1、数学通报 2006年 第 45卷 第 10期64数学问题解答 2006年 9月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 22 1631 过双曲线 xa 2 -yb2 = 1 (a 0 ,b 0)的右焦点 F作 B1 B2 x轴 ,交双曲 线于两点 B1、B2 ,B2 F1交双曲线于 B点 ,连结 B1 B交 x轴于 H点 ,求证过 H垂直于 x轴的直线是双曲线的 (左) 准线(如图 ). btan(-(c, ).a 因为 F1、H分别是直线 B2 F、BB1与 x轴的交点 ,所ab ab+ acsin以 ,c = 2 asin-bcos,x0 =a sin+bcos .所2 a b(b+csin
2、)以 ,cx0 = 2 a 2sin2+ absincos-b2cos 2 2 a b(b+csin) = b22 a 2sin2+ absincos-+b2sin2 2 a b(b+csin) = )、 b2 a 2sin2+ absincos-+c2sin2 2 a b(b+csin) = asin(asin+bcos) 由 得 asin+bcos = 2 ab得 cx0 =a 2sin ,即 x =-c.故过 H垂 (csin-b) x0 直于 x轴的直 线为双曲线的 (左)准线 .证明 2 直线 B1 B与 B 2 F1 F的各边所在直线分别交于 B, H,B1 ,由梅涅劳 斯定理 ,
3、得 B2 BF1 H FB1 = 1 ,BF1 HF B1 B2 FB11 B2 BF1 H 因为 B1 B2 = 2 ,所以 BF1 HF = 2.由已知 ,有 F1 (-c,0) ,F(c,0) ,B2 (c, b2 ),设 a b2 -yB ax0 +c H( x0 ,0) ,B (xB,yB) ,则 , yB c-x0 = 2 ,所b23 acyB-c 以 ,x0 = ayB+b2 .直线 B2 F1的方程为 : = =4 c 2 b2 c.故 ,过 H垂直于 x轴的直 线为双曲线的 (左)准线. 1632 已知 :x,y,z R+ ,且 x+y+z = 1.求 :x 15 + 25
4、y 2 + 20 z的最小值 . (重庆市夏坝中学 余明荣 400700)解 设 k 0 ,x 15 + 25 y 2 + 20 Z 1 55 ky 5 ky 20 = 5 + 5 kx + 2 + + + 5 kz -5 k x 2 y 22 z 3 6 6 + 3 + 22 当 x 15 = kx, 25 y 2 = 52 ky , 20 z= 5 kz时 ,等号成立 ,6即 x= 1 k 1 k ,y = ,z = 2 6 设 t= 0 ,由 x+y+z = 1 ,得 2 t3 +t2 +t -1 = 0 ,所以 (2 t-1) ( t2 +t+ 1)= 0 ,因为 t2 +t+ 1 0
5、 ,所以 t= 21 k= 64 ,所以 x 15 + 25 y 2 + 20 z 6 25 + 3 25 16 + 20 8 -5 64 = 152 ,所以 x 15 + 25 y 2 + 20 z的最小值为 152. 1633 若 a、b、c为整数 ,且 a 3 +b3 +c3是24的倍数 ,求证 :( a 5 +b5 +c5)+ 4(a + b+ c)是 120的倍数 . + (csin-b)( csin+ b) ,a(b + csin),代入上式 ,x0 2 a k5 53 k25 20 k-5 k,3 1 k,1 k (安徽五河县第三中学 李明 233300)证明 a 5 -5 a
6、3 + 4 a= a(a 4 -5 a 2 + 4) = a(a 2 -1)( a 2 -4) = (a-2)( a-1) a(a+ 1)( a+ 2)是五个连续整数之积 ,因此 a 5 -5 a 3 + 4 a是 1 2 3 4 5 = 120的倍数 .同理可证 :b5 -5 b3 + 4 b、c 5 -5 c 3 + 4 c均是 120的倍数 .所以 (a 5 -5 a 3 + 4 a) +(b5 -5 b3 + 4 b) +(c 5 5 c 3 + 4 c)是 120的倍数即( a 5 +b5 +c5)+ 4 (a+ b+ c) -5 (a 3 +b3 +c3)是 120的倍数 .由已知
7、得 5 (a 3 +b3 +c3)是 120的倍数 .故(a 5 +b5 +c5)+ 4 (a+ b+c)是 120的倍数 . 1634 已知正项数列 an满足 a1 = a(0 0 ,f (9999)= 3333 ,求 f( n) ( n N+ ,n 9999). f(3 k + r) 且 an +1 1 +anan .求证 k, n m,则 f(3 m) m+ 1 ,所以 f(9999) f(9999 -3 m) +f (3 m) 3333 -1 + m+ 1 3333 ,这与题设 矛盾 ,所以 f(3 m) =m,m = 1 ,2 , ,3333.设 n 9999 ,n = 3 k+ r
8、,k,r N,k 3333 ,r 2 ,当 r= 0时 ,则 f(n) = f(3 k) =k= 3 n;当 r= 1或 2时 ,因为 f(r) = 0 ,= f(3 k) =n所以 f(n) =k= (n N3 ,n 9999).3 2006年 10月号问题 (来稿请注明出处编者 ) 1636 四边形 ABCD内接于 O,设四边形一组对边 AB , CD相交于 P,记 ABC , BCD的内心分别为 O1 ,O2 ,直线 O1 O2与 AB , CD分别交于 E, F.求证 : PE = PF. (山东费县新桥中学 赵永灵 273407) 1637 P是正 A1 A2 A3的内切圆 O上任一
9、点 ,P至 A1 A2 ,A2 A3 ,A3 A1的距离分别为 d1 ,d2 ,d3 .问 :当 P点位置变动时 ,d21 +d22 +d32 是否为定值 ?d14 +d24 + d43是否为定值 ?说明理由 . (湖北黄石二中 杨志明 435003) 1638 AD是 ABC中 BAC的平分线 ,I1 ,I2分别是 ABD , ACD的内心 .直线 I1 ,I2分别交 AC, AB于 E, F.试证 :AD,BE, CF交于一点 . (四川成都实验外国语学校 宿晓阳 610031) 1639 试求出所有实数 a,使得关于 x的一元三次方程 x 3 -x 2 -(a 2 + a+ 1)x-a-1 = 0的各个根均为整数 . (湖南省邵阳市二中 孙伯友 1640 i 0 , ,(i = 1 ,2 , , n,n 2 ,n 2 nn N+) ,且 sini= a(a 0 ,a是常数 ),求 cosi的i= 1 i=1 最大值 . (浙江衢州市教育局教研室 李世杰 324002) 所以 f( n) 422000)
