1、经典难题（一）1、已知：如图， O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点， CD AB ， EF AB ，EG CO求证： CD GF（初二）CEAGOFBD2、已知：如图， P 是正方形 ABCD 内一点， PAD PDA 150求证： PBC 是正三角形（初二）ADPBC3、如图，已知四边形 ABCD 、 A 1B 1C1D1 都是正方形， A2、 B 2、C2、 D2 分别是 AA 1、 BB 1、CC1、 DD 1 的中点求证：四边形 A 2B 2C2 D2 是正方形（初二）ADA 2D2A 1D1B 1C1B2C2BC4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC ， M 、N
2、分别是 AB 、CD 的中点， AD 、 BC的延长线交MN 于 E、 FF求证： DEN FENCD第 1 页 共 18 页ABM经 典 难 题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点） ， O 为外心，且 OM BC 于 M （ 1）求证： AH 2OM ；A（ 2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）OHEBM DC2、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OA MN 于 A ，自 A 引圆的两条直线，交圆于B 、 C及 D、 E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、 QG求证： AP AQ （初二）ECOBDM3、如果上题把直线MN 由圆外平移至
3、圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、DE ，设于 P、Q求证： AP AQ （初二）MNPAQCD 、 EB 分别交 MNECAQNPOBD4、如图，分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点 P 是 EF 的中点D求证：点 P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）GECPFAQB第 2 页 共 18 页经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，AE AC ， AE 与 CD 相交于 F求证： CE CF（初二）ADFEBC2、如图，四边形 ABCD
4、 为正方形， DE AC ，且 CE CA ，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证： AE AF （初二）ADFBCE3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP ，CF 平分 DCE求证： PA PF（初二）ADFBPCE4、如图， PC 切圆 O 于 C， AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、AF 与直线 PO 相交于B 、 D求证： AB DC ，BC AD （初三）ABODPEFC第 3 页 共 18 页经典难题（四）1、已知： ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3， PB 4，PC 5求： APB 的度数（初二）APBC2、设 P 是平
5、行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）ADPBC3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BC AC BD （初三）ADBC4、平行四边形 ABCD 中，设 E、 F 分别是 BC、 AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 AE CF求证： DPA DPC （初二）ADFPBEC第 4 页 共 18 页经典难题（五）1 、 设P是 边 长 为1的 正 ABC内 任 一 点 ， L PA PB PC ， 求 证 ： L 2APBC2、已知： P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC 的最小值ADPBC3、
6、 P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a， PB 2a， PC 3a，求正方形的边长ADP第 5 页 共 18 页BC4、如图， ABC 中， ABC ACB 800，D 、E 分别是 AB 、 AC 上的点， DCA 300， EBA 200，求 BED 的度数AED经典难题（一）BC1.如下图做 GH AB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以 GFH OEG, 即 GHF OGE,可得 EO = GO = CO ,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。GFGHCD2. 如下图做 DGC 使与 ADP 全等，可得 PDG 为等边，从而可得 DGC APD CGP,得出 P
7、C=AD=DC, 和 DCG= PCG 150所以 DCP=30 0 ，从而得出 PBC 是正三角形第 6 页 共 18 页3. 如下图 连接 BC1 和 AB1 分别找其中点 F,E. 连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q点，连接 EB2 并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2 并延长交 A2Q于 G点，由 A2E= 12 A1 B1= 12 B1C1= FB2 ，EB2= 12 AB= 12 BC=F C1 ，又 GFQ+ Q=900 和 GEB2+Q=90 0,所以 GEB2= GFQ 又 B2FC2= A2 EB2 ，可得 B2FC2 A 2EB 2 ，所以 A 2B2=B2C2
8、 ，又 GFQ+ HB 2F=900 和 GFQ= EB 2A 2 ,从而可得 A 2B2 C2=90 0 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A 2B 2C2D2 是正方形。4. 如下图 连接 AC并取其中点 Q，连接 QN和 QM，所以可得 QMF= F， QNM= DEN 和 QMN= QNM ，从而得出DEN F。第 7 页 共 18 页经典难题（二）1.(1) 延长 AD到 F 连 BF，做 OG AF,又 F= ACB= BHD ，可得 BH=BF, 从而可得HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2) 连接 OB，OC,既得 B
9、OC=120 0，从而可得 BOM=60 0,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。3. 作 OF CD，OGBE ，连接 OP， OA ， OF， AF ， OG，AG ， OQ 。ADACCD2FDFD由于=，ABAEBE2BGBG第 8 页 共 18 页由此可得 ADF ABG ，从而可得AFC= AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP 和 AGE= AOQ ， AOP= AOQ ，从而可得 AP=AQ 。4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=EG + FH 。 2由 EGA AIC ，可得 EG=AI ，由
10、BFH CBI ，可得 FH=BI 。从而可得 PQ= AI + BI =AB ，从而得证。22经典难题（三）1. 顺时针旋转 ADE ，到 ABG ，连接 CG.由于 ABG= ADE=90 0+45 0=135 0从而可得B ，G，D 在一条直线上，可得AGB CGB 。推出 AE=AG=AC=GC ，可得 AGC 为等边三角形。第 9 页 共 18 页 AGB=30 0，既得 EAC=30 0，从而可得 A EC=75 0。又 EFC= DFA=45 0+30 0=75 0.可证： CE=CF 。2. 连接 BD作 CH DE ，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2
11、CH ，可得 CEH=30 0，所以 CAE= CEA= AED=15 0，又 FAE=90 0+45 0+15 0=150 0，从而可知道F=150，从而得出AE=AF 。3. 作 FG CD，FEBE ，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。XZ，可得 YZ=XY-X 2 +XZ ，tan BAP=tan EPF=Y Y - X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ，得到 PA PF ，得证 。第 10 页 共 18 页经典难题（四）1.顺时针旋转 ABP600 ，连接 PQ ，则 PBQ
12、是正三角形。可得 PQC 是直角三角形。所以 APB=150 0 。第 11 页 共 18 页2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点 E，使 AE DC，BEPC.可以得出 ABP= ADP= AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得 BAP= BEP= BCP，得证。3. 在 BD取一点 E，使 BCE= ACD ，既得 BEC ADC ，可得：BE = AD ，即 AD ?BC=BE ?AC，BCAC又 ACB= DCE，可得 ABC DEC ，既得AB = DE ，即 AB ?CD=DE ?AC ，ACDC由 +可得 : AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)
13、= AC BD ，得证。第 12 页 共 18 页4. 过 D作 AQ AE ， AG CF ，由 SVADE = SY ABCD = SV DFC ，可得：2AEgPQ = AEgPQ ，由 AE=FC 。22可得 DQ=DG ，可得 DPA DPC（角平分线逆定理） 。经典难题（五）1. （1）顺时针旋转 BPC 600 ，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ， PE， EF 在一条直线上，第 13 页 共 18 页即如下图：可得最小L=；（ 2）过 P 点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。由于 APD ATP= ADP ，推出
14、ADAP又 BP+DPBP和 PF+FCPC又 DF=AF由可得：最大L 2；第 14 页 共 18 页由（ 1）和（ 2）既得：L 2 。2. 顺时针旋转 BPC 60 0 ，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP， PE， EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF 。第 15 页 共 18 页既得 AF= 1 + (3 + 1)2=2 + 3 =4 + 2 3422=( 3 + 1)2=2 ( 3 + 1)22=6 +22。3. 顺时针旋转 ABP900 ，可得如下图：第 16 页 共 18 页既得正方形边长 L = (2 +2 )2 + (2 ) 2 ga = 5 + 2 2 ga 。224. 在 AB上找一点 F，使 BCF=60 0 ，连接 EF， DG，既得 BGC 为等边三角形，可得 DCF=10 0 , FCE=200 ,推出 ABE ACF，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出 ： FGE 为等边三角形，可得 AFE=80 0 ，既得： DFG=40 0又 BD=BC=BG，既得 BGD=80 0 ，既得 DGF=40 0推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ，从而推得： FED= BED=30 0。第 17 页 共 18 页第 18 页 共 18 页
