1、第 1 页 共 11 页 2010 年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第 9 部分:直线与圆的方程一、选择题:1 （ 2010 年高考全国卷 I 理科 11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么 的最小值为PAB(A) (B) (C) (D)423242321.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设 PA=PB= ,APO=,则APB= ，PO=(0)x， ，21x21sin= = = ，|cosPABP2(sin)x2(1)
2、x42x令 ，则 ，即 ，由 是实y42140y2数，所以， ，解得 或 .故2(1)()0261332y.此时 .min3PABx2 （ 2010 年高考福建卷理科 2）以抛物线 的焦点为圆心 ,且过坐标原点的圆的方程为( )24yxA. B. C. D. x+y=0+y=+-=02x+-=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0 ） ，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为 ，r=1故所求圆的方程为 ，即 ，选 D。2x-1)（ 2-【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。3 (2010 年高考数学湖北卷理科 9）若直线 与曲线 有公共点，则 的
3、取值范yxb234yxb围是A B. 1,212,C. D. 3【答案】C【解析】曲线方程可化简为 ，即表示圆心为（2 ，3）半径为 2 的半圆，依22()(3)4(13)xyy据数形结合，当直线 与此半圆相切时须满足圆心（2，3 ）到直线 y=x+b 距离等于 2，解得yb，因为是下半圆故可得 （舍） ，当直线过（0，3 ）时，解得 b=3,故121bb或 b所以 C 正确.3,4 （ 2010 年高考陕西卷理科 8）已知抛物线 的准线与圆 相切，则2pxy 0762xy的值为 【 】21A1BC4D【答案】CPABO第 2 页 共 11 页 【解析】由题设知，直线 与圆 相切，从而 .故选
4、 .2px1632yx 2423pC5 （2010 年高考江西卷理科 8）直线 与圆 相交于 M，N 两点，若yk()()xy|MN| ，则 的取值范围是23kA B C D,043(,0,)43,2,03【答案】A6 （ 2010 年高考辽宁卷理科 10）已知点 P 在曲线 y= 上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则41xea 的取值范围是(A)0, ) (B) (D) 4,)23(,4,)【答案】D7. (2010 年高考重庆市理科 8) 直线 与圆心为 D 的圆 交于 A、B 两点，32yx3cos,(0,2)1inxy则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（A） （B） （C）
5、 （D） 76544353【答案】C解析：数形结合3012由圆的性质可知 1故 .438. (2010 年高考重庆市理科 10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线【答案】D解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B.二、填空题：1 （ 2010 年高考山东卷理科 16）已知圆 C 过点（1,0） ，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 ： 被l1yx圆 C 所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线 垂直的直线的方程为 2l【答案】 x+y-3=0【解析】由题意
6、，设所求的直线方程为 ，设圆心坐标为 ，则由题意知：x+ym=0(a,0)，解得 或-1 ，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 ，故圆心坐标为22|a-1()()a3 =3第 3 页 共 11 页 （3 ， 0） ，因为圆心（3 ，0）在所求的直线上，所以有 ，即 ，故所求的直线方程为3+0m=-3。x+y-=【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。2.(2010 年高考天津卷理科 13)已知圆 C 的圆心是直线 （为参数）与轴的交点，且圆 C 与直线1t相切。则圆 C 的方程为 。30【答案】 2(1)xy【解析】令 y=0 得
7、 t=-1，所以直线 （为参数）与轴的交点为（-1 ，0 ） ，因为直线与圆相切，所1t以圆心到直线的距离等于半径，即 ，故圆 C 的方程为 。|03|2r2(1)xy【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。3 （ 2010 年高考广东卷理科 12）已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0相切，则圆 O 的方程是 【答案】 2(5)xy【解析】设圆心为 ，则 ，解得 ,0()a2|0|51ar5a4 （ 2010 年高考四川卷理科 14）直线 与圆 相交于 A、B 两点，则 .xy28xy解析：方法一、圆心为(0,0)，
8、半径为 2圆心到直线 的距离为 d250xy2|05|1()故 |AB得|AB |2 3答案：2 35 （ 2010 年高考江苏卷试题 9）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线42yx12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_【答案】 （-13，13）解析 考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，圆心（0，0 ）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， ，的取值范围是（-13，13） 。|3c6. (2010 年全国高考宁夏卷 15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B（2,1） ，则圆 C 的方程为_【答案】 2(3)
9、xy解析：设圆的方程为 ，则根据已知条件得22()()aybr第 4 页 共 11 页 222(4)(1)30abra7 （ 2010 年高考上海市理科 5）圆 的圆心到直线 l: 的距离2:40Cxy340xy3 。d【答案】38 （ 2010 年高考上海市理科 11）将直线 、 （ ， ）x 轴、2:ln3:0lxny*N2ny 轴围成的封闭图形的面积记为 ，则 。nSim【答案】1三、解答题：1. （ 2010 年高考全国卷 I 理科 21）(本小题满分 12 分) （注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线 的焦点为 F，过点 的直线 与 相交于、两点，点 A 关于轴的对称2:4Cyx(1
10、,0KlC点为 D .（）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设 ，求 的内切圆 M 的方程 .89ABD【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】 （21）解：设 ， ， ， 的方程为 .1(,)Axy2(,)B1(,)xyl1(0)xmy（）由知，21212()(1)xmym.第 5 页 共 11 页 因为 ，1(,)FAxyur2(1,)FBxyu
11、r 2212()48xm故 ，2849m解得 3所以 的方程为l40,340xyxy又由知 221()7m故直线 BD 的斜率 ，217y因而直线 BD 的方程为 30,30.xxy因为 KF 为 的平分线，故可设圆心 ， 到 及 BD 的距离分别为BKD()1)Mtt(,)tl.31,54tt由 得 ，或 （舍去） ，19tt故 圆 M 的半径 .325r所以圆 M 的方程为 .4()xy2 （ 2010 年高考四川卷理科 20） （本小题满分 12 分）已知定点 A(1 ，0)，F(2， 0)，定直线 l：x ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离12的 2 倍
12、.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N（）求 E 的方程；（）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由.第 6 页 共 11 页 3 （ 2010 年高考江苏卷试题 18） （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。设过点 T（xoy1592yx）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其中 m0, 。mt, ),(1),(2xN0,21y（1 ）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹；42BF（2 ）设 ，求点 T 的坐标；31,21x（3 ）
13、设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐9t第 7 页 共 11 页 标与 m 无关） 。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。（1 ）设点 P（x，y） ，则：F （2 ，0） 、B（3，0 ） 、A （-3， 0） 。由 ，得 化简得 。42B22()()4,xyxy92x故所求点 P 的轨迹为直线 。9（2 ）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2 ， ） 、N（ ， ）31,21x 0,1y531209直线 MTA 方程为： ，即 ，05yx3yx直线 NTB 方程为： ，即 。201935
14、62联立方程组，解得： ，7xy所以点 T 的坐标为 。10(7,)3（3 ）点 T 的坐标为 9m直线 MTA 方程为： ，即 ，0yx(3)12myx直线 NTB 方程为： ，即 。396分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，1592yx 123,x解得： 、 。223(80)4,)mM223(0),)mN（方法一）当 时，直线 MN 方程为：12x 22223(0)40808myx令 ，解得： 。此时必过点 D（1 ，0） ；0y当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。12x第 8 页 共 11 页 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0 ） 。（方
15、法二）若 ，则由 及 ，得 ，12224368m0210m此时直线 MN 的方程为 ，过点 D（1，0） 。x若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ，12x10m22410830Mkm直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。2213604NDkmMDNk因此，直线 MN 必过轴上的点（1 ，0） 。4 (2010 年高考北京市理科 19)（本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 .3()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问
16、：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（19） （共 14 分）（I）解：因为点 B 与 A 关于原点 对称，所以点得坐标为 .(1,)O(1,)设点的坐标为 xy由题意得 3化简得 .24(1)故动点的轨迹方程为 2()xyx（II）解法一：设点的坐标为 ，点 ， 得坐标分别为 , .0,MN(3)MyN则直线 的方程为 ，直线 的方程为AP1BP01()x令 得 ， .3x043Myx023Nyx于是 得面积N2002|()1|()21PNSyxA又直线 的方程为 ， ，Bx|AB点到直线 的距离 .0|d于是 的面积A第 9
17、页 共 11 页 01|2PABSdxy当 时，得MNA202(3)|1|x又 ，0|xy所以 = ，解得 。2(3)01|x05|3x因为 ，所以04y9y故存在点使得 与 的面积相等，此时点的坐标为 .PABMN53(,)9解法二：若存在点使得 与 的面积相等，设点的坐标为PA0,xy则 .11|sin|sin22NMP因为 ,si所以 |PNB所以 00|1|3|xx即 ，解得20()|053因为 ，所以34xy9y故存在点 S 使得 与 的面积相等，此时点的坐标为 .PABMN53(,)95 （ 2010 年高考浙江卷理科 21） （本小题满分 15 分）已知 m1,直线 l:x-my
18、- 2=0,m椭圆 C：（ ） 2+y2=4 ，F 1,F2分别为椭圆 C 的左右焦点。xm（）当直线 l 过右焦点 F2时，求直线 l 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交与 A,B 两点， AF1F2, BF1F2的重心分别为 G,H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的的圆内，求实数 m 的取值范围。（21 ）本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。第 10 页 共 11 页 （）解：因为直线 经过 ，:l20mxy2(1,0)F所以 ,得 ，221m又因为 ，所以 ，故直线 的方程为 。l20xy（）解：设 。12(,)(,)AB由 ，消去得21mxy2204y则由 ，知 ，228(1)80m28m且有 。1212,yyA由于 ，(,0)(Fc故 为 的中点，O12由 ，,AGBHO可知 121()(,)33xyh221219y设 是 的中点，则 ，MGH1212(,)6xy由题意可知 2,O即2221111()()4()()69xyxy即 120第 11 页 共 11 页 而221211()()mxyyy228）所以2108即 24m又因为 且所以 。1所以的取值范围是 。(1,2)
