A=60， E=30又 CD=3， CE=6， BE=8，设 AB=x ，则 AE=2x ，由勾股定理。得 (2x)2x 282 , x83310. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，则 AB 就是最短路线 .在 Rt A DB 中，由勾股定理求得A B=17km11.解：根据勾股定理求得水平长为1325212
7、m，地毯的总长为 12+5=17 （ m），地毯的面积为17 2=34（ m2 ) ，铺完这个楼道至少需要花为：34 18=612（元）12. 解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时，走了 12 千米，即 OA=12乙从上午 9： 00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 OB=5222在 Rt OAB 中， AB =12 十 5 169 ， AB=13，因此，上午10： 00 时，甲、乙两人相距13 千米 15 13，甲、乙两人还能保持联系AM PADB第 1OABC 2AC 2AB 2324225勾股定理的逆定理（2）一、 选择题1.下
8、列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9 ，12，15B. 5,1, 3C.0.2， 0.3， 0.4 D.40 ， 41， 9442.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A. 三个内角比为 1 21B.三边之比为 125C.三边之比为3 25 D. 三个内角比为 1 233. 已知三角形两边长为2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A. 2 B.2 10C.4 2或 2 10 D. 以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为 7， 15， 20， 24， 25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）ABCD二、填空题5. ABC的三边分别是7、
9、 24、 25，则三角形的最大内角的度数是.7.已知三角形 ABC的三边长为 a, b, c 满足 ab 10, ab18， c8，则此三角形为三角形 .8.cmcmcm，则 BC边上的高为 AD=cm.在三角形 ABC中， AB=12， AC=5，BC=13三、解答题9.如图，已知四边形ABCD 中， B=90， AB=3， BC=4， CD=12 ，AD =13，求四边形 ABCD 的面积 .10. 如图， E 、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，第 9 题图CE=BC， F 为 CD 的中点，连接AF 、AE ，问 AEF 是什么三角形？请说明理由.
10、ADFBEC第 10 题6. 三边为 9、 12、 15 的三角形，其面积为.11. 如图， AB 为一棵大树， 在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子， 它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高 AB .AD .BC第 11 题12. 如图，为修通铁路凿通隧道 AC，量出 A=40 B 50， AB 5 公里， BC4 公里，若每天凿隧道 0.3 公里，问几天才能把隧道 AB凿通？18.2勾股定理的逆定理答案：一、1.C
11、；2.C；3.C ，提示：当已经给出的两边分别为直角边时， 第三边为斜边 = 22622 10;当 6为斜边时，第三边为直角边 = 6 22 24 2 ；4. C ；二、 5.90 提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为90.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为191254.7.2直角，提示：(a b) 2100, 得 a 2b 22ab 100, a 2b 2100 2 186482c2；8. 60 ， 提 示： 先 根 据勾 股 定 理逆 定理 判 断三 角 形 是直 角 三角 形 ，再 利 用面 积 法求 得13112 5113 AD
12、；22三、 9. 解：连接 AC，在 Rt ABC 中，AC2=AB2 BC2 =3242=25 ， AC=5.在 ACD 中，AC2 CD2=25 122=169，而 AB2=132=169 ， AC2 CD2=AB2， ACD=90故 S 四边形 ABCD =S ABCS ACD= 1 AB BC 1 AC CD = 1 3 4 1 512=6 30=36.222210. 解：由勾股定理得 AE 2=25， EF 2=5，AF 2=20， AE2= EF2 + AF 2， AEF 是直角三角形11. 设 AD=x 米，则 AB 为（ 10+x）米， AC 为（ 15- x）米， BC 为
13、5 米， ( x+10) 2+52=( 15- x) 2，解得 x=2， 10+x=12（米）12. 解：第七组， a27 115, b2 7( 71) 112,c 112 1 113.第 n 组， a 2n1,b2n(n1),c2n(n1)1勾股定理的逆定理（3）一、基础 巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 23B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345D.三内角之比为 3 4 52.如图 182 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD BC，斜腰 DC 的长为10 cm， D=120，则该零件另一腰AB 的长是 _ cm（
14、结果不取近似值） .图 18图 18 25图 18 263.如图 18 25，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为 _.4.如图 18 26，已知正方形ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF= 1 AD ，4试判断 EFC 的形状 .5.一个零件的形状如图 18 27，按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： AD=4 ，AB=3,BD=5 ， DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 18276.已知 ABC 的三边分别为k2 1，2k
15、，k2+1（k 1），求证： ABC 是直角三角形 .二、综合 应用7.已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长， A 1B 1C1 的三边长分别是2a、2b、2c，那么 A 1B 1C1 是直角三角形吗？为什么？28.已知：如图18 28，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且CD =ADBD.图 18289.如图 18 29 所示，在平面直角坐标系中， 点 A 、B 的坐标分别为 A（ 3，1），B（2，4）， OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图 182922210.已知：在 ABC 中， A 、 B、 C 的对边分别是a、b、c，满足 a +b +c +
16、338=10a+24b+26c.12.已知：如图 182 10，四边形 ABCD ，AD BC，AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ，AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积 .图 18210参考答案一、基础 巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 23B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345D.三内角之比为 3 4 5思路分析： 判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、 C 满足勾股定理的逆定理，所以应选 D.答案： D2.如图
17、 182 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD BC，斜腰 DC 的长为10 cm， D=120，则该零件另一腰AB 的长是 _ cm（结果不取近似值） .图 18 2 4解：过 D 点作 DE AB 交 BC 于 E,则 DEC 是直角三角形 .四边形 ABED 是矩形，AB=DE. D=120， CDE=30 .又在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.22根据勾股定理的逆定理得，DE=1055 3 cm.3.如图 18 25，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为 _.图
18、1825图 1826思路分析： 因为 ABC 是 Rt，所以 BC22212 3332,+AC =AB,即 S +S =S，所以 S =12，因为 S =AB所以 AB=S312 2 3 .答案： 2314.如图 18 26，已知正方形ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=AD ，4试判断 EFC 的形状 .思路分析： 分别计算 EF、 CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解： E 为 AB 中点， BE=2. CE2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得 ,EF2=AE 2+AF 2 =22+12=5,CF 2=DF 2+C
19、D 2=3 2+42=25. CE2+EF 2=CF2, EFC 是以 CEF 为直角的直角三角形 .5.一个零件的形状如图18 27，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： AD=4 ， AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 182 7思路分析：要检验这个零件是否符合要求， 只要判断 ADB 和 DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了 .解：在 ABD 中， AB 2+AD 2 =32+42 =9+16=25=BD 2，所以 ABD 为直角三角形， A =90. 在 BDC 中 ,BD 2+DC
20、2=52+122 =25+144=169=13 2=BC 2.所以 BDC 是直角三角形，CDB =90.因此这个零件符合要求.6.已知 ABC 的三边分别为k2 1，2k，k2+1（k 1），求证： ABC 是直角三角形 .思路分析： 根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明： k 2+1k 2 1,k2+12k=(k 1)2 0,即 k2+12k ， k2+1 是最长边 .(k 2 1)2 +(2k )2=k 42k2+1+4k 2=k4+2k 2+1=(k 2+1) 2, ABC 是直角三角形 .二、综合 应用7.已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长， A
21、 1B 1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c，那么 A 1B 1C1 是直角三角形吗？为什么？思路分析： 如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证） .解：略28.已知：如图1828，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且CD =ADBD.图 182 8思路分析： 根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明： AC 2=AD 2+CD 2 ，BC2=CD 2 +BD 2，AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2ADBD+BD 2=（AD+BD ）2 =AB 2. ABC 是直角三角形 .9.如图 1
22、8 29 所示，在平面直角坐标系中，点 A 、B 的坐标分别为A（ 3，1），B（2，4）， OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 182 9思路分析： 借助于网格，利用勾股定理分别计算OA 、AB 、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 OAB 是否是直角三角形即可 .解： OA2 =OA 12+A 1 A2 =32+12 =10,OB2=OB 12 +B1B 2=22+42=20,AB2=AC 2+BC 2=12+32=10, OA2+AB 2=O B 2. OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10.阅读下列解题过程：已知a、 b、 c 为 ABC 的三边，且满
23、足 a2c2 b2 c2=a4 b4，试判断 ABC的形状 .解： a2c2b2c2 =a4 b4 ，(A) c2(a2 b2)=(a2+b2)(a2 b2) ，(B) c2 =a2+b2，（ C) ABC 是直角三角形 .问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_ ；错误的原因是_；本题的正确结论是_.思路分析： 做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a 有可能等于b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案： (B)没有考虑a=b 这种可能，当a=b 时 ABC 是等腰三角形；ABC 是等腰三角形或直角三角形.22211.已知：在 ABC
24、中， A 、 B、 C 的对边分别是a、b、c，满足 a +b +c +338=10a+24b+26c.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为 0； (3)已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a2 10a+25+b2 24b+144+c2 26c+169=0, 配方并化简得 ,(a5) 2+(b 12)2+(c 13)2=0. (a 5)2 0,(b 12)2 0,(c 13)2 0. a5=0,b12=0,c 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又 a2+b2=169=c 2, ABC 是直角三角形 .
25、12.已知：如图18210，四边形ABCD ， AD BC， AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ， AD=3.求：四边形ABCD 的面积 .图 18210思路分析：（ 1）作 DEAB ，连结 BD，则可以证明 ABD EDB （ASA ）；(2)DE=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB =3；(3) 在 DEC 中， 3、4、5 为勾股数， DEC 为直角三角形， DE BC； (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DE AB ，连结 BD ，则可以证明 ABD EDB （ASA ） , DE=AB=4 ， BE=AD=3. BC=6, EC=EB=3. DE2+CE
26、 2=32+42=25=CD 2, DEC 为直角三角形 .又 EC=EB=3, DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在 BDA 中 AD 2 +AB 2=32+42=25=BD 2, BDA 是直角三角形 .它们的面积分别为S BDA = 1 34=6;S DBC= 1 64=12.22S 四边形 ABCD =SBDA +S DBC =6+12=18.勾股定理的应用（4）（3） 合勾股定理有关知 ， 明你的 的正确性。1. 三个半 的面 分 S1=4.5 ， S2 =8， S3=12.5 ，把三个半 拼成如 所示的 形， ABC一定是直角三角形 ？ 明理由。6.如 ，在Rt ABC中， A
27、CB=90， CD AB ， BC=6，AC=8， 求 AB 、CD 的 A2. 求知中学有一 四 形的空地 ABCD，如下 所示，学校 划在空地上种植草皮， 量 A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200 天， 学校需要投入多少 金 草皮？DBCCD7.在数 上画出表示17 的点（不写作法，但要保留画 痕迹）AB3. （12 分）如 所示，折叠矩形的一 AD，使点 D 落在 BC 上的点 F ，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC的 。8.已知如 ，四 形ABCD 中， B=90， AB=4， BC=3，CD=12， AD=13，求 个四
28、形的面 4.如 ，一个牧童在小河的南 4km 的 A 牧 ， 而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km ，他想把他的 到小河 去 水，然后回家 .他要完成 件事情所走的最短路程是多少？小牧 A北东B小5. （8 分） 察下列各式，你有什么 ？32 =4+5，52=12+13，72 =24+259 2=40+41 到底是巧合， 是有什么 律 涵其中呢？（ 1）填空： 132 =+（ 2） 写出你 的 律。ADBC9.如 ，每个小方格的 都 1求 中格点四 形ABCD 的面 。DACB勾股定理复 （5）一、填空、选择题题：C.对顶角相等D.如果 a=b 或 a+b=0, 那么 a2b23.
29、 有一个边长为 5 米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）米。4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8 米处，则旗杆折断之前的高度是二、解答题：（）米。19、有一个水池， 水面是一个边长为10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面1 尺。6、 在 ABC中， C=90 ,AB=10。 (1)若 A=30 , 则 BC=，AC=。 (2) 若 A=45,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长则 BC=，AC=。度分别是多少？8、在 ABC中， C=90， AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的
30、高 CD=m11、三角形的三边a b c ，满足 ( ab) 2c22ab ，则此三角形是三角形。12、小明向东走 80 米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100 米回到原地。小明向20、一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3 尺处 . 折断处离地面的高度是多少? ( 其东走 80 米后又向方向走的。中丈、尺是长度单位 ,1丈=10 尺)13、ABC 中， AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线 AD=12cm则 AC 的长为cm14、两人从同一地点同时出发，一人以3 米/ 秒的速度向北直行，一人以4 米 / 秒的速度向东直行，5 秒钟后他们相距米.15、写
31、出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定两直线平行，内错角相等。（）方向航行，“远航”号每小时航行 16海里，“海天”号每小时航行12 海里。它们离开港口一个半如果两个实数相等，那么它们的平方相等。小时后相距 30 海里。如果知道 “远航号” 沿东北方向航行， 能知道 “海天号” 沿哪个方向航行吗？（）若 a2b2，则 a=b（）全等三角形的对应角相等。（）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。23、一根 70cm的木棒 , 要放在长、 宽、高分别是 50cm,40cm,30cm 的长方体木箱
32、中 , 能放进去吗 ?( 提（）示: 长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（）(A)a=15b=8c=17(B) a:b:c=1:3 : 2(C) a=2b=6c=8(D) a=13b=14 c=155522、请在数轴上标出表示5 的点17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x 的值是 ( ).A.8B.10C.28D.10或 2818、下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行 , 同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等, 则这两个数相等勾股定理复习题（6）1、如图所示 ,有一条小路穿过长方形的草地 ABCD,
33、若 AB=60m,BC=84m,AE=100m,? 则这条小路的面积是多少 ?AFDBEC2、如图，已知在ABC中， CDAB 于 D， AC 20， BC 15， DB 9。(1) 求 DC的长。 (2)求 AB的长。C6. 如图，从电线杆离地 6 米处向地面拉一条长 10 米的缆绳， 这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？7、如图，一架长2.5 m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？（8 分）ADB3、如图 9，在海上观察所A, 我边防海警发现正北 6km 的 B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的
34、 C处行驶 . 我边防海警即刻派船前往C 处拦截 . 若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？B8kmC6km4、如图，小明在广场上先向东走10 米，又向南走 40 米，再向西走A米，再向20 米，又向南走 40东走 70 米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.出发点 1040204070终止点5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm，?长 BC? 为 10cm当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE ）想一想，此时 EC 有多长？ ?ADEACOBD8、已知，如图，四边形ABCD中， AB=3cm， AD=4cm， BC=13cm，CD=12cm，且 A=90，求四边形ABCD的面积 .（8 分）
