1、2001年 第 4期 数学通报48 数学问题解答 (2)求平面 EFG与平面 = ABCD所成的锐二面角 ; MAN (3)求 A1AMN,AB = AB1 = BC, Rt AMB Rt AMG , MAN ,AM为公共边 , AMQ 2001年 3月号问题解答 (解答由 问题提供人给出 ) 1301 正方体 AB CD A1 B1 C1 D1中 ,E、F、G分别是棱 AB、CC1、D1 A1的中点 ,如图 .若 AB = 1 , (1)证明 B1 D平面 431703)解 (1) 连 DE与B1 E,依题意 ,DE = B1 E= 同理 ,F、G也在 B1 D的中垂面上 .而 E、F、G不
2、在同一直线上 ,它们确定的平面是唯一的.所以 B1 D平面 EFG. (2)由 B1 D平面 EFG ,则平面 BB1 D1 D平面 EFG;且平面 BB1 D1 D平面 AB CD.取 A1 B1中点 M,连 GM与 ME,则 GM B1 D1 ,ME BB1 ,则平面 EMG平面 BB1 D1 D.ADN EFG; 2 ,则 E在线段 B1 D的中垂面上 ;平面 EMG平面 EFG ,平面 EMG平面 AB CD.则 EGM为平面 EFG与平面 A1 B1 C1 D1所成锐二面角的平面角 . EM 1tg EGM = GM 2/ 2 则平面 EFG与平面 AB CD所成角为 arctg (
3、3)过 M作 EG的垂线交 EG于 N,则由平面 EMG平面 EFG于 EG ,则 MN平面 EFG;在 Rt EMG中 ,MN = 6 . 1302 正方形 ABCD的边 BC、CD上各有一点 M, N,满足 MAN = 45,求证 : BM DN =BC2 -BC MN . (福建厦门市九中 陈四川 361004)条高 AG、 使 DN = BM =MG,BQ = GN =ND. ANF = 90-NAF = 45= NA F , AF = NF,又 4 + AMN = 90, 5 + AMN = 90, 4 = 5 , Rt A FP Rt NFM,AP = MN .又 N PG AMG
4、, PG = MG ,MG GN = NG AG AG PG = AG (AG -AP) BM DN =BC2 -BC MN . 1303 AB C中 ,BC = a,CA = b,AB = c,D、 E、F分别是三条边 BC、CA、AB上的点 ,求证 :DE + EF+ FD acosA+bcosB+ccos C (浙江衢州市教研室 李世杰 324002)证 记 AF = x,BD = y,CE = z,则 BF =c-x, CD =a-y,AE =b-z根据余弦定理 ,在 A EF中 2EF2 = x +(b-z) 2 2 x(b-z) cosA 2 = x +(b-z) 2 + 2 x(
5、b-z) cos(B + C) = xcos C+ (b-z) cosB2 +xsin C(b-z) sin B2 xcos C+ (b-z) cosB2 EF xcos C+ (b-z) cosB(1)同理 DF ycosA+ (c-x) cos C(2) DE zcosB+ (a-y) cosA(3) (1) +(2) +(3)即可得 DE+ EF+ FD acosA+bcosB+ccos C. 1304 x,y,z 0 , ,求证 :2 = 2 ,2. ME MG = 3 .ME2 + MG2 连 A1 C1交 MG于 P,则 A1 P MG,且 MP = PG, A1 P平面 EFG
6、, A1到平面 EFG的距离为 cos(y-z) cos(z-x) cos(x-y) sin2 xsin2 ysin2 z. (江西永修县一中 宋庆 330304)证明 cos 2 (y-z) =(cos ycosz+ sin zsin y) 2 = cos 2 ycos 2 z+ sin2 zsin2 y + 2cos ycoszsin ysin z 4cos ycoszsin ysin z = sin2 ysin2 z.且 sin2 ysin2 z 0 ,cos(y-z) 0 , cos(y-z) sin2 ysin2 z,满足题目条件 ; (2)求合于题设条件的 a5的最小值. (湖南吉
7、首大学数学与计算机科学系 彭明海 416000) 1308 已知递推式 3 an= + 2 (1)求证 : an可被 2 n整除 ; (2)求证 :a2000能被 101000整除. (江苏省江都市滨湖中学 王庆国 225268) 1309 已知 a1 ,a2 , , an, b1 ,b2 , , bn 1 ,2 ,nn 且 ai = bi ,求证 : i= 1 i= 1 a ai 2 i 3 i = n1 bi 2 i = n1 (广东省中山市中山纪念中学 吴新华 528454) 1310n 11 nbn a-1 + -1 + c-1 +nn bn c a 1 (陕西武功县绿野中学 贺中杰 712203) an+1 an-1 an an -1 (n N) , a0 = 1 ,a1 = 16. 设 a,b,c R+,且 abc = 1 ,n N,证明 :
