1、第 18 课时 坐标系中的动点问题(50 分)一、填空题 (每题 10 分，共 20 分)12019 泰州 如图 6 2 1，在平面内，线段 AB6，P 为线段 AB 上的动点，三角形纸片 CDE 的边 CD 所在的直线与线段 AB 垂直相交于点 P，且满足 PC PA，若点 P 沿 AB 方向从点 A 运动到点 B，则点 E 运动的路径长为 _6 2_图 6 2 1第 1 题答图【解析】如答图， E 点运动的轨迹与C 点运动的轨迹相同， C 点运动的路径长是6262 6 2，故答案是 62.2菱形 OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图622 所示，顶点 B(2，0)， DOB 60，P 是
2、对角线 OC 上一个动点， E(0，1)，当 EPBP 最短时，点 P 的坐标为 _(2 33，2 3)_图 622第 2 题答图【解析】如答图，连结 DE 交 OC 于点 P，则点 P 满足 EPBP 最短延长CD 交 y 轴于点 F，则 CF y 轴，四边形 OBCD 是菱形，ODCD OB2，DOB60，则 DOF 30，DF 1，OF3，D(1， 3)，C(3， 3)设直线 DE 的解析式为 ykx1，将点 D 坐标代入，则 k13，k31，则 y (31)x 1，设直线 OC 的表达式为 ymx，将点 C 坐标代入，则 3m y（ 31）x1，3， 3，则 y3x，由3m33y 3
3、x，x23 3，解得点P 的坐标为 (23 3， 2 3)y23，第 1页二、解答题 (共 30 分 )3(15 分)2019 长沙 如图 623，直线 l ：y x1 与x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点， P，Q 是直线 l 上的两个动点，且点 P 在第二象限，点 Q 在第四象限， POQ 135.(1)求 AOB 的周长；图 6 2 3(2)设 AQt0，试用含 t 的代数式表示点 P 的坐标；(3)当动点 P，Q 在直线 l 上运动到使得 AOQ 与 BPO 的周长相等时，记 tan AOQm，若过点 A 的二次函数 yax2bx c 同时满足以下两个条件：6a3b 2c0；2当
4、 mxm2 时，函数 y 的最大值等于 m，求二次项系数a 的值解： (1)在函数 y x1 中，令 x0，得 y 1，B(0，1)，令 y 0，得 x1，A(1，0)，则 OA OB 1， AB 2，AOB 的周长为 11 22 2；(2)OA OB，ABO BAO45，PBO QAO135，BPO OBAPOB45 POB，AOQPOQBOA POB45POB，即 BPO AOQ，PBOOAQ，第 2页PB OBOAOB1OAAQ，PBAQ t，如答图，过点 P 作 PHOB 于点 H，则 PHB 为等腰直角三角形12PB t， PH HB2t ，2 2P 2t ，1 2t ；(3)由(2
5、)可知 PBO OAQ，若它们的周长相等，则相似比为 1，即全等，第 3 题答图1PBOA， t 1， t 1，2同理可得 Q22， m2t21，12t2t212t抛物线经过点A， abc 0，又 6a3b2c0， b 4a， c3a，对称轴为直线 x2，当21 x 21 时，若 a0，则开口向上，2由题意，得 x2 1 时，取得最大值 m22 2，即 ( 2 1)2a( 2 1)b c2 22，解得 a11 827；若 a0，则开口向下，由题意，得 x2 时，取得最大值222，即 4a2bc2 22，解得 a 2 22.第 3页综上所述，所求 a 的值为11827或 2 22.4(15 分)
6、如图 6 2 4，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以 P(1，1)为圆心的 P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N.点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，连结 PF，过点 P 作 PE PF 交 y 轴于点 E.设点 F 运动的时间是 t s(t0)(1)若点 E 在 y 轴的负半轴上，求证： PEPF；(2)在点 F 运动过程中，设OEa，OF b，试用含 a的代数式表示 b；图 6 2 4(3)作点 F 关于点 M 的对称点 F经.过 M ，E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，连结 QE.在点 F 运动过程中，是
7、否存在某一时刻，使得以点 Q，O，E 为顶点的三角形与以点 P，M， F 为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由解： (1)证明：如答图 ，连结PM，PN. P 与 x 轴， y 轴分别相切于点M 和点 N，PM MF， PN ON 且 PMPN，第 4 题答图 PMF PNE 90且NPM90.PEPF， 1 3902.在 PMF 和PNE 中，第 4页3 1，PMPN，PMF PNE. PMF PNE(ASA)，PEPF；(2)分两种情况：当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如答图 ，由 (1)得PMF PNE，NEMF t，PNPM1，第 4 题答
8、图 bOFOMMF 1t，a NE ON t1.ba1t (t 1)2，b2a；当01 时， b 2a；当 0t1时， b 2 a；第 5页117(3)存在 t 的值是 22或 22或2或.4(30 分)5(15 分 )2019 攀枝花 如图 6 2 5，在平面直角坐标系中，直线MN 分别与 x轴， y 轴交于点 M(6，0)， N(0， 2 3)，等边三角形 ABC 的顶点 B 与原点 O 重合， BC 边落在 x 轴正半轴上，点 A 恰好落在线段 MN 上，将等边三角形 ABC 从图的位置沿正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，边 AB，AC 分别与线段 MN 交于点 E，F(如图所示
9、)，设 ABC 平移的时间为 t(s)(1)等边三角形 ABC 的边长为 _3_；(2)在运动过程中，当t_3_时， MN 垂直平分 AB；(3)若在 ABC 开始平移的同时， 点 P 从 ABC 的顶点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 BAAC 运动，当点 P 运动到 C 时即停止运动， ABC 也随之停止平移当点 P 在线段 BA 上运动时，若 PEF 与 MNO 相似，求 t 的值；当点 P 在线段 AC 上运动时，设 S PEFS，求 S 与 t 的函数关系式，并求出S 最大值及此时点 P 的坐标图 625【解析】(1)由题易知 OM6，ON23，MN43，NMO 30，
10、1ABC 60，BAM 90，即ABMN，AB2OM3，即等边三角形边长为 3；(2)由等边三角形的性质易知当 MN 垂直平分 AB 时，C 点与 M 点重合，OBOMMB 3，即 t 3；(3)当 P 点在线段 AB 上运动时，则OB t，PB2t，则 BM 6 t，PA3 2t，PEF 与MNO 相似分为 PEF MON 或PEF NOM 两种对应情况思考； 当点在线段113 3t3PEFPHt8AC 上运动时，S PEF 2222第 6页23333 2939333时， max93t8 t8 t2 3232 t3，当 t32 .22S解： (3)当 P 点在线段 AB 上运动时， OBt，
11、BP 2t，则 BM 6 t，PA3 2t，PEF 与MNO 相似分为 PEF MON 或PEF NOM 两种对应情况，第 5 题答图当 PEF MON 时，则 EPF EFAEMB30，1132t16tAE2AF4AP 4 ，BE2BM 2 .32t32t 6t3又 BE ABAE3 4，34 2，解得 t4；当 PEF NOM 时，若点 P 在线段 BE 上，则 PFE NMO 30，即 PF OM，PAF 是等边三角形， EF 垂直平分PA，1316tBEBP 2PA2t ，又 BE2MB 2 ，36 t2t2 ，解得 t1；3当 PEF NOM 时，若点 P 在线段 AE 上，则 P
12、点与 A 点重合，即 t2.3 3综上所述， t4或 1 或2；3当点 P 在线段 AC 上运动时，则 BM 6 t，PC 6 2t， t3.2第 7页1tt3BE2BM 3 2，即 AE2，EF3AE 2 t，AF2AE t，CFACAF3 t，PFPCCF 3t.如答图 ，作 PHEF 于 H 点，由 AFE30 可知，13 t113 3t3t2PH PF2.SPEF EFPH t2822223333293 9338 t8t2 32 322t3，第 5 题答图 当 t3时max9 32S32 .6(15 分 )2019 衢州 在直角坐标系中，过原点O 及点 A(8，0)，C(0， 6)作矩
13、形OABC.连结 OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结DE，作 DF DE，交 OA 于点 F，连结 EF.已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t s.图 626(1)如图 626，当 t3 时，求 DF 的长；(2)如图，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中， DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tanDEF 的值；(3)连结 AD，当 AD 将 DEF 分成的两部分面积之比为1 2 时，求相应 t 的值【解析】 (1)当 t3 时，点 E 为 AB 中点DE 为ABO 的
14、中位线(2)过 D 作 DM OA，DN AB，垂足分别为 M，N.利用 DMF DNE 即可求解(3)AD 将DEF 分成的两部分面积之比为12 可转化为 AD 与 EF 交点 G 为第 8页EF 的三等分点，即讨论G 点所处的位置解： (1)当 t 3 时，点 E 为 AB 中点1点 D 为 OB 中点，DEOA，DE 2OA4.OAAB，DEAB.OAB DEA 90.又 DF DE，DFA90，四边形 DFAE 是矩形，DF AE3.(2)DEF 的大小不变如答图 ，过 D 作 DM OA，DNAB，垂足分别为M，N.四边形 OABC 是矩形，OAAB，四边形 DMAN 是矩形，MDN
15、 90，DM AB，DNOA，BDBNODOM，.DONADBMA点 D 为 OB 中点，M， N 分别是 OA，AB 中点11DM 2AB3，DN2OA 4，EDF 90，FDM EDN.又 DMF DNE90，DMF DNE，DFDM3 .DEDN43EDF 90，tanDEF 4.第 6 题答图(3)过 D 作 DMOA， DN AB，垂足分别为 M ，N.若 AD 将 DEF 的面积分成 1 2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则易得点 G 为 EF 的三等分点第 9页如答图 ，当 E 到达 AB 中点之前时， NE 3 t，由 DMF DNE，得3MF 4(3t)3 25 A
16、F4MF 4t 4 .3t71 2G1 为 EF 的三等分点， G1， t .123由点 A(8，0)， D(4，3)得直线 AD 的表达式为33t 71 275y 4x 6，将 G112 ，3t 代入，得 t41.如答图 ，当 E 越过 AB 中点之后， NE t3，由DMF DNE，得 MF34(t3)AF4MF 3254t4 .3t231.G2 为 EF 的三等分点， G26 ，3t37575代入直线 AD 表达式 y4x 6，得 t41.综上，t 的值为41.(20 分)7(20 分)2019 绍兴 如图 627，已知 ?ABCD，ABx 轴，AB6，点 A 的坐标为 (1， 4)，点
17、 D 的坐标为 (3，4)，点 B 在第四象限，点 P 是?ABCD边上的一个动点(1)若点 P 在边 BC 上， PDCD，求点 P 的坐标；(2)若点 P 在边 AB，AD 上，点 P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线 y x 1 上，求点 P 的坐标；(3)若点 P 在边 AB，AD ，CD 上，点 G 是 AD 与 y 轴的交点，如图，过点 P 作 y 轴的平行线 PM，过点 G 作 x 轴的平行线 GM，它们相交于点 M，将 PGM 沿直线 PG 翻折，当点 M 的对应点落在坐标轴上时， 求点 P 的坐标 (直接写出答案 )第 10 页图 627解： (1)CD 6，点 P 与点 C
18、重合，点 P 的坐标是 (3，4)(2)当点 P 在边 AD 上时，由已知得直线 AD 的函数表达式为 y 2x 2，设 P(a， 2a2)，且 3a1.第 7 题答图 若点 P 关于 x 轴的对称点 Q1 ， 在直线 1上，(a 2a 2)y x则 2a2a1，解得 a 3，此时 P1(3，4)若点 P 关于 y 轴对称点 Q2(a， 2a2)在直线 yx1 上，则 2a2a1，解得 a 1，此时 P2(1，0)当点 P 在边 AB 上时，设 P(a， 4)，且 1a7.若点 P 关于 x 轴对称点 Q3(a，4)在直线 yx1 上，则 4 a 1，解得 a5，此时 P(5， 4)若点 P
19、关于 y 轴对称点 Q4(a， 4)在直线 yx1 上，则 4 a1，解得 a3，此时 P4(3， 4)综上所述，点 P 的坐标为 (3，4)或 (1，0)或 (5， 4)或 (3， 4)；(3)直线 AD：y 2x 2， G(0， 2)，如答图 ，当点 P 在 CD 边上，设 P(m，4)， 3m3，则 MPPM426，MGGM|m|，易证得 OGM HM P，OM GMOM |m|2则 HP MP，即4 6 ， OM3|m|，在 RtOGM中，由勾股定理，得222265653|m| 2m ，解得 m5或5，第 11 页则 P 点坐标为 65，4 或 65，4 ；55第 7 题答图 第 7 题答图 如答图 ，当点 P 在 AD 边上时，设 P(m，2m2)，则 PM PM |2m|，GM MG|m|，易证得 OGM HM P，则OM GMOM|m|HP，即，MP|2m2| 2m|1OM2|2m2|，12225在 Rt OGM中，由勾股定理，得2|2m2| 2 m，解得m2，则P 5， 3；2如答图 ，当点 P 在 AB 边上时，设 P(m， 4)，此时 M在 y 轴上，则四边形 PMGM 为正方形， GMPM422，P(2， 4)5的坐标为，或综上所述， 点P(24) 或 ， 326565第 75 ，4 或5 ，4 .题答图 第 12 页
