1、2000年 第 5期 数学通报数学问题解答 2000年 4月号 问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 12461 f (n)定义在正整数集合上 ,且满足 f (1) = 2, f (n + 1)= (f (n) 2-f (n)+ 1, n = 1, + + f (n)(f (n)-1)+1 f (n + 1)-1= f (n)(f (n)-1)于是 f (n +11)-1 1 = f (n)(f (n)-1) 11 =f (n)-1 f (n)即 f (1 n)= f (n)1-1-f (n +11)-1所以 f (1 k ) nk=1 11 =(-) nk=1 f (k )-1 f (k +
2、 1)-111 =f (1)-1 f (n + 1)-1 1 = 1f (n + 1)-1下面只要用数学归纳法证明 22n-1 22n +1;以及 f (k + Error!) 22k (22k -1)+ 1 22k+1 22k+1 22k = -+1 0.S ADC 由 (3)有 yz = n 2+ 4(y + n 2 n 2 同理= BC = S ABC = +8x /n 2 x = 12/n 24/z ) /S 3+ S 4+ S 5 S ABC , 所以 zn 2, 0 2 3= abc 314641时 ,由 (4)有 z S 1+ S 3+ S 5 5当 y =2时, x = 3;当
3、 y =3时, x = 2;而 x 亦即 : 45 SS 12 + SS 34 + SS 56 54 y x = 3, y = 2,此时 , a = 3, b = 4, c = 5.即 4 S 1+ S 3+ S 5 5 当 n =3时,满足条件的三角形有且只有一个 ,其 5 S 2+ S 4+ S 64边长为 3、4、5.由于面积为 Si的六个小三角形有公共的高z ) 若 n = 1,代入 (3)有 xyz = 4(x + y (+7)即 ABC的内切圆半径 r,故上式可写成 : 1 42 r“ (BF + CD + AE )5 又由 (4)有 0 z 2 3 4,而 z是正整数 ,所 51
4、 4 以 z = 1,或 z = 2,或 z = 3.2 r“ (BD + CE + AF ) 当 z =1时,由 (7)得 x = (4y + 4) /(y 4 BF + CD + AE 5 -4)=4+ 20/(y -4) (8) 5 BD + CE + AF 4 由 x是正整数知 , y -4是 20的约数 ,注意到 + 31,) 而 /(yz-是9 S ABC 91)=1+ 2/(y -1) (6) 即 : 由 x是正整数 ,知 y -1= 1或 y -1= 29 S 1+ S 2+ S 3+ S 4+ S 5+ S 69 所以 y =2或 y = 3.x y ,可得 y = 5, 6
5、, 8,由 (8)得相应的 x分别为 24, 14, 9.此时 , a = 29, b = 25, c = 6;或 a = 20, b = 15, c = 7;或 a = 17, b = 20, c = 9.当 z =2时,由 (7)得 x = (2y +(y 2)=2+ (y -2) (9)-1 = 8abc 2b222 2b44 2 2b242=2a-a+abc4abc 1 = 162+ abca4abc4a =+abc 4 11 =+R 2r 2000年 5月号问题 (来稿请注明出处 编者 ) 12511设数列 an 满足 : a1= 1,且 an+ 1 = 12 an + 94 an
6、数.(方廷刚提供 ) 12521设 a, b, c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 : a 2b + b2 c + c 2 a 18 (盛宏礼提供 ) 12531设四面体 A 1A 2A 3A 4的外接球与内切球的半径分别为 R与 r,则 R 3r.(邹明提供 ) 12541设ma , mb, mc分别是 ABC三边 a, b, c上的中线 ,且 a b, a c,求证 1 mb + mc -2ma (2a -b -c)2 a + ac +2a bc -c +2b2 c 1 9an 2-8为自然(王德文提供 ) 12551四面体 A -B CD三组对棱分别为 a, a, b, b, c, c这三组对棱距离为 d 1, d 2, d 3,这三组对棱中点距离为 m 1, m 2, m 3,外接球半径为 R ,内切球半径为 3 2 2 md ii 4 Rr i=1 r,试证 : -27 (孔令恩提供 )
