1、最新高中物理万有引力定律的应用易错剖析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用12019 年 3 月 3 日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走 ”即将收官，我国对月球的探索将进人新的征程。若近似认为月球绕地球作匀速圆周运动，地球绕太阳也作匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。(1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间Tm；(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间 Tm27.4d，地球绕太阳运动的周期 Te 365d， 求地球上的观察者相继两次看到满月满月的时
2、间间隔 t 。【答案】 (1) T2r 3(2)29.6mgR2【解析】【详解】（1）设地球的质量为M ，月球的质量为m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力，则G Mm22mrr 2Tm地球表面的物体受到的万有引力约等于重力，则GMm 0m0 gR2Tmr 3解得2gR2（2）相继两次满月有，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2 ，即mt2et而2mTm2eTe解得t29.6天2 某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R1，周期为T1，已知万有引力
3、常量为G。求：(1)行星的质量；(2)若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度大小；(3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R2，周期为 T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】 （1）根据万有引力提供向心力得：解得行星质量为：M=（2）由得第一宇宙速度为：（ 3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：所以行星和其他卫星的总质量M 总所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：M 点睛
4、：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量要求出行星的质量，我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体3 如图所示，质量分别为m 和M的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L已知A、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧，引力常量为G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期ML,r=mL,（ 2） 2L3【答案】 （1） R=m Mm MG M m【解析】（1）令 A 星的轨道半径为R， B 星的轨道半径为r，则由题意有 L r R两星做圆周运
5、动时的向心力由万有引力提供，则有：GmM4 242L2mR2Mr2TT可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmL ；RMmMm（2）根据（ 1）可以得到 ： GmM4242ML2m2 Rm2MLTTm42L32L3则： Tm GG mMM点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 4 宇航员在某星球表面以初速度v0 竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.v02R【答案】 (1)
6、(2) v0 2h2h【解析】本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算(1) 设该星球表面的重力加速度为g ，物体做竖直上抛运动，则v022g h解得，该星球表面的重力加速度gv022hv2(2) 卫星贴近星球表面运行，则 mgmRvg RR解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度v02h5 用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M ，自转周期为T，万有引力常量为G将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F1；（2）求在赤道地面
7、称量时弹簧秤的读数F2；（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。如果把小物体放在北纬40的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。MmGMm2【答案】（ 1） F0 GF12 （ 2） F2G Mmm 4 RR2R 0.1RR2T 2（ 3）【解析】【详解】（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：GmMF0R2GmM在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为：F1 ( R 0.1R) 2 ；（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：GmM4 2 RmF2T 2R2（3）如图所示6 我们将两颗彼此相距较近的行星称
8、为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、 M2 ( 万有引力常量为 G)试计算：12双星的轨道半径双星运动的周期【答案】 1 ? M 2L，M 1L ； 2 ?2 LL；M 1 M 2M 1M 2G M 1M 2【解析】设行星转动的角速度为，周期为T1 如图，对星球 M 1 ，由向心力公式可得：G M 1 M 2M 1 R12L2同理对星 M 2，有： G M 1M 2M 2R 2 2L2两式相除得：R1M 2 ，R 2M 1( 即轨道半径与质量成反比 )又因为 L R 1 R 2所以得： R 1M 2L ， R 2M
9、 1LM 1M 2M 1 M 22 有上式得到： 1G M 1M 2LL2T 2LL因为 T，所以有：G M 1M 2答：1 双星的轨道半径分别是M 2L ， M 1L ；M 1 M 2M 1 M 22 双星的运行周期是2LLG M 1M 2点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期7 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。已知
10、月球和地球之间的距离为 r，运行周期为 T，引力常量为 G，求地球和月球的质量之和。23【答案】4rGT 2【解析】【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度应用牛顿第二定律列方程求解【详解】对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：G MmM2 r1 m 2r2r 2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2r2 ；其中21+r2；， r=rT三式联立解得： M4 2r 3m2GT【点睛】解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度以及会用万有引力提供向心力进行求解8 今年 6 月 13 日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使
11、用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星如图所示，A 是地球的同步卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的重力加速度为g,求：（ 1）同步卫星离地面高度 h（ 2）地球的密度 (已知引力常量为 G)223g【答案】（ 1） 3 gR TR （ 2）4 24 GR【解析】【分析】【详解】（ 1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，地球同步卫星到地面的高度为 h，同步卫星所受万有引力等于向心力为G mM4 2 R hm( R h)2T2在地球表面上引力等于重力为MmGR2mg故地球同步卫星离地面的高度为h3gR2T242R（2）根据在地球表面上引力等于重力MmGR2mg结合
12、密度公式为gR2MG3gV 4 R34 GR39 在某一星球上，宇航员在距离地面h 高度处以初速度v0 沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面时与抛出点的水平距离为x，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：(1)该星球表面的重力加速度g；(2)该星球的质量M ；(3)该星球的第一宇宙速度v。【答案】 (1)g2hv022hv02 R2(3)vv02hR2(2) M2xxGx【解析】（ 1）由平抛运动规律得：水平方向xv0 t竖直方向 h1 g t 22解得： g2hv02x2GMm（2）星球表面上质量为m 的物体受到万有引力近似等于它的重力，即 mg R2得： Mg R2G22代入数据解得
13、：M2hv0 R（3） mgv2；解得 vg RmR代入数据得：vv02hRx点睛 ：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度g运用重力等于万有引力，得到g=GM/R2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理10 已知地球质量为 M ，万有引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。（ 1）求地面附近的重力加速度g；（ 2）求地球的第一宇宙速度 v；（ 3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。【答案】（ 1）gGM2 vGM3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质R2（ ）（R量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。【解析】【详解】（1）设地球表面的物体质量为m , 有G MmmgR2解得gGMR2（2）设地球的近地卫星质量为m ，有G Mmm v2R2R解得GMvR（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。设太阳质量为M ，地球绕太阳运动的轨道半径为r、周期为T，根据 GM MM4 222 r 可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求rT得太阳的质量。
