1、高考物理万有引力定律的应用的基本方法技巧及练习题及练习题( 含答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用12018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018 ”例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射 18 颗北斗三号卫星，为 “一带一路 ”沿线及周边国家提供服务北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图已知该卫星做匀速圆周运动的周期为 T，地球质量为 M、半径为 R，引力常量为 G（ 1）求静止轨道卫星的角速度；（ 2）求静止轨道卫星距离地面的高度h1；（ 3）北斗系统中的倾斜
2、同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T，距离地面的高度为h2视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h1 和 h2 的大小，并说出你的理由【答案】（ 1） =23GMT 212；（ 2） h1 =4 2R （ 3） h = hT【解析】【分析】（ 1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；（ 2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度；（ 3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度；【详解】（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2TMm22（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：G2= m( R h1 )( )
3、(R h1 )T解得： h = 3GMT 2R124（ 3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心由于它的周期也是 T，根据牛顿运动定律，GMm2 =m(Rh2 )( 2) 2( Rh2 )T解得： h2 = 3 GMT 2R42因此 h1= h21）=2GMT2R （3） h1= h2故本题答案是：（；（ 2） h1 = 3T4 2【点睛】对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量2 中国计划在2017 年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员
4、在月球上着陆后，自高h 处以初速度v0 水平抛出一小球，测出水平射程为L（这时月球表面可以看作是平坦的），已知月球半径为R，万有引力常量为G，求：（1 ）月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月 ；（2 ）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？（3 ）当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少?2hV02 R2V0L( R H )2(R H )【答案】（ 1） M（ 2）2hR （ 3） ThGL2LRV0【解析】【详解】（1）由平抛运动的规律可得：hLgGMm由R2mg1 gt 22v0t2hv02L22hv02 R2MGL2（ 2）
5、GMRGv02hRv1LR（3）万有引力提供向心力，则GMm2m RH22TR H解得：L RH2 RHTRv0h3如图所示 ,P、 Q 为某地区水平地面上的两点 ,在定区域周围岩石均匀分布 ,密度为 ;石油密度远小于P 点正下方一球形区域内储藏有石油.假,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔 ,则该地区重力加速度(正常值 )沿竖直方向 ;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即 PO 方向 )上的投影相对于正常值的偏离叫做 “重力加速度反常”为.了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用 P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.(
6、1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径 ), PQx, 求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常 ;(2)若在水平地面上半径为 L 的范围内发现 :重力加速度反常值在与 k (k1)之间变化 ,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心 .如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的 ,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.G VdL2 k【答案】 (1)x2 )3/2 (2) VG( k 2/31).( d 2【解析】【详解】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石 ,则该地区重力加速度便回到正常值.因此 ,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计
7、算,GMmr 2mg式中 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量 .M=V而 r 是球形空腔中心O 至 Q 点的距离 r= d 2x2 g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小?Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向 ,重力加速度反常g是这一改变在竖直方向上的投影dg= grGVd联立 式得g=223/2 (dx)(2)由 式得 ,重力加速度反常g的最大值和最小值分别为(maxG Vg)=2d(G Vdg)=( d 2L2 )3/2 min由题设有 (g) ,( ming=)max=k联立 式得 ,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为dLVL2
8、 k.k 2/3( k2/31G1)24R=6370km，引力常量 1122，一4地球的质量 M=5.98 10kg，地球半径G=6.67 10 Nm /kg颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s ，求：（1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h 的表达式（2）此高度的数值为多少？（保留3 位有效数字）【答案】（ 1）GM7hR （ 2） h=8.41 10mv2【解析】试题分析：（1）万有引力提供向心力，则解得： hGMRv2（2）将（ 1）中结果代入数据有7h=8.41 10m考点：考查了万有引力定律的应用5 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引
9、力作用，三星质量也相同现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G， 则 :（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?L3（ 2）3Gm【答案】（ 1） 435GmL【解析】【分析】（ 1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；（ 2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万
10、有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；【详解】（ 1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：Gm2Gm2m( 2 )2 L(2 L)2L2TT4L35Gm（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗Gm2L星，满足：2m (2)2 cos30cos30L解得： =3GmL36 一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t，已知万有引力恒量为G，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，
11、求：（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小；（2）该星球的质量M；（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？2v2【答案】 （1） g2vR （ 3） T 2Rt（ 2） MtGt2v【解析】【详解】 2v（1）由运动学公式得：t解得该星球表面的“ ”g2v重力 加速度的大小t（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该mM星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg GR2解得该星球的质量为2vR2MGt（3）当某个质量为 m的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行的周期 T
12、最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律G m M 4 2 m RR2T 2解得该卫星运行的最小周期T2Rt2v【点睛】重力加速度 g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供72016 年 2 月 11 日，美国 “激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13 亿光年之外一个双黑洞系统的合并已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0 ，万有引力常量为G（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26 倍和 39 倍，合并后为太阳质量的62 倍
13、利用所学知识，求此次合并所释放的能量（ 2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体a因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为 r 0 的匀速圆周运动由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞利用所学知识求此黑洞的质量M；b严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、 m2的质点相距为 r
14、 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为E pG m1m2 （规定无穷远处r势能为零）请你利用所学知识，推测质量为M的黑洞，之所以能够成为“黑 ”洞，其半径R 最大不能超过多少？24 2r032GM【答案】（ 1） 3M0c（ 2） MGT 2； Rc2【解析】【分析】【详解】（1）合并后的质量亏损m(2639) M 062M 03M 0根据爱因斯坦质能方程Emc2得合并所释放的能量E3M 0c2（2） a小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m根据万有引力定律和牛顿第二定律G Mmm 22r0r02T解得M4 2 r032GTb设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
15、1mv2G Mm02R解得2GMRv2因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过2GMRc28 宇航员王亚平在 “天宫一号 ”飞船内进行了我国首次太空授课若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为 T ，地球半径为 R ，地球表面重力加速度 g ，求：（ 1）地球的第一宇宙速度 v ；（ 2）飞船离地面的高度 h 【答案】 （1） vgR（2） h3gR2T242R【解析】【详解】v2（1）根据 mgm得地球的第一宇宙速度为：RvgR （2）根据万有引力提供向心力有：Mmm R h 42G22 ，(R h)T又 GM gR2 ，解得： h3gR2T 2R 429 我国在 2008
16、年 10 月 24 日发射了 “嫦娥一号 ”探月卫星同学们也对月球有了更多的关注(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间 t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M 月【答案】 (1) 3 gR2T 2 ； (2) 2v0 r 2 4 2Gt【解析】【详解】(1)设地球的质量为M ，月球的质量为M 月 ，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：MM 月M 月( 2 )2 RGR 2TmgMmGR2解得：R3gR2T 242(2)设月球表面处的重力加速度为g ，根据题意得：v0g t2m0 gGM月m0r2解得：M 月2v0 r 2Gt10 已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求（ 1）同步卫星距行星表面的高度为多少？（ 2）该行星的自转周期为多少？【答案】（ 1）（ 2）【解析】【分析】【详解】（1）设同步卫星距地面高度为，则：，以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是R，则联立解得：（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期
