1、专题：求数列通项公式一、累加法（逐差求和法）：利用 ana1(a2a1 )( an an 1) 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an 1anf (n) 的递推数列通项公式的基本方法（f (n) 可求前n 项和） .例 1 已知数列 an 满足 an 1an2n1， a11 ，求数列 an 的通项公式。练习1 已知数列中 ,a11 , an3n 1an-1 ( n2) 求数列an 的通项公式 .练习 2已知数列 an 满足 an 13an23n1， a13，求数列 an 的通项公式。（ an2n 3n13n1 .）322二、累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式 ana1 a2a3an(
2、an 0, n 2) 求通项公a1a2an1式的方法称为累乘法,累乘法是求型如 :an 1g (n)a n 的递推数列通项公式的基本方法(数列 g(n) 可求前 n 项积 ).例 2. 已知 a11, ann(an 1an ) (nN * ) ,求数列a n 通项公式 .反思 : 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1g (n)a n .练习 1.已知数列 an 满足 a1 1， ana12a23a3L (n1)an1 (n2) ，求 an 的通项公式。（ an n!. ）2三、构造新数列 : 递推关系式形如an 1panq （ p, q 为常数）（1） p 1, qR 转化为成等
3、差数列 an 1anq ，即 an 1anq .（2） p0, q 0转化为成等比数列 an 1pan ，即 an 1p .an（ 3 ） p1, p 0, q 0 . 将 递推 公 式 (an 1x) q(an x) 与 原 递推 公 式 恒 等变 成an 1dq(and) 的方法叫构造新数列 .q1q1例 3已知数列a中, a1 1 , an 2an 11(n 2) ,求 a的通项公式 .nn反思 :.构造新数列的实质是通过( an 1x)q(anx) 来构造一个我们所熟知的等差或等比数列 .练习 1 已知数列 an中，若 a11， an 12an3(n1) ，求数列 an 的通项公式.(
4、2006.重庆 .理 14)（ an2n 13(n N *)）练习 2在数列 an 中 a1 1， an 12an2n (nN *) ，求数列 an 的通项公式 .（递推式为 an 1pa nq n ( p.q为常数 ），可两边除以qn1 ）练习 3已知数列an( n N * ) 中 , a11, an 1an,求数列 an的通项公式 .2an1an1.(将递推数列 an1can(c 0, d0),取倒数变成1d 112n 1an 1c ancan d的形式的方法叫倒数变换 ,反思 :倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数 .二是一定要注意新数列的首项 ,公差或公比变化了 .)例 10已知数列
5、an (n N * ) 中,a11 , an 1an,求数列an 的通项公式 .2an1四 、 公 式 法 ： 利 用 熟 知的 的 公 式 求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 公 式 法 ， 常 用 的 公 式 有anSnSn 1( n2) ，等差数列或等比数列的通项公式。例4已知无穷数列a n的前n 项和为Sn ，并且anSn1(nN * ) ，求a n的通项公式？练习： 1.设数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 a11, an 11 sn , n 1,2,3,，求：3 a2 , a3 , a4 的值及数列an 的通项公式； a2a4a6a2n的值。2.已知数列 an中， an0
6、， Sn 是数列 an12Sn ，求 an的前 n 项和，且 anan3.数列 an 的前 n 项和记为 Sn ，已知 a11, an 1n2 Sn (n1,2,3) ，证明：（ 1）n数列Sn是等比数列； （ 2） Sn 14an 。n反思：利用相关数列a n与 Sn的关系： a1S1 , anSn Sn 1 (n2) 与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.五、待定系数法例 5已知数列 an 满足an 12an3n2 4n5， a1，求数列 an的通项公式。1评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an 12an3n24n 5 转 化 为an 13(n 1)
7、2 10(n 1)182(an 3n2 10n18)，从而可知数列 an3n210n 18是等比数列， 进而求出数列 an 3n210n18 的通项公式， 最后再求出数列 an 的通六 .归纳法： 由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法 .例二已知数列a n中， a1 1 ， an 2an 11(n2) ，求数列 a n的通项公式 .反思： 用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性 .六、递推关系式形如an 2pan 1qan （ p, q 是常数）例 5设数列 an满足 a11， a213,4
8、, ) ，求数列2 ， an( an 1 2an 2 ) (n3 an 的通项公式（ 2008.广东 .21 改编）an 83 ( 2) n 1( n N *)553练习 1已知数列 an满足： a11, a25 ， an 25an 12an ( n1,2,)，333求数列 an 的通项公式 . （2004.重庆 .22）11n训练 1.已知 a1, an1an(nN * ) ,求数列a n通项公式 .22训练 2.已知数列a n满足 a11 ,且 ana12a23a3(n 1)an 1 (n2) .则a n 的通项公式是 .训练 3.已知数列中 ,a11, an3n 1an-1 (n2) 求数列a的通项公式 .n训练 4.已知数列a n 的前 n 项和 Sn ，满足关系 lg Sn 1n (n1,2 ) .试证数列an是等比数列 .训练 5.已知数列an中 , an12an,求数列 an的通项公式 .an2训练 6.设 an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn ，并且对于所有自然数n ， an 与 1的等差中项等于Sn 与 1 的等比中项，求数列an 的通项公式 .已知数列 an 满足 an12an3 2n ， a12，求数列 an 的通项公式。an ( 3 n1 )2n 。22
