1、第1章 线性方程组,1.2 阶梯方程组的回代法,1.1 线性方程组的基本概念,1.3 线性方程组的消元法,二、线性方程组的初等变换,一、化一般方程组为阶梯方程组,1.3 线性方程组的消元法,三、小结,3,一、化一般方程组为阶梯方程组,上一节介绍了阶梯方程组的回代法, 本节将研究一般线性方程组的解法. 一个自然的想法是先借助某种变换将一般线性方程组 化为阶梯方程组, 再用回代法解阶梯方程组. 下面通过一些例子来描述解线性方程组的一般方法.,4,例1.3 求解线性方程组,解,将第一个方程以下各方程中的 x1 都消去, 得到,5,使第二个方程中的 x2 为1, 得到,6,将第二个方程以下各方程中的
2、x2 都消去, 得到,7,将第三个方程以下各方程中的 x3 都消去, 得到,这是阶梯方程组.,8,再用回代法即得方程组的唯一解:,从例1.3 看出, 化一般方程组为阶梯方程组的过程就是 逐次消去一些方程组的未知量, 故称之为消元.,9,二、线性方程组的初等变换,消元过程实际上是对线性方程组做了下列三种变换:,这三种变换称为线性方程组的初等变换.,10,初等变换都是可逆的, 其逆变换为类型相同的初等变换:,11,初等变换的一些性质: 1. 若线性方程组 (I) 经一次初等变换化为线性方程组 (II) , 则 (I) 的解必是 (II) 的解. 2. 若线性方程组 (I) 经一次初等变换化为线性方
3、程组 (II) , 则 (II) 可以经其逆变换化为 (I) . 3. 线性方程组经一次初等变换得到的必是同解方程组.,定理 1.2 一个线性方程组经有限次初等变换得到的必是 同解方程组, 即有限次初等变换不改变方程组的解集.,12,例1.3中解线性方程组的方法程称为消元法.,消元法包括“消元”和“回代”两个过程.,消元法的一般步骤:,(a) 消元: 对线性方程组做初等变换, 将其化为阶梯形;,(b) 判别: 删去方程组中所有“00”的方程, 若出现,矛盾方程, 则方程组无解, 否则方程组有解;,(c) 回代: 用初等变换求出方程组的所有解.,13,这就是方程组的唯一解.,注: “回代” 过程
4、也可以由初等变换来实现. 例如, 在例1.2的解答中阶梯方程组继续做初等变换:,14,仿照例1.3中的消元过程, 容易得到 定理1.3 任何一个线性方程组都可以经过有限次初等变 换化成阶梯方程组. 定理1.1、定理1.2和定理1.3是消元法的基础, 它不但保 证了消元法的正确性, 也给出了消元法的一般步骤. 注 消元法最早出现于公元一世纪初的九章算术. 19世纪初, Gauss发现这一算法, 即为西方世界所知. 1888年, 被Jordan 收录于一本测地学手册中, 得以流行.,15,例1.4 设有线性方程组,(1) 当 a 取何值时, 方程组无解; (2) 当 a 取何值时, 方程组有解.,
5、解 对方程组做初等变换：,16,17,(1) 当 a 1 0, 即 a 1 时, 方程组无解.,(2) 当 a 1 时, 方程组有唯一解.,18,例1.5 求解齐次线性方程组,解 对方程组做初等变换：,19,得到阶梯方程组,可以选 x3, x4 为自由未知量,方程组的通解,从而求得,20,其中 x3, x4 为任意常数.,于是该齐次线性方程组有无穷多非零解.,21,1. 掌握线性方程组的初等变换 2. 熟练掌握消元法,三、小结,作业:教材16-18页 1(2), 2(2), 3(2), 4, 8, 9,22,关于线性代数课程的学习,Linear Algebra,23,矩阵是研究线性代数的工具,
6、24,线性方程组的初等变换,矩阵的初等变换,最简形方程组,最简形矩阵,初等变换是研究矩阵的工具,25,向量,向量空间,线性方程组解的结构,26,基本未知量的个数,系数矩阵的秩,自由未知量的个数,方程组解空间维数,27,线性方程组 矩阵及其运算 行列式的概念与计算 向量组的线性相关性与矩阵的秩 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵及二次型,线性代数的主要内容,28,空间为体, 矩阵为用 研究对象 几何：向量空间 研究工具 代数：矩阵运算 向量 (问题) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答),29,教材： 线性代数谢政编 高等教育出版社 参考资料： 1、 线性代数学习指导 谢政、陈挚 清华大学出版社 2、线性代数与解析几何冯良贵等,教材及参考资料,30,成绩评定 期终考试不及格的，最终成绩不及格。 期终考试及格后最终成绩构成： 期终考试成绩占 70； 平时作业及单元测试 30。,
