1、第一章 基本初等函数（）1.3.1 正弦函数的图象与性质,人教B版必修4,用什么方法作出正弦函数的图象呢？,描点法,但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确,几何法,用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象.,1、正弦函数的图象,为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识,第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线. 在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆
2、分成12等份（等份越多，作出的图象越精确），过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角 ， ， , ，2的角的正弦线（这等价于描点法中的列表）,第二步：描点我们把x轴上从0到2这一段（ ）分成12等份，每个分点分别对应于 分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，（把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点）,第三步：连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象,以上我们作出了y=sinx，x0，2的图象，因为sin(2k+x)=sinx (kZ)，所以正弦函数y=sinx在x2，0，x2，
3、4，x4，6时的图象与x0，2时的形状完全一样，只是位置不同。,现在把上述图象沿着x轴平移2，4，就得到y=sinx，xR的图象。叫做正弦曲线,正弦函数y=sinx，xR，的图象。叫做正弦曲线,用五点法作正弦函数的简图（描点法）,只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图,在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在 附近函数增加或下降快一些,曲线“陡”一些,在 附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”，这种作图法叫做五点法。,例1、用五点法作下列函数的简图(1) y=sinx，x0，2，(2) y=1+sinx，x0，2，,(1
4、),(2) y=1+sinx (x0, 2 ),例2、利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：,解：在y轴上取点(0, 0.5)，过该点作x轴的平行线,与正弦函数图象相交于点 等，所以不等式的解集是,由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有以下重要性质.,(1)定义域：,正弦函数y=sinx的定义域是实数集R或(，)，记作：ysinx，xR.,2、正弦函数的性质,(2)值域: 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=1之间，所以sinx1，即1sinx1, 也就是说，正弦函数的值域是
5、1，1.,正弦函数y=sinx,xR,当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数取得最大值1；,当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数取得最小值1,(3) 周期性:,由sin(x2k)sinx (kZ)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。当自变量x的值每增加或减少2的整数倍时，正弦函数y的值重复出现。在单位圆中，当角的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。,一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做
6、周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期,由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是正弦函数的周期,对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。,注意：(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且若T0，则定义域无上界；T0, 0)表示一个振动量时，,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；,往复一次所需的时间 ，称为这个振动的周期；,3、y=Asin(x+) 的图象,单位时间内往复振动的次数 ，称为振动的频率；,称为相位；x=0时的相位称为初相。,例1、画出函数y=2sinx xR；y=
7、 sinx xR的图象（简图）,解：画简图，我们用“五点法”这两个函数都是周期函数，且周期为2我们先画它们在0，2上的简图列表：,-,(1) y2sinx，xR的值域是2，2,图象可看作把ysinx，xR上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) .,(2) y sinx，xR的值域是 ， ,图象可看作把ysinx，xR上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变).,一般地，函数y=Asinx的值域是最大值是|A|，最小值是|A|，由此可知，|A|的大小，反映曲线波动幅度的大小。因此|A|也称为振幅。,例2、画出函数ysin(x )，xR，ysin(x )，xR的简图.,解：列表ysin(x ),ysin(x ),(1)函数ysin(x )，xR的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到.,(2)函数ysin(x )，xR的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位长度而得到.,一般地，函数ysin(x)，xR(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意认清方向：“左加”、“右减”),ysin(x)与ysinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换,
