1、问题 2：设椭圆 过点 ，且左焦点为 .012bayxC: 1,2M0,2F（1） 求椭圆 的方程；（2） 当过点 的动直线 与椭圆 相交于两不同点 时，在线段 上取点 ，),4(PlCBA, Q满足 .证明：点 总在定直线上.BAQ解答：第（1）题易得椭圆方程为 （过程略） ；主要第（2）题证明如下：124yxABPQ如图，设 ，由三角形的相似得：021,yxQByxA02104xxBPAPQ化简得： 82)(40110xx现设直线 （k 必存在）代入椭圆方程 ，,y 124yx得： 0163241622kxxk由韦达定理，得： 22121,kk代入 式，化简得： ，代入直线方程，得：40x
2、 60y两式联立，消去 ，得： ，k02y即点 在定直线 上，得证.oyxQ,0 x变 1：设椭圆 ，当过点 （其中 ）的动1:2byaxCnmP, 1,022bnamn直线 与椭圆 相交于两不同点 时，在线段 上取点 ，满足l BA, QPAQB证明：点 在定直线 上.12bnyamx变 2：设双曲线 ，过点 （其中 ）的动直:2CnmP, 1,022bnamn线 与双曲线 相交于两不同点 ，在线段 上取点 ，满足l BA, QPBAQ证明：点 在定直线 上.Q12bnyamx证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为 （ ，12byax0a且不同时小于 ） （注：实际上还可包括
3、圆） ；设直线 （注：当 k 不存在ab0 )(mkny的情况需另行证明，这里略） ，两式联立，消去 ，得：01222 bbmkxnkbxk设 ，得21,yBA 2221221 1, kanbkxan现设 ，由条件 知， 点在线段 外，不失一般性，在0,xQPBAQP AB图象中，从左到右这四个字母的顺序是 ，故由三角形的相似得：,，即0210xmx02)(1210 mxx现韦达定理代入 式，化简得：akbn20mbnaamkbny 2220 111，化简得：x02 10yx点 在直线 上，得证.0,yxQ1bnyamx变 3：设抛物线 ，当过点 （其中 ）的动直线 与抛)0(2:pC),(n
4、mPpm2l物线 相交于两不同点 ，在线段 上取点 ，满足BA, QPBAQ证明：点 在定直线 上.Q)(xny证明：设直线 ，代入抛物线方程，得：kmx 022pmknpy设 ，得21,yBAknypky,2211现设 ，由条件 知， 点在线段 外，不失一般性，在0xQPBAQP AB图象中，从左到右这四个字母的顺序是 ，故由三角形的相似得：,，即：0210ynyBAP021210 nyyn现韦达定理代入 式，化简得：kpm20nkppnkpmnx 3220，化简得：nxy3220 )(0mxy点 在直线 上，得证.0,yQ)(mxp问题 3：（同问题 2）变 1：已知定点 和椭圆 ，直线
5、分别与椭圆相切于点),(nmP1:2byaxCPNM,，直线 PAB 与椭圆相交于 A，B 两点，Q 在线段 AB 上，若满足NM,，则点 Q 在定直线 MN 上.AQB证明：由问题 2 的变 1 的结论，只需证：切点 M，N 在定直线 上.12bnyamx先在椭圆方程里对 求导，得：x02ybax设切点 M（N）的坐标是 ，代入 式，得0,y 002xnyba化简，得 2020202axbnamxb120m切点 M，N 在定直线 上.得证.12y变 2：已知定点 和抛物线 ，直线 分别与抛物线相切),(nP)0(:pxCPNM,于点 ，直线 PAB 与抛物线相交于 A，B 两点，Q 在线段
6、AB 上，若满足,，则点 Q 在定直线 MN 上.QBA证明：由问题 2 的变 3 的结论，只需证：切点 M，N 在定直线 上.)(mxpny先在抛物线方程里对 求导，得：xpy2设切点 M（N）的坐标是 ，代入 式，得0, pxy0化简，得 )(0mxpny切点 M，N 在定直线 上.)(xny问题 4：椭圆 左右焦点是 ，抛物线 的焦点也是 ，)0(12bayx 21,Fxy422F点 M 是两曲线在第一象限的交点，且 ，求椭圆方程.352M解答：由共焦点知：椭圆中的 ；又抛物线的准线必过椭圆的左焦点，所以c12xF所以,38,My3792581F421MFa422yxba变 1：设抛物线
7、 和椭圆 的公共焦点为 ，)0(2py )0(12bayx )0,(cF是椭圆的左焦点， 是两曲线的交点，椭圆的离心率是 的)0,(cEP PEe,面积是 ，则：S)1()4( )(2tan)3(;2),1)(ePFcbcbyexpp证明：（1）由共焦点知， ，联立 ，得：cxpycp42,142byacx0)(42222 axca2416ceaacaxp 1)(2222bcyp )(42（2） cabacacacycSp 2)(2241 22（3）设 ，则nPFmE, mncabS21si又由余弦定理， 12)(2)cos 22 nbcnc)(1sin2tacab（4） 2223232 )(
8、cacaxPFp 122eac变 2：设抛物线 和双曲线 的公共焦点为 ，)0(2pxy )0(12bayx )0,(cF是双曲线的左焦点， 是两曲线的交点，双曲线的离心率是)0,(cEP的面积是 ，则：EFPe,S)1()4( )(2cot)3(;2)(,1)(eaPFabcbSyaxpp证明：（1）由共焦点知， ，联立 ，得：cxpycp42,142byacx0)(42222 axcac2416c11)(24 222 eaeacacaxp byp )(2（2） acbacacycSp 22412（3）设 ，则nPFmE, mnnS2121si又由余弦定理， 12)()cos2 bcnc)(
9、24cos1in2t acb（4） 222332 accaxPFp 122eac变 3：设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ，0121bayx 12byax)0,(cE是两曲线的一个交点， 的面积为 ，证明：PcF),0(,PEF,S21212121 ,min,max)4( ;ta)3(;)(;PEaEbbScbypp 证明：（1）由共焦点知： 21c联立方程组： 22112212byxabyax两式相加，得： 2121221 abxab所以： 212121212212 bx ，所以：212121caba caxp21同理可证： yp2(2)由(1),得： 211bycSp(3) 设 ,由(2)：
10、nPFmE, sinmS又由余弦定理， 122)(2)cos2 mnbcc121sin2tab(4)由椭圆和双曲线的第一定义，分别得： 21,2aPFEaPFE所以：2121,min,axaaPFE问题 5：设点 在直线 上，过点 作双曲线 的两条P10,myxP12yx切线 ，切点分别为 ，定点 ，求证： 三点共线.BA, BA,MBA,证明：设 ， （这里 m 是定值，n 是变量）切点),( 21,yx对双曲线两边求导，得： 02yx点代入，得： ，化简，得：A211 011nymx同理， 点代入，得：B02nymx即 所在直线为： 令 ，则, x即 也在直线 上，所以 三点共线.0,1M
11、ABM,变 1：已知双曲线 及定点 ，过直线12byax0,2ma上任一点 P 作双曲线的两条切线，切点为 ，求证：myx0, BA,三点共线.BMA,变 2：已知 及定点 ，过直线 上任一点 P 作椭圆的两12byax0,2aM)(amx条切线，切点为 ，求证： 三点共线.BA,B,证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为 （ ，12byax0a且不同时小于 ） （注：实际上还可包括圆）ab0两边求导，得： 0ybax设 ， （这里 m 是定值，n 是变量）21,yxBAP,代入 ，得： ，即：P,011xyba 012121bnyax所以 1nyamx同理， 代入 ，得B,2
12、bnyamx所以 所在直线方程为A1令 ，得 ，即点 在直线 上.0yax10,aMAB变 3：已知抛物线 及定点 ，过直线 上任一点 P)(2pxy,m)0(mx作抛物线的两条切线，切点为 ，求证： 三点共线.A,证明：对 两边求导，xy2y设 ， （这里 m 是定值，n 是变量）21,BxAP,代入 ，得： ，即： 所以：Ppxny1 pxy121 mpnyx1同理， 代入 ，得,2所以 所在直线方程为 ，令 ，得BAmny0ymx即点 在直线 上.0,mM问题 6：过定点 （00） ，过 M 的直线交抛物线于)0(2py0,A，B 两点，过 A，B 作抛物线的两条切线，交于点 P，求证：
13、P 在直线 上mx证明：对 两边求导，x2y设 ，21,yxbaP,代入 ，得： ，即： 所以：APpx1 apxby121 apbyx1同理， 代入 ，得B,y2所以 所在直线方程为 ab因为定点 在直线 AB 上，所以： ，所以：0,mMpmma所以 在直线 上bPx问题 7：椭圆 的一个焦点为 且过点 .(1)求椭圆012bayxC: ),01(F,2的方程；(2)若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线 与 x 轴交于点 N，直线 AF 与 BN4:l交于点 M，求证点 M 恒在椭圆 上.证明：(1) 椭圆 的方程： （过程略）1342y(2)当 AB 过焦点 F 时，易证。现证 AB
14、不过焦点 F 时的情形：设 ，则 ，且有0,yxA0,yxB20yx所以： ，直线10kAF 1:0yA，直线40xyBN 4:0xBN联立，解得： ，即523800xy523,800xyM所以： 202020200 5491474583 xyx2020202 383197 x52120即点 M 恒在椭圆 上.C变 1：椭圆 的一个焦点为 ，其中 ，一条准01:2bayxC0,cF22ba线：交 x 轴于点 N（称它为准点） ，若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，求证：直线 AF 与 BNca2的交点 M 必在椭圆 上.C变 2：双曲线 的一个焦点为 ，其中 ，一条准线：1:2bya0,cF22
15、ba交 x 轴于点 N（称它为准点） ，若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，求证：直线 AF 与 BNc的交点 M 必在双曲线 上.C证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为 （ ，12nym0且且当 时 ）则 ，准线,0nnm, nc12cax2当 AB 过焦点 F 时，易证。现证 AB 不过焦点 F 时的情形：设 ，则 ，且有0,yxA0,yxB20yx所以： ，直线ckF0 cA0:，直线cmxyBN10cmyxBN1:0联立，解得： ，即为点 M 的坐标cmxycx12200所以： 2200202 11cmnycxcxnymxM20 20200022020 144cmxny
16、mcnymxc11244120 022 cxc即点 M 在曲线 上，得证.2nym变 3：抛物线 的焦点为 F，准线交 x 轴于点 N（准点） ，若 AB 为垂)0(,:pxC直于 x 轴的一条动弦，求证：直线 AF 与 BN 的交点 M 必在抛物线 上.C证明：当 AB 过焦点 F 时，易证。现证 AB 不过焦点 F 时的情形：设 ，则 ，且有0,yA0,yxB020px所以： ，直线20pxkAF2:0yA，直线0xykBN:0pyxBN两式联立，得： ，即为点 M 的坐标024xpy所以： 04242230203xpyM即点 M 在抛物线 上，得证.C问题 8：已知椭圆方程 ， ，M 为
17、椭圆上一点，且 MF 不垂直132yx,NFx 轴，直线 MF，MN 分别交椭圆于另一点 A，B，求证： 轴x证明：设 ，则有0,yx420yx所以： ，直线10kMF 1:0yF代入椭圆 ，得：1342yx 124120yyx即： 0960220 x由韦达定理，得： 523615434139 002002020 xyyxyxyA同理： ，所以 ，而 AB 显然不平行于 x 轴，所以 轴520B BA AB变 1：已知椭圆 ， ，M 为椭圆上一点，且01:2bayxC0,2caNFMF 不垂直 x 轴，直线 MF， MN 分别交椭圆于另一点 A，B，求证： 轴x变 2：已知双曲线 ， ，M 为
18、双曲线上一点，,:2bya,2c且 MF 不垂直 x 轴，直线 MF，MN 分别交双曲线于另一点 A，B，求证： 轴x证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为 （ ，12nymx0且且当 时 ）则 ，,0nnm, nc120,1,cNF设 ，则有0,yxM20yx所以： ，直线 ，代入 ，得ckF0 cyxM0: 12nymx122020 ycmnyxm由韦达定理： 2020ncxA 2002ymcx所以： 201ymyA同理，在上式中，用 换掉 ，即得：cAB ymcxycxmycmxy 020200202 1111而由圆锥曲线的对称性知： ，所以 轴BA变 3：抛物线 的焦点为 ，准点 ，M 为抛物线上)0(,2:pxyC0,2pF0,2pN一点，且 MF 不垂直 x 轴，直线 MF，MN 分别交抛物线于另一点 A，B，求证：轴xAB证明：设 ，则有0,yM020px所以： ，直线 ，代入20pxkF2:0pyFpxy2得： 202yy由韦达定理： ，所以：20pA02ypA同理可得： 所以02yBBA而由圆锥曲线的对称性知： ，所以 轴xx
