1、高中物理万有引力定律的应用专项训练100( 附答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 如图轨道为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道该椭圆轨道的近地点为圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点到达远地点 Q 时再次点火加速，进入同步轨道已知引力常量为G ，地球质量为M ，地球半径为 R ，飞船质量为 m ，同步轨道距地面高度为h 当卫星距离地心的距离为 r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为EpGMm（取无穷远处的引力势能为r零），忽略地球自转和喷气后飞船质
2、量的変化，问：（ 1）在近地轨道上运行时，飞船的动能是多少？（ 2）若飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化已知飞船在椭圆轨道上运行中，经过P 点时的速率为v1 ，则经过 Q 点时的速率v2 多大？（ 3）若在近地圆轨道上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度v3 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引力势能）【答案】（ 1） GMm （ 2） v122GM2GM （ 3）2GM2RR hRR【解析】【分析】（ 1）万有引力提供向心力，
3、求出速度，然后根据动能公式进行求解；（ 2）根据能量守恒进行求解即可；（ 3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能；【详解】（ 1）在近地轨道（离地高度忽略不计） 上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动即： G mMm v2R2R则飞船的动能为Ek1mv2GMm ；22R（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：1mv121mv22GMm(GMm )22R hR若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为 v1 ，则经过 Q 点时速率为：v2v122GM2GM ；R hR（ 3）若近
4、地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能即： G Mm1 mv32R2则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：v32GM R【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解2 某航天飞机在地球赤道上空飞行 ，轨道半径为 r ，飞行方向与地球的自转方向相同 ，设地球的自转角速度为 0，地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间2t2tgR2【答案】gR2或者r 3
5、00r2【解析】【分析】【详解】试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈解：用 表示航天飞机的角速度，用m、 M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有G Mmmr 2r 2航天飞机在地面上，有G mMmgR2gR2联立解得r 2若 0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则 t 0t 22t所以gR20r 2若 0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则 0t t 22t所以gR2 0 r 2点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力等于万有引力得到重力加速度表达
6、式；（ 3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列式3 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为 R，万有引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速度；（ 2）该星球的密度；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T2v0 tan3v0 tan； (3)2v0RtanaRt【答案】 (1)； (2)t； (4) 2t2 GRtv0tan【解析】【分析】【详解】(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：y1 gt22gt
7、tanv0t2v0x解得该星球表面的重力加速度：g2v0 tant(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：GMmR2mg则该星球的质量：gR 2MG该星球的密度：M3g3v0tan434 GR2 GRtR3(3)根据万有引力提供向心力得：2G Mmm vR2R该星球的第一宙速度为：GM2v0 RtanavgRRt(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:2 RTv所以：tRtT2 R2v0 Rtanv0tan点睛：处理平抛运动的思路就是分解重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量4 已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的6
8、倍，地球半径为R，地球视为均匀球体，两极的重力加速度为g，引力常量为 G，求：（ 1）地球的质量；（ 2）地球同步卫星的线速度大小【答案】 (1)gR2gRM(2)vG7【解析】【详解】（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则GMmR2mg解得MgR2G；（2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7 倍，即为7R，则GMmv22m7R7R而 GMgR2，解得vgR.75 我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030 年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v0 水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L(这时月球表面可以看成是平坦的)，已知
9、月球半径为R，万有引力常量为 G。(1)试求月球表面处的重力加速度g.(2)试求月球的质量M(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T，试求月球的平均密度 .2223【答案】（ 1） g2hv0（ 2） M2hv0 R（ 3）2L2GL2GT【解析】【详解】（1）根据题目可得小球做平抛运动,水平位移 : v0t=L1竖直位移 :h=gt222hv02联立可得 : gL2（2）根据万有引力黄金代换式G mM2 mg ，RgR22hv02 R2可得 MGL2GG mM2 m 4242R23（3）根据万有引力公式2R ；可得 M，RTGT而星球密度M , V4 R3V3联
10、立可得3GT 26 用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M ，自转周期为T，万有引力常量为G将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F1；（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F2；（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。如果把小物体放在北纬40的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。【答案】（ 1）F0MmF1GMm（ ）Mm42R2GF2GmR2R 0.1R2R2T 2（ 3）【解析】【详解】（1）在地
11、球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：GmMF0R2GmM在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为：F1 ( R 0.1R) 2 ；（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：GmM4 2 RmF2T 2R2（3）如图所示7 某行星表面的重力加速度为g ，行星的质量为M，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为的因素，求：G 不考虑阻力和行星自转（ 1）行星的半径 R ；（ 2）小石子能上升的最大高度【答案】 (1)GMv02R =（ 2） hg2g【解析】（1）对行星表面的某物体，有：m
12、gGMm-R2GM得： R =g（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：0v022gh得： hv022g8 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的
13、周期分别为T1 和T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。9 我国在 2008 年 10 月 24 日发射了 “嫦娥一号 ”探月卫星同学们也对月球有了更多的关注(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间 t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M 月【答案】 (1) 3g
14、R2T 2； (2)2v0 r242Gt【解析】【详解】(1)设地球的质量为M ，月球的质量为M 月 ，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：MM 月M 月 ( 22RGR2)TmgG MmR2解得：R3gR2T 242(2)设月球表面处的重力加速度为g ，根据题意得：v0g t2m0 gGM月m0r2解得：M2v0 r 2月Gt10 在某一星球上，宇航员在距离地面h 高度处以初速度v0 沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面时与抛出点的水平距离为x，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：(1)该星球表面的重力加速度g；(2)该星球的质量M ；(3)该星球的第一宇宙速度v。【答案】 (1) g2hv022hv02 R2(3) vv02hRx2(2) MxGx2【解析】（ 1）由平抛运动规律得：水平方向xv0 t竖直方向 h1g t 22解得： g2hv02x2GMm（2）星球表面上质量为m 的物体受到万有引力近似等于它的重力，即 mg R2得： Mg R2G22代入数据解得：M2hv0 R（3） mgm v2；解得 vg RR代入数据得：vv02hRx点睛 ：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度g运用重力等于万有引力，得到g=GM/R2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理
