1、最新 料推荐二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程 ax2bxc 0 根的分布情况设方程 ax2bx c 0 a0 的不等两根为 x1 , x2 且 x1x2 ，相应的二次函数为 f x ax2bx c0 ，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，x 0, x20x0, x 0一个大于 0 x0 x2112100bbf 0
2、 0002a2af 0 0f 0 000bbf 0 0002a2af 0 0f 0 000bba f 0 0002a2aa f 0 0a f 001分布情况大致图象（a0）最新 料推荐表二：（两根与 k 的大小比较）两根都小于 k 即两根都大于k 即一个根小于k ，一个大于 k 即x1k, x2kx1k, x2kx1kx2kkk得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a）00bbkk2a2af k 0f k000bbkk2a2af k 0f k000bbkk2a2aafk0afk0f k0f k0af k02最新 料推荐表三：（根在区间上的分布）分两根有且仅有一根在m, n 内一根
3、在m,n 内，另一根在 p, q布两根都在情m, n 内（图象有两种情况，只画了一种）内， mn p q况大致图象（a0）0fm0得f m0f n 0f m f n0出f n0f m f n 0f p0或0的f p f q结bfq0论mn2a大致图象（a0）0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmfn的0p0或fpfq0结bf论mnfq02a综合结fmfn0论（fmfn0不fpfq0讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m, n 外，即在区间两侧x1m, x2n ，（图形分别如下）需满足的条件是3最新 料推荐（ 1） afm0（ 2） afm00 时，n0；0 时，n0ff对
4、以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（ 1）两根有且仅有一根在m, n 内有以下特殊情况：1若 f m0或 f n0 ，则此时 fmf n0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或 n ，可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间m, n 内，从而可以求出参数的值。 如方程 mx2m2 x20在区间 1,3上有一根，因为f 1 0，所以 mx2m2 x2 x 1mx 2 ，另一根为2 ，由 123得 2mmm2 即为所求；32方程有且只有一根，且这个根在区间m, n 内，即0，此时由0 可以求出参数的值，然后再将参数的 值 带 入 方 程 ， 求出 相 应 的 根 ， 检 验 根
5、是 否 在 给 定的 区 间 内 ， 如 若 不 在 ， 舍 去 相 应的 参 数 。 如 方 程22m60有 且 一 根 在 区 间3, 0内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由f3 f 0即x 4mx014m15m30 得出3 m15；由0即 16m24 2m60 得出 m1 或 m3，当14332m1时，根 x23,0，即 m1满足题意；当m33,0 ，故m时，根 x不满足题意；22综上分析，得出315或 m1m14根的分布练习题例 1、已知二次方程2m1 x22mxm10 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。解：由2m 1 f00即2m1 m10m 1即为所求的范围
6、。，从而得12例 2、已知方程 2x2m1 xm 0 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。4最新 料推荐解：由028m 0m1m 3 2 2或 m 3 2 2m 1m10m 02 2m0f 0 00m322 或 m322 即为所求的范围。例 3、已知二次函数ym 2 x22m 4 x3m3与 x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数 m 的取值范围。解：由 m 2 f10 即m 22m 1021即为所求的范围。m2例 4、已知二次方程 mx22m3 x4 0 只有一个正根且这个根小于1，求实数 m 的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1 上只有一个正根，则f0f 104 3m 1
7、 0m1即为所3求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1 内，由0 计算检验， 均不复合题意，计算量稍大）1二次函数及图象设有一元二次函数y=ax 2+bx+c(a 0) ，判别式=b2-4ac ，当0 时 y=f(x)与 x 轴有二交点；当=0 时，y=f(x)与 x 轴仅有一交点；当 0 时， y=f(x)与 x 轴无交点当 0 时，设 y=f(x)图象与 x 轴两交点为x1 x2一元二次函数y=f(x)与 x 轴交点 x1，x2 就是相应一元二次方程 f(x)=0的两根观察图象不难知道5最新 料推荐图像为观察图象不难知道=0，a 0, =0， a 0当 0
8、 时， y=f(x)图象与 x 轴无公共点，其图象为观察图象不难知道a 0 时 , 绝对不等式f(x)0 解为 xRa 0 时 ,绝对不等式f(x) 0 解为 x R2讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3 种：（ 1）应用求根公式；（ 2）应用根与系数关系；（ 3）应用二次函数图象在进行转化时，应保证这种转化的等价性就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法设 f （ x） =ax2 bx c（ a 0），方程 ax2 bx x=0 的个根为 ， （ ）， m， n 为常数，且 n m，方程根的分布无外乎两种情况： ， 同居一区间时
9、，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑6最新 料推荐三、好题解给你(1) (1)预习题1. 设有一元二次函数 y 2x2-8x+1 试问，当 x3 ， 4 时，随 x 变大， y 的值变大还是变小？由此 y f(x) 在3 ， 4 上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有 y 2(x-2) 2-7对称轴x 2，区间 3 ， 4 在对称轴右边， y f(x) 在 3 ， 4 上随 x 变大， y 的值也变大，因此ymax=f(4) 1ymin f(3)-5 2. 设有一元二次函数 y2x2-4ax+2a 2+3试问，此函数对称轴是什么？当 x3 ， 4 时，随 x 变大， y 的值是变大还是变
10、小？与 a 取值有何关系？由此，求 y f(x) 在 3 ，4 上的最大值与最小值解：经配方有 y 2(x-a) 2+3对称轴为x=a当 a 3 时，因为区间3 ， 4 在对称轴的右边，因此，当x3 ， 4 时，随 x 变大， y 的值也变大当 3 a 4 时，对称轴x=a 在区间 3 ， 4 内，此时，若3 x a，随 x 变大， y 的值变小，但若ax 4，随 x 变大， y 的值变大当 4 a 时，因为区间3 ， 4 在对称轴的左边，因此，当x3 ， 4 时，随 x 变大， y 的值反而变小根据上述分析，可知当 a3 时， ymax=f(4)=2a 2-16a+35 ymin=f(3)2
11、a2-12a+21 当 3a 4 时， ymin f(a) 32其中， a 3.5 时， ymax f(4) 2a -16a+35 2a 3.5 时， ymax f(3) 2a -12a+21 当 a4 时， ymax f(3) 2a2-12a+21 ymin f(4) 2a2-16a+35 (2) (2) 基础题例 1设有一元二次方程 x2+2(m-1)x+(m+2) 0试问：(1)m 为何值时，有一正根、一负根(2)m 为何值时，有一根大于1、另一根小于 1(3)m 为何值时，有两正根(4)m 为何值时，有两负根(5)m 为何值时，仅有一根在1 ， 4 内？解： (1) 设方程一正根 x2
12、，一负根 x1，显然 x1、 x2 0，依违达定理有m+2 0 m -2 7最新 料推荐反思回顾： x1、 x20 条件下， ac 0，因此能保证0(2) 设 x1 1， x2 1，则 x1-1 0， x2-1 0 只要求 (x 1-1)(x 2-1) 0，即 x1x2-(x 1+x2 )+1 0依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1 0(3) 若 x1 0， x2 0，则 x1+x2 0 且 x1， x2 0, 故应满足条件依韦达定理有(5) 由图象不难知道，方程f(x) 0 在 3 ， 4 内仅有一实根条件为f(3) f(4) 0，即9+6(m-1)+(m+2) 16+8(m-1)+(m
13、+2)0 (7m+1)(9m+10) 0例 2.当 m为何值时，方程有两个负数根？解：负数根首先是实数根，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正由以上分析，有8最新 料推荐即当时，原方程有两个负数根(3) (3)应用题例 1. m 取何实数值时，关于2的两个实根都大于2？x 的方程 x +（ m-2） x5-m=0解：设 f （ x） =x2+（ m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2所以当 -5 m -4 时，方程的两个实根大于2例 2已知关于 x 方程： x2-2ax a 0 有两个实根 ， ，且满足 0 1， 2，求实根 a 的取值范围解：设
14、 f （x） =x2 -2ax a，则方程 f （ x） =0 的两个根 ， 就是抛物线 y=f （ x）与 x 轴的两个交点的横坐标，如图0 1， 2 的条件是： 1， 2例 3 m为何实数时，关于 x 的方程 x2+（ m-2）x 5-m=0 的一个实根大于 2，另一个实根小于 2.解：设 f （ x） =x2（ m-2）x 5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于 2 的充要条件是f （ 2） 0，即 4 2（m-2） 5-m 0解得 m -5 所以当 m -5 时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2(4) (4)提高题9最新 料推荐例 1已知函数的图象都在x 轴上方，求实
15、数k 的取值范围解：（ 1）当，则所给函数为二次函数，图象满足：，即解得：（ 2）当时，若，则的图象不可能都在x 轴上方，若，则 y=3 的图象都在x 轴上方由（ 1）（ 2）得：反思回顾： 此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论2 2例 2已知关于 x 的方程（ m-1） x -2mx m+m-6=0 有两个实根 ， ，且满足 0 1 ，求实数 m的取值范围解：设 f(x)=x2-2mx+m2 m-6，则方程 f （ x）=0 的两个根 ， ，就是抛物线y=f （ x）与 x 轴的两个交点的横坐标如图， 0 1 的条件是解得2例 3已知关于 x 的方程 3x -5x a=0 的有两
16、个实根 ， ，满足条件 （ -2 ，0）， （ 1，3），求实数 a 的取值范围解：设 f （ x）=3x2-5x a，由图象特征可知方程f （x）=0 的两根 ， ，并且 （ -2 ， 0）， （ 1，3）的解得 -12 a 0四、课后演武场1. 已知方程 ( m-1)x 2+3x-1=0 的两根都是正数，则m的取值范围是（B）10最新 料推荐ABCD2.22x+( m-2)=0 的一个根比1 大，另一个根比 -1小，则 m的取值范围是（C ）方程 x+( m-1)A 0m 2B -3 m 1C -2 m 0D -1 m 13.已知方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ C）ABCD
17、4已知关于x 的方程 3x2+（ m-5） x7=0 的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围可知方程f （ x） =0 的一根大于4，另一根小于4 的充要条件是：f （ 4） 0）5已知关于x 的方程 x2 2mx 2m3=0 的两个不等实根都在区间（0， 2）内，求实数m的取值范围征可知方程f （x） =0 的两根都在（ 0， 2）内的充要条件是2、二次函数在闭区间m, n 上的最大、最小值问题探讨设 f x ax 2bx c 0 a0 ， 则二次函数在闭区间m, n 上的最大、最小值有如下的分布情况：mnbmbn即bm nbm n2a2a2a,2a图象11最新 料推荐最fx
18、maxfmfx maxmaxf n , f mx max大f、最fx minfnfx minfbx min小f值2a对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：f n f m（ 1）若bm n ，则2a,fx（ 2）若bm, n ，则 fx2amaxmaxmaxf m , fb, f n， f x minminf m , fb, f n；2a2amaxf m , f n， fx minminf m , f n另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴 越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴 轴越远，则对应的函数值越
19、小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数 fxax22ax2b a0 在2,3 上有最大值5 和最小值2，求 a, b 的值。解：对称轴 x012,3，故函数fx在区间2,3 上单调。（ 1）当 a0时，函数 fx在区间2,3fxmaxf33ab25a1上是增函数，故x min；ff22b2b0（ 2）当 a0时，函数 fx在区间2,3fxmaxf2b25a1上是减函数，故x min3ab22b3ff3例 2、求函数 f xx22ax1, x1,3 的最小值。解：对称轴 x0
20、a（ 1）当 a1 时， yf 1 2 2a ；min（ 2）当 1a3 时， yminfa1 a2 ；（ 3）当 a3时， yminf 3106a改： 1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（ 1）当（ 2）当a2时， fxa2时， fxmaxmaxf3106a ；f 122a 。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？12最新 料推荐解：（ 1）当a1 时， fx maxf3106a ， f x minf122a ；（ 2）当1a2 时，fx maxf3106a ， fx minf a1a2 ；（ 3）当2a3 时， fx maxf122a ， f x minfa1a2 ；（
21、 4）当 a3 时， fx maxf122a， f x minf3106a 。例 3、求函数 yx24x3 在区间 t, t1上的最小值。解：对称轴 x02（ 1）当 2 t 即 t2 时， yminf tt 24t3 ；（ 2）当 t 2 t1即 1 t2 时，yminf2；1（ 3）当 2 t 1 即 t1时， yminft1t 22t例 4、讨论函数 fxx2xa1的最小值。x2x2xa1,xa解： f xxa 1，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为x2xa1, xa直线 x11，当 a11a111），（ 2），（3）， x2，2， a时原函数的图象分别如下（2222因
22、此，（ 1）当 a1时， fxf132min2a ；4（ 2）当1a1 时， fxminfa a2 1 ；22（ 3）当 a1x minf13时， f2a24二次函数根的分布13最新 料推荐二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。 这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整， 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理） 的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质， 分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布， 指的是方程的根相对于零的关系。 比如二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这
23、个二次方程一个根比零大， 一个根比零小， 或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程 ax 2bxc 0（ a0 ）的两个实根为 x1 ， x2 ，且 x1 x2 。b 24ac0【定理 1】 x1 0, x20，则 x1x2b0ax1 xc02a例 1 若一元二次方程 ( m1) x22( m1) xm 0 有两个正根，求 m 的取值范围。【定理 2】【定理 3】b24ac 0x10, x2 0，则 x1 x2b0ax1 x2c0ax10 x2，则 c0a例 3 k 在何范围内取值，一元二次方程kx 23kx k 3 0 有一个正根和一个负根？【定理 4】 1) x10 ， x20c0 且 b0 ；a2) x10 ， x20c0 且 b0 。a例 4 若一元二次方程 kx 2(2k1)xk 30 有一根为零，则另一根是正根还是负根？二一元二次方程的非零分布k 分布设一元二次方程 ax 2bxc0 （ a0 ）的两实根为 x1 ， x2 ，且 x1x2 。 k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即 x1 ， x2 相对于 k 的位置）有以下若干定理。b 24ac0【定理 1】 kx1x2，则 af (k)0bk2a14最
