1、必考问题14直线、圆及其交汇问题1(2012 江浙 )设 a R ，则“ a 1”是“直线l 1：ax 2y1 0 与直线 l 2：x 2y40 平行”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 C 若 l1l 2，则 2a 2 0，a1.故 a1是 l1 l2 的充要条件 2 (2012 陕西 )已知圆 C： x2 y2 4x 0， l 是过点P(3,0)的直线，则 ()A l 与 C 相交B l 与 C 相切Cl 与 C 相离D以上三个选项均有可能答案 A 把点 (3,0) 代入圆的方程得32 024 3 3 0，故点 (3,0)在圆的内部， 所以过
2、点 (3,0)的直线 l 与圆 C 相交，选 A.3 (2012 庆重 )设 A，B 为直线 y x 与圆 x2 y2 1 的两个交点，则 |AB| ()A 1 B. 2 C. 3 D 2答案 D 由于直线 yx 过圆心 (0,0)，所以弦长 |AB| 2R 2.4 (2011 湖北 )过点 ( 1， 2)的直线 l 被圆 x2 y2 2x 2y 10 截得的弦长为2，则直线 l 的斜率为 _解析 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y 2 k(x 1)，又圆的方程可化为 (x 1)2 (y 1)2 1，圆心为 (1,1)，半径为 1，|k 1 k 2|22圆心到直线的距离
3、 d212，1k17解得 k1 或 7 .答案1 或 177本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行高考对解析几何的考查，主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中， 要注意加强圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算能
4、力的训练，努力提高灵活解题的能力必备知识两直线平行、垂直的判定(1) l 1： y k1 xb1， l 2：y k2x b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有 l 1 l 2? k1 k2，l 1 l2? k1 k2 1.若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行；若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直(2) l 1： A1 xB1y C1 0， l 2： A2x B2y C20，则有 l1 l2 ? A1B2 A2B10，且 B1 C2 B2C10，l1l 2? A1A2 B1B2 0.圆的方程(1)圆的标准方程： (x a)2 (y b)2 r2(r
5、0) ，圆心为 (a， b)，半径为 r .(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)，圆心为 D ， E ，半径22为 rD2 E2 4FAx2 Bxy Cy2 Dx EyF 0 表示圆的充要条件是；二元二次方程2B 0，A C0，D2 E2 4AF 0.必备方法1由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况2处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用
6、圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化3直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值4两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程待定系数法求圆的方程给定条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求圆的方程【例 1】? 已知圆 C 与圆 x2 y2 2x 0 相外切， 并且与直线x3y 0 相切于点Q(3， 3)，求圆 C 的方程审题视点 先确定采用标准
7、方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法听课记录 解设圆 C 的圆心为 (a，b)，b33，a 3则|a3b|a 1 2 b2 1，解得a 4，a 0，或所以 r 2 或 r 6.b 0b 4 3，所以圆 C 的方程为 (x 4)2 y2 4 或 x2 (y4 3)2 36.求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数【突破训练解法一1】 已知圆过点A(1,2)，B(3,4)，且在设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0.x 轴上截得的弦长为6，求圆
8、的方程令 y 0，得 x2 Dx F 0.设弦的两端点的横坐标分别为x1、 x2.因圆在 x 轴上截得的弦长为6，所以 |x1 x2| 6，即 D2 4F 36，又圆过点 A(1,2)， B(3,4)，所以 D 2E F5 0，3D 4E F 25 0，D 12，D 8，由解得E 22，或 E 2，F 27F 7.故所求圆的方程为x2 y2 12x 22y 27 0 或 x2 y2 8x 2y7 0.法二设所求圆的方程为(xa)2 (y b)2 r 2，r2 b2 32，由已知得 1 a2 2 b 2 r2，3 a 2 4 b 2 r2，a 6，a 4，解得 b 11，或 b1，r 2 130
9、r 2 10.故所求圆的方程为(x 6)2( y11)2 130，或 (x 4)2 (y 1)2 10.与圆有关的最值问题常考查：给定圆的方程求直线斜率的最值；给定圆的方程与动直线的条件求参数【例 2】 ? 已知实数x， y 满足方程x2 y2 4x 1 0.(1)求 yx的最大值和最小值；(2)求 y x 的最大值和最小值；(3)求 x2 y2 的最大值和最小值审题视点 研究与圆有关的最值问题，应该注意研究代数式的几何意义，可借助图形性质， 利用数形结合求解听课记录 解 (1)原方程化为 (x2) 2 y2 3，表示以点 (2,0)为圆心，y3为半径的圆设x k，即ykx，当直线 y kx
10、与圆相切时， 斜率 k 取最大值和最小值 此时 |2k 0| 3，解得 k 3.k2 1故 y的最大值为 3，最小值为3.x(2)设 y x b，即 y x b，当 y xb 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值此时 |2 0 b| 3，即 b 2 6.2故 y x 的最大值为 2 6，最小值为 2 6.(3)x2 y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2.故 x2 y2 的最大值为 (2 3)2 7 4 3，最小值为 (2 3)2 7 4 3.(1) 形如 y b的最值问题，可转化为动直线斜率的最
11、值问题；x a(2)形如 t ax by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如 m (x a)2 (y b)2 的最值问题， 可转化为两点间的距离的平方的最值问题等【突破训练2】 已知圆C： (x 1)2 y2 8.(1)设点 Q( x，y)是圆 C 上一点，求x y 的取值范围；(2)在直线 x y 7 0 上找一点 P(m， n)，使得过该点所作圆C 的切线长最短解 (1)设 x y t，因为 Q(x， y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即| 1 0 t|22，解得： 5 t 3，2即 x y 的取值范围为 5,3 ；(2)因为圆心 C 到直线 x y 70的
12、距离 d| 1 07| 42 2 2 r ，所以直线与2圆相离， 又因为切线、 圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且半径为一定值，所以只有当过圆心向直线x y 7 0 作垂线，过其垂足作的切线长最短，其垂足即为所求；设过圆心作直线x y 70 的垂线为 x y c0.又因为该线过圆心( 1,0)，所以 1 0c 0，即 c 1，而 x y7 0 与 xy 1 0 的交点为 (3,4) ，该点即为所求直线与圆位置关系的考查常考查： 给定圆的方程解决切线问题； 给定圆的方程， 求直线被圆截得的弦长问题(直接求弦长；求参数的取值范围)【例 3】 ?如图所示，已知以点A( 1,
13、2)为圆心的圆与直线 l 1：x 2y 7 0 相切过点B( 2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M， N 两点， Q 是 MN 的中点，直线l 与 l 1 相交于点 P.(1)求圆 A 的方程；(2)当 |MN | 2 19时，求直线 l 的方程； (3)B Q B P 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由审题视点 第 (1)问由圆 A 与直线 l 1 相切易求出圆的半径，进而求出圆A 的方程；第 (2)问注意直线l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3) 问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论听课记录 解 (1)
14、设圆 A 的半径为 R，圆 A 与直线 l 1： x 2y 7 0 相切， R | 1 4 7| 25.5圆 A 的方程为 (x 1)2 (y 2)2 20.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知x 2 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y k(x 2)，即连接 AQ ，则 AQ MN .kx y 2k 0. |MN |219 ， |AQ|2019 1，由 |AQ| |k2| 1，得 k 3.k2 14直线 l 的方程为3x4y 6 0，所求直线l 的方程为： x 2 或 3x 4y 6 0. 0，(3) AQ BP， A Q B P B QB P (B AA Q
15、) BPB AB PA Q B P B A B P .当直线 l 与 x 轴垂直时，得P 2， 5 ，25则 B P 0， 2 ，又 B A (1,2) 5. B Q B P B A B P当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y k(x 2)yk x2 ， 4k 7 5k由 x2y 7 0， 解得 P 12k ， 1 2k . 5 5k， B P 1 2k1 2k . 510k 5， B QB P B AB P12k1 2k综上所述， 5.B Q B P 是定值，且B Q B P(1) 直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离ld 及半弦长 2构成直角三角形关
16、系来处理(2)要注意分类讨论，即对直线l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨【突破训练3】 (2012 临沂模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y x2 6x 1 与坐标轴的交点都在圆C 上(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 xy a 0 交于 A， B 两点，且 OAOB ，求 a 的值解 (1)曲线 y x2 6x 1 与坐标轴的交点为 (0,1)， (3 2 2，0)故可设圆的圆心坐标为 (3， t)，则有 32( t 1)2 (2 2)2 t2 .解得 t 1，则圆的半径为32 t 1 2 3.所以圆的方程为(x3) 2 (y 1)2 9.
17、(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其坐标满足方程组x ya 0，x 3 2 y 1 2 9，消去 y 得到方程2x2(2a 8)x a2 2a 1 0，由已知可得判别式 56 16a 4a2 0，a2 2a 1由韦达定理可得x1 x2 4 a， x1x2，由 OA OB 可得 x1x2 y1y2 0.又 y1 x1 a， y2 x2a.所以 2x1 x2 a(x1 x2) a2 0.由可得a 1，满足 0，故 a 1.直线问题 “ 误 ” 汇易错点 1：忽视截距为零或认为截距是距离的情况【例 1】 ? 经过点 (2,1) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_ 解析 (1)直线
18、在两坐标轴的截距为0 时，直线方程为y 1x.2(2)直线在两坐标轴的截距不为0 时，设直线方程为 x y a.因为点 (2,1)在直线上， 所以12 1 a，即 a 3.直线方程为 x y 3.故所求直线方程为y2x 或 x y 3.1答案 y x 或 xy 32老师叮咛 ：考生可能产生两种错误，第一种错误：忽视截距为零的情况，只答出第2种情况；第二种错误： 认为截距是距离， 把直线在两坐标轴上的截距互为相反数的也带进来，1导致有错误答案为 “所求直线方程为y 2x 或 x y3或 x y 1” .【试一试 1】 已知直线 l 过点 (2， 6)，它在 y 轴上的截距是在x 轴上的截距的 2
19、倍，求直线 l 的方程解 当直线 l 过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，适合题意，此时直线方程为y 62 x 3x，可化为 3x y 0；当直线l 不过原点时，设它在x 轴上的截距为a(a 0)，则它在y 轴上的截距为2a，则直线的截距式为x ay 1，把点 (2， 6)的坐标代入得 2a2 a6 1，解得2aa 1，故此时直线的方程为 x y2 1，可化为2x y 2 0.综上，直线的方程为3xy 0 或 2x y 2 0.易错点 2：忽视直线的斜率不存在的情况【例 2】 ? 已知直线 l 过点 ( 2,0)，直线 x 2y 5 0 和 3x y1 0 的交点到直线 l 的距离为 3，求
20、直线 l 的方程x 2y 50，x 1，解由，得即直线 x 2y 50 和 3x y 1 0 的交点坐3x y 1 0y 2，标为 (1,2)(1)当直线 l 的斜率不存在时， 其方程为x 2，点 (1,2) 到该直线的距离为3，适合题意(2)当直线 l 的斜率存在时，设为k，则直线 l 的点斜式方程为y k(x 2)，可化为 kx y2k 0.|k 2 2k|5依题意得k2 13，解得 k12.所以，此时直线l 的方程为 5x 12y 10 0.综上所述，直线的方程为x 2 0 或 5x 12y10 0.老师叮咛 ：忽视直线的斜率不存在的情形，也是一类常见错误在相关问题中，需设直线的斜率时，
21、一定要注意分析直线的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分类讨论【试一试 2】 已知直线l 1：ax y2a 0 与直线 l2 ：(2a 1)x ay a 0 互相垂直，则a 等于 ()A 1B 0C1 或 0D 1 或 1答案C法一 依题意有 a(2a 1) ( 1) a 0；解得 a 0 或 a 1.法二 a 0 时直线 l2 斜率不存在，直线 l1 的斜率为0，两直线垂直2a 1 a0 时，直线 l 1 的斜率为 a，直线 l 2 的斜率为a，因为直线 l1 与直线 l 2 垂直，所以 a2a1 1，解得 a1.故所求 a 值为 0 或 1，选 C.a易错点 3：圆上的点到直线的距离转化的
22、情况【例 3】 ?若圆 x2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同点到直线l ：ax by 0 的距离为 22，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ()A.， ， 512 4B. 12 12 ，3D.0， 2C. 6解析圆方程可整理为 (x 2)2 (y 2)2 (32)2，知圆心坐标为 (2,2)，半径为3 2，圆上至少有 3个点到直线 l：ax by 0的距离为 22，则圆心到直线l 的距离应小于或等于2，|2a 2b|aa所以a2 b2 2， b 2 4b1 0，解得 23 a 2 3.ba 5令直线斜率为 k，则 k b，得 23 k2 3，所以直线的倾斜角范围是12，12 ，选答
23、案 B.另解：根据图象 (略)答案B老师叮咛 ：学生不会将 “圆上至少有3 个点到直线 l ： axby 0 的距离为 22，转化圆心到直线 l的距离应小于或等于2”导致很难找到突破口 .【试一试3】 已知圆 C： x2 y2 2x 4y 3 0 和直线 l ： x y 10，则圆 C 上到直线 l的距离为2的点共有 ()A 1 个B 2 个C3 个D 4 个答案C将圆 C 方程配方得： (x 1)2 (y 2)2 8，圆 C 的圆心坐标和半径分别是：C( 1， 2)，R 2 2.设与直线 l ：x y 10 平行且距离为2的直线方程为 x y m 0，|m 1|2知，m 1 或 m 3.当 m 1 时，圆心到直线的距离| 12 1|2由d 2212| 1 2 3|R，直线与圆相切， 满足要求的点只有一个； 当 m 3 时，圆心到直线的距离 d 220 R，直线与圆相交，满足要求的点有两个故满足要求的点共有3 个选 C.
