1、 数学问题解答 2002年 12月号问题解答 BD DC = AD DF (解答由问题提供人给出 1406 已知 : ADCE为半圆 (如= HG,AL FG.求证 : KB AC (山东 省诸城市第一中学证明 因为 ADCE为半圆 ,所 以 ADE = FCG = 90.在 Rt ADE和 Rt FCG中 ,因为 AD = FC,DE = CG,AK 所以 KL = BC于 D、BC于 F,AE AF,交 BC所在直线于 E.若 BC = a,AC =b,AB =c,求线段 BE之长 . (四川省达县县委 党校 王善鑫 635000)解 显然 , AB AC即 c b,否则 ,若 c= b,
2、则有 AE BC,这和 AE与 BC所在直线相交于 E矛盾 .因 AF平分 BAC ,FC即点 F是BC中点 .连结 OF交 BC于 H,则 H点为 BC的中点且 OF BC,所以 BH 图 1= HC = 2 a, FHE = 90,又 FAE = 90,所以 FHE = FA E ,从而 A、H、 F、E四点共圆 ,由相交弦定理 ,有 HD DE = AD DF. 在 O中 ,由相交弦定理 ,有 所以 ADE FCG.所 以 AE = FG.又 BE = HG,所以 AB AK 因为 AL FG ,所以 FH = ab ac a(c-b) 2 abc = = 由 、 ,得 HD DE =
3、BD DC 因 AD是 ABC的内角 BAC的平分线 , AB =c,AC =b,BC = a,所以 BD c BD+DC c+b a c+b =, =,=,DC bDC bDC b ab 所以 DC =c+b c ac ) 图) ,B为直径 AE上一点 ,F在 AC上 ,AD = FC,D E = CG ,BE 初宗升 ),所以 KB 又因为 LC AC,所以 KB AC. 1407 AB C内接于 O,AF平分 BAC且交 所以 BAF = CA F , 于是 BF = = FHCK 把 、代入 ,得 DC BD = DC = b c+b (1)当 c+b DE / 2 b2 ,c+b c
4、+b2 (c+b) c 2 abc ac 所以 BE = DE+BD ac 2 b ac = + 1 =.c+b c-b c-b(2)当 b c时 ,点 E在 CB的延长线上 ,如图 2 ,这时 aHD = -BD 2 a ac =2 c+b即 HD =a(b-c) 图 2 2 (c + b) 把 、代入 ,得 ab ac a(b-c) 2 abc DE = /= 2 ,c+b c+b2 (c+b) b2 -c 所以 BE =DE -BD = 2 abc 2 -ac b2 2 b = -1 = ac b+c b-c b-c综合 (1)、(2)的结果 ,知所求 BE之长为 ac .| b-c|
5、1408 半径 为 r的 O1内切于半径为 R的 O于 D, ABC内接于 O,且 AB ,AC分别与 O1 b a b 0) ,C2过点 (1 ,1),是否存在与 C1外切 ,与 C2内接的三角形 ?证明自己的结论. 编者) 1411 求大于 1的整数 k,使 f(x) = sin kx sinkx 510725) 1413 若 x 1 ,x x = x0 ,x0 kk,(k + 1) k+1 (四川省邻水二中 张启凡 638500) 1415 设 a,b,c, d N,满足 bc -ad = 1 ,集合 A = 1 ,2 , ,a+c -1,B =ia| i N ,如果 k A-B,求证 : b dk= k. a c ( x表示不超 过实数 x的最大整数) ( 湖南吉首大学数学与计算机科学系 彭明海 416000)
