1、高中物理辅导网 http:/ http:/ 稳恒电流第一讲 基本知识介绍第八部分稳恒电流包括两大块：一是“恒定电流” ，二是“物质的导电性” 。前者是对于电路的外部计算，后者则是深入微观空间，去解释电流的成因和比较不同种类的物质导电的情形有什么区别。应该说，第一块的知识和高考考纲对应得比较好，深化的部分是对复杂电路的计算（引入了一些新的处理手段） 。第二块虽是全新的内容，但近几年的考试已经很少涉及，以至于很多奥赛培训资料都把它删掉了。鉴于在奥赛考纲中这部分内容还保留着，我们还是想粗略地介绍一下。一、欧姆定律1、电阻定律a、电阻定律 R = Slb、金属的电阻率 = 0（1 + t）2、欧姆定律
2、a、外电路欧姆定律 U = IR ，顺着电流方向电势降落b、含源电路欧姆定律在如图 8-1 所示的含源电路中，从 A 点到 B 点，遵照原则：遇电阻，顺电流方向电势降落（逆电流方向电势升高）遇电源，正极到负极电势降落，负极到正极电势升高（与电流方向无关） ，可以得到以下关系UA IR Ir = UB 这就是含源电路欧姆定律。c、闭合电路欧姆定律在图 8-1 中，若将 A、B 两点短接，则电流方向只可能向左，含源电路欧姆定律成为UA + IR + Ir = UB = UA即 = IR + Ir ，或 I = rR这就是闭合电路欧姆定律。值得注意的的是：对于复杂电路， “干路电流 I”不能做绝对的
3、理解（任何要考察的一条路均可视为干路） ；电源的概念也是相对的，它可以是多个电源的串、并联，也可以是电源和电阻组成的系统；外电阻 R 可以是多个电阻的串、并联或混联，但不能包含电源。二、复杂电路的计算1、戴维南定理：一个由独立源、线性电阻、线性受控源组成的二端网络，可以用一个电压源和电阻串联的二端网络来等效。 （事实上，也可等效为“电流源和电阻并联的的二端网络 ”这就成了诺顿定理。 ）高中物理辅导网 http:/ http:/ 8-2 中，针对节点 P ，有I2 + I3 = I1 基尔霍夫第一定律也被称为“节点电流定律” ，它是电荷受恒定律在电路中的具体体现。对于基尔霍夫第一定律的理解，近来
4、已经拓展为：流入电路中某一“包容块”的电流强度的总和，等于从该“包容块”流出的电流强度的总和。b、基尔霍夫第二定律：在电路中任取一闭合回路，并规定正的绕行方向，其中电动势的代数和，等于各部分电阻（在交流电路中为阻抗）与电流强度乘积的代数和。例如，在图 8-2 中，针对闭合回路 ，有3 2 = I3 ( r3 + R2 + r2 ) I2R2 基尔霍夫第二定律事实上是含源部分电路欧姆定律的变体（同学们可以列方程 UP = = UP 得到和上面完全相同的式子） 。3、Y 变换在难以看清串、并联关系的电路中，进行“Y 型 型” 的相互转换常常是必要的。在图 8-3所示的电路中同学们可以证明 Y 的结
5、论 Rc = 321Rb = 321Ra = 321Y 的变换稍稍复杂一些，但我们仍然可以得到R1 = bacaRR2 = cacaR3 = aacba三、电功和电功率1、电源高中物理辅导网 http:/ http:/ 1 、r 1 和 2 、r 2 的电源并联，构成的新电源的电动势 和内阻 r分别为（师生共同推导） = 21rr = 212、电功、电功率电流通过电路时，电场力对电荷作的功叫做电功 W。单位时间内电场力所作的功叫做电功率P 。计算时，只有 W = UIt 和 P = UI 是完全没有条件的，对于不含源的纯电阻，电功和焦耳热重合，电功率则和热功率重合，有 W = I2Rt = t
6、 和 P = I2R = 。U2U2对非纯电阻电路，电功和电热的关系依据能量守恒定律求解。 四、物质的导电性在不同的物质中，电荷定向移动形成电流的规律并不是完全相同的。1、金属中的电流即通常所谓的不含源纯电阻中的电流，规律遵从“外电路欧姆定律” 。2、液体导电能够导电的液体叫电解液（不包括液态金属） 。电解液中离解出的正负离子导电是液体导电的特点（如：硫酸铜分子在通常情况下是电中性的，但它在溶液里受水分子的作用就会离解成铜离子 Cu2+和硫酸根离子 S ，它们在电场力的作用下定向移动形成电流） 。24O在电解液中加电场时，在两个电极上（或电极旁）同时产生化学反应的过程叫作“电解” 。电解的结果
7、是在两个极板上（或电极旁）生成新的物质。液体导电遵从法拉第电解定律法拉第电解第一定律：电解时在电极上析出或溶解的物质的质量和电流强度、跟通电时间成正比。表达式：m = kIt KQ （式中 Q 为析出质量为 m 的物质所需要的电量；K 为电化当量，电化当量的数值随着被析出的物质种类而不同，某种物质的电化当量在数值上等于通过 1C 电量时析出的该种物质的质量，其单位为 kg/C。 ）法拉第电解第二定律：物质的电化当量 K 和它的化学当量成正比。某种物质的化学当量是该物质的摩尔质量 M（克原子量）和它的化合价 n 的比值，即 K = ，而 F 为法拉第常数，对nM任何物质都相同，F = 9.651
8、04C/mol 。高中物理辅导网 http:/ http:/ = Q 。FnM3、气体导电气体导电是很不容易的，它的前提是气体中必须出现可以定向移动的离子或电子。按照“载流子”出现方式的不同，可以把气体放电分为两大类a、被激放电在地面放射性元素的辐照以及紫外线和宇宙射线等的作用下，会有少量气体分子或原子被电离，或在有些灯管内，通电的灯丝也会发射电子，这些“载流子 ”均会在电场力作用下产生定向移动形成电流。这种情况下的电流一般比较微弱，且遵从欧姆定律。典型的被激放电情形有b、自激放电但是，当电场足够强，电子动能足够大，它们和中性气体相碰撞时，可以使中性分子电离，即所谓碰撞电离。同时，在正离子向阴
9、极运动时，由于以很大的速度撞到阴极上，还可能从阴极表面上打出电子来，这种现象称为二次电子发射。碰撞电离和二次电子发射使气体中在很短的时间内出现了大量的电子和正离子，电流亦迅速增大。这种现象被称为自激放电。自激放电不遵从欧姆定律。常见的自激放电有四大类：辉光放电、弧光放电、火花放电、电晕放电。4、超导现象据金属电阻率和温度的关系，电阻率会随着温度的降低和降低。当电阻率降为零时，称为超导现象。电阻率为零时对应的温度称为临界温度。超导现象首先是荷兰物理学家昂尼斯发现的。超导的应用前景是显而易见且相当广阔的。但由于一般金属的临界温度一般都非常低，故产业化的价值不大，为了解决这个矛盾，科学家们致力于寻找
10、或合成临界温度比较切合实际的材料就成了当今前沿科技的一个热门领域。当前人们的研究主要是集中在合成材料方面，临界温度已经超过 100K，当然，这个温度距产业化的期望值还很远。5、半导体半导体的电阻率界于导体和绝缘体之间，且 值随温度的变化呈现“反常”规律。组成半导体的纯净物质这些物质的化学键一般都是共价键，其稳固程度界于离子键和金属键之间，这样，价电子从外界获得能量后，比较容易克服共价键的束缚而成为自由电子。当有外电场存在时，价电子移动，同时造成“空穴” （正电）的反向移动，我们通常说，半导体导电时，存在两种载流子。只是在常态下，半导体中的载流子浓度非常低。半导体一般是四价的，如果在半导体掺入三
11、价元素，共价键中将形成电子缺乏的局面，使“空穴”载流子显著增多，形成 P 型半导体。典型的 P 型半导体是硅中掺入微量的硼。如果掺入五价元素，共价键中将形成电子多余的局面，使电子载流子显著增多，形成 N 型半导体。典型的N 型半导体是硅中掺入微量的磷。如果将 P 型半导体和 N 型半导体烧结，由于它们导电的载流子类型不同，将会随着组合形式的不同而出现一些非常独特的物理性质，如二极管的单向导电性和三极管的放大性。第二讲 重要模型和专题高中物理辅导网 http:/ http:/ 1】在图 8-4 甲所示的电路中， R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求 A、B 两端的等效电阻
12、 RAB 。【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图 8-4 甲图中的 A、D 缩为一点 A 后，成为图 8-4 乙图对于图 8-4 的乙图，求 RAB 就容易了。【答案】R AB = R 。83【物理情形 2】在图 8-5 甲所示的电路中， R1 = 1 ，R 2 = 4 ，R 3 = 3 ，R 4 = 12 ，R 5 = 10 ，试求 A、B 两端的等效电阻 RAB 。【模型分析】这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将 A、B 两端接入电源，并假设 R5 不存在，C、D 两点的电势有什么关系？学员判断结论：相等。因
13、此，将 C、D 缩为一点 C 后，电路等效为图 8-5 乙对于图 8-5 的乙图，求 RAB 是非常容易的。事实上，只要满足 = 的关系，我们把桥式电21R43路称为“平衡电桥” 。高中物理辅导网 http:/ http:/ AB = 。415相关介绍英国物理学家惠斯登曾将图 8-5 中的 R5换成灵敏电流计 ，将 R1 、R2 中的某一G个电阻换成待测电阻、将 R3 、R4换成带触头的电阻丝，通 过调节 触头 P 的位置，观察电流计示数为零来测量带测电阻 Rx 的值 ，这种测量电阻的方案几乎没有系统误差，历史上称之 为“ 惠斯登电桥”。请学员们参照图 8-6 思考惠斯登 电桥测量电阻的原理，
14、并写出 Rx 的表达式（触 头两端的电阻丝长度 LAC 和LCB 是可以通 过设置好的标尺读出的）。学员思考、计算【答案】R x = R0 。ACBL【物理情形 3】在图 8-7 甲所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为 R ，试求 A、B 两点之间的等效电阻 RAB 。【模型分析】在本模型中，我们介绍“对称等势”的思想。当我们将 A、B 两端接入电源，电流从 A 流向 B 时，相对 A、B 连线对称的点电流流动的情形必然是完全相同的，即：在图 8-7乙图中标号为 1 的点电势彼此相等，标号为 2 的点电势彼此相等 。将它们缩点后，1 点和 B 点之间的等效电路如图 8-7 丙所示。不难求出
15、，R 1B = R ，而 RAB = 2R1B 。145【答案】R AB = R 。72、Y 型变换【物理情形】在图 8-5 甲所示的电路中，将 R1 换成 2 的电阻，其它条件不变，再求 A、B两端的等效电阻 RAB 。【模型分析】此时的电桥已经不再“平衡” ，故不能采取等势缩点法简化电路。这里可以将电路的左边或右边看成型电路，然后进行Y 型变换，具体操作如图 8-8 所示。高中物理辅导网 http:/ http:/ = = = 531103252Rb = = = 5314Rc = = = 25311032再求 RAB 就容易了。【答案】R AB = 。145683、电流注入法【物理情形】对
16、图 8-9 所示无限网络，求 A、B 两点间的电阻 RAB 。【模型分析】显然，等势缩点和Y 型变换均不适用这种网络的计算。这里介绍“电流注入法”的应用。应用电流注入法的依据是：对于任何一个等效电阻 R，欧姆定律都是适用的，而且，对于每一段导体，欧姆定律也是适用的。现在，当我们将无穷远接地，A 点接电源正极，从 A 点注入电流 I 时，AB 小段导体的电流必为 I/3 ；当我们将无穷远接地，B 点接电源负极，从 B 点抽出电流I 时，AB 小段导体的电流必为 I/3 ；那么，当上面“注入”和“抽出”的过程同时进行时，AB 小段导体的电流必为 2I/3 。最后，分别对导体和整个网络应用欧姆定律，
17、即不难求出 RAB 。【答案】R AB = R 。32相关介绍事实上，电流注入法是一个解复 杂电路的基本工具，而不是仅仅可以适用于无限网络。下面介绍用电流注入法解 图 8-8 中桥式电路（不平衡）的 RAB 。从 A 端注入电流 I ，并设流过 R1 和 R2 的电流分高中物理辅导网 http:/ http:/ I1 和 I2 ，则根据基尔霍夫第一定律，其它三个电阻的电流可以表示为如图 8-10 所示。然后对左边回路用基尔霍夫第二定律，有I1R1 + (I1 I2)R5 (I I1)R3 = 0即 2I1 + 10(I1 I2) 3(I I1) = 0整理后得 15I1 10I2 = 3I 对
18、左边回路用基尔霍夫第二定律，有I2R2 (I I2)R4 (I1 I2)R5 = 0即 4I2 12(I I2) 10(I1 I2) = 0整理后得 5I1 + 13I2 = 6I 解两式，得 I1 = I ，I2 = I45991很显然 UA I1R1 I2R2 = UB 即 UAB = 2 I + 4 I = I9168最后对整块电路用欧姆定律，有 RAB = = 。IAB145684、添加等效法【物理情形】在图 8-11 甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R ，试求 A、B 两点间的电阻 RAB 。【模型分析】解这类问题，我们要用到一种数学思想，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。
19、在此模型中，我们可以将“并联一个 R 再串联一个 R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图 8-11 乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即RABR + R = R AB 解这个方程就得出了 RAB 的值。【答案】R AB = R 。251学员思考本题是否可以用“电流注入法”求解？解说可以，在 A 端注入电流 I 后，设第一级的并联电阻分流为 I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的 电流值如图 8-12 所示高中物理辅导网 http:/ http:/ 霍夫第二定律，有(I I1)R + (I I1) R I1R = 0解得
20、I1 = I25很显然 UA IR I1R = UB 即 UAB = IR + IR = IR25最后，R AB = = R 。IAB1【综合应用】在图 8-13 甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为 R ，试求 A、B 两点间的等效电阻 RAB 。【解说】当 A、B 两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将 CD 间的导体、DE 间的导体取走后，电路可以等效为图 8-13 乙所示的二维无限网络。对于这个二维无限网络，不难求出 R= R321显然，R AB = R
21、 R32【答案】R AB = R 。1二、含源电路的简化和计算1、戴维南定理的应用【物理情形】在如图 8-14 甲所示电路中，电源 = 1.4V，内阻不计， R1 = R4 = 2，R 2 = R3 = R5 = 1，试用戴维南定理解流过电阻 R5 的电流。高中物理辅导网 http:/ http:/ R5 之外的电阻均看成 “与电源相关联的”部分，于是 将电路做“拓扑”变换，成图 8-14 乙图。这时候，P 、Q 两点可看成“新电源”的两极，设新电源的电动势为 ，内阻为 r，则r= R1R 2 + R3R 4 = 为 P、Q 开路时的电压。开路时，R 1 的电流 I1 和 R3 的电流 I3
22、相等，I 1 = I3 = = A ，令“老电源”的负极接地，则 UP = I1R2 = V ，U Q = I3R4 = )()4321中 2157 57V ，所以 = U QP = V54最后电路演化成图 8-14 丙时， R5 的电流就好求了。【答案】R 5 上电流大小为 0.20A，方向（在甲图中）向上。2、基尔霍夫定律的应用基尔霍夫定律的内容已经介绍，而且在（不含源）部分电路中已经做过了应用。但是在比较复杂的电路中，基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有几个？这里需要补充一个法则，那就是基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一；基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。
23、而且，独立回路的个数 m 应该这样计算m = p n + 1其中 p 为支路数目（不同电流值的数目） ，n 为节点个数。譬如，在图 8-15 所示的三个电路中，m 应该这样计算高中物理辅导网 http:/ http:/ = 3 ，n = 2 ，m = 3 2 + 1 = 2乙图，p = 6 ，n = 4 ，m = 6 4 + 1 = 3丙图，p = 8 ，n = 5 ，m = 8 5 + 1 = 4以上的数目也就是三个电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。思考启发：学员观察上面三个电路中 m 的结论和电路的外部特征，能得到什么结果？学员：m 事实上就是“ 不重叠”的回路个数！（可在丙图的基础上
24、添加一支路验证）【物理情形 1】在图 8-16 所示的电路中， 1 = 32V， 2 = 24V，两电源的内阻均不计，R 1 = 5， R2 = 6，R 3 = 54，求各支路的电流。【模型分析】这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n 1 = 2 ，第二方程的个数为 p n + 1 = 2由第一定律，有 I3 = I1 + I2由第二定律，左回路有 1 2 = I1R1 I2R2左回路有 2 = I2R2 + I3R3代入数字后，从这三个方程不难解出I1 = 1.0A ，I 2 = 0.5A ，I 3 = 0.5A这里 I2 的负号表明实际电流方向和假定方向相反。【答案】R
25、1 的电流大小为 1.0A，方向向上，R 2 的电流大小为0.5A，方向向下，R 3 的电流大小为 0.5A，方向向下。【物理情形 2】用基尔霍夫定律解图 8-14 甲所示电路中 R5 的电流（所有已知条件不变） 。【模型分析】此电路 p = 6 ， n = 4 ，故基尔霍夫第一定律方程个数为 3 ，第二定律方程个数为 3 。为了方便，将独立回路编号为、和 ，电流只设了三个未知量 I1 、I 2 和 I3 ，其它三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来，见图 8-17 。这样，我们只要解三个基尔霍夫第二定律方程就可以了。对回路，有 I2R1 + I1R5 I3R3 = 0即 2I2 + 1I1
26、 1I3 = 0 高中物理辅导网 http:/ http:/ (I2 I1)R2 (I1 + I3)R4 I1R5 = 0即 1(I2 I1) 2(I1 + I3) 1I1 = 0 对回路，有 = I3R3 + (I1 + I3)R4即 1.4 = 1I3 + 2(I1 + I3) 解式不难得出 I1 = 0.2A 。 （I 2 = 0.4A ，I 3 = 0.6A）【答案】略。【物理情形 3】求解图 8-18 所示电路中流过 30 电阻的电流。【模型分析】基尔霍夫第一定律方程 2 个，已在图中体现基尔霍夫第二定律方程 3 个，分别为对回路，有 100 = (I2 I1) + I210 对回路
27、，有 40 = I210 + I130 I310 对回路，有 100 = I310 + (I1 + I3) 10 解式不难得出 I1 = 1.0A 。 （I 2 = 5.5A ，I 3 = 4.5A）【答案】大小为 1.0A，方向向左。小结解含源电路我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。原则上，对任何一个问题，两种方法都可以用。但是，当我们面临的只是求某一条支路的电流，则用戴维南定理较好，如果要求求出多个（或所有）支路的电流，则用基尔霍夫定律较好。而且我们还必须看到，随着独立回路个数的增多，基尔霍夫第二定律的方程随之增多，解题的麻烦程度随之增大。三、液体导电及其它【物理情形】已知法拉第恒
28、量 F = 9.65104C/mol ，金的摩尔质量为 0.1972kg/mol ，金的化合价为 3 ，要想在电解池中析出 1g 金，需要通过多少电量？金是在电解池的正极板还是在负极板析出？【解说】法拉第电解定律（综合形式）的按部就班应用，即 Q = ，代入相关数据（其中 m = 1.0103kg ，n = 3）即MmFn可。【答案】需要 1.47103C 电量，金在负极板析出。【相关应用】在图 8-19 所示的装置中，如果在 120 分钟内淀积 3.01022 个银原子，银的化合价为 1 。在电流表中显示的示数是多少？若将阿弗伽德罗常数视为已知量，试求法拉第恒量。【解说】第一问根据电流定义即
29、可求得；第二问 F = = mnQM102.63M3192【答案】0.667A；9.6310 4C/mol 。高中物理辅导网 http:/ http:/ 8-20 展示了欧姆表的基本原理图（未包括换档电路） ，虚线方框内是欧姆表的内部结构，它包含表头 G、直流电源 （常用干电池）及电阻 R 。当被测电阻 Rx 接入电路时，表头 G 电流I = xgr可以看出，对给定的欧姆表，I 与 Rx 有一一对应的关系，所以由表头指针的位置可以知道 Rx 的大小。为了读数方便，事先在刻度盘上直接标出欧姆值。考查 I（R x）函数，不难得出欧姆表的刻度特点有三：大值在左边、小值在右边；不均匀，小值区域稀疏、大
30、值区域密集；没有明确的量程，最右边为零，最左边为 。欧姆表虽然没有明确的量程，并不以为着测量任何电阻都是准确的，因为大值区域的刻度线太密，难以读出准确读数。这里就有一个档位选择问题。欧姆表上备有“1” 、 “10”、“100”、 “1k”不同档位，它们的意义是：表盘的读数乘以这个倍数就是最后的测量结果。比如，一个待测电阻阻值越 20k，选择“10”档，指针将指在2k 附近（密集区） ，不准，选择“1k”档，指针将指在 20 附近（稀疏区） ，读数就准确了。不同的档位是因为欧姆表的中值电阻可以选择造成的。当 Rx =（R g + r + R）时，表头电流 I = Ig ，指针指在表盘的几何中心，
31、故称此时的 Rx即（R g + r + R）为中值电阻，它就21是表盘正中刻度的那个数字乘以档位倍数。很显然，对于一个给定的欧姆档，中值电阻（简称 R中 ）应该是固定不变的。由于欧姆表必须保证 Rx = 0 时，指针指到最右边（0 刻度） ，即= IgrRg这个式子当中，只有 Rg 和 Ig 是一成不变的， 、r 均会随着电池的用旧而改变（、r） ，为了保证方程继续成立，有必要调整 R的值，这就是欧姆表在使用时的一个必不可少的步骤：欧姆调零，即将两表笔短接，观察指针指到最右边（0 刻度）即可。所以，在使用欧姆表时，选档和调零是必不可少的步骤，而且换档后，必须重新调零。【相关问题 1】当欧姆表的
32、电池用旧了之后，在操作规范的前提下，它的测值会 （填“偏大” 、 “偏小”或“继续准确” ） 。【解说】这里的操作规范是指档位选择合适、已正确调零。电池用旧后，、r，但调零时，务必要使 R，但 Rg + r + R = R 中 = ，故 R 中 ，形成系统误差是必然的。gI设新电池状态下电源电动势为 、中值电阻为 R 中 ，用旧状态下电源电动势为 、中值电阻为 R 中 ，则针对同一个 Rx ，有高中物理辅导网 http:/ http:/ I = = = xR中 xgIxgRI1旧电池状态 I= = = x中 xgIxgI两式比较后，不难得出 I I ，而表盘的刻度没有改变，故欧姆示数增大。【答案】偏大。【相关问题 2】用万用表之欧姆档测某二极管极性时，发现指针偏转极小，则与红表笔相连接的应为二极管的 极。【解说】欧姆档指针偏转极小，表明电阻示数很大；欧姆表的红表笔是和内部电源的负极相连的。【答案】正 。第八部分完
