1、和矩阵的初等变换,线性方程组 矩阵的基本概念 消元法 矩阵初等变换,第一章 线性方程组的消元法,引例（物资调运问题）,由各产地 到各用户 的距离为 （千米）,该产品每年有两个用户 其用量分别为45和25，单位为吨；,有三个生产同一产品的工厂,其年产量分别为40、20和10，单位为吨；,如下表所示,假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？,表,A1,A2,A3,B1,B2,工厂,用户,解：,3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以：,1. 对产地来讲，产品全部调出，因而有,2. 对用户来讲，调配的产品刚好为其所需，因而有：,3. 考虑总运费S：,（1）（5
2、）每个方程都是线性方程，几个线性方程联立在一起，称之为线性方程组.,因此方程（1）（5）构成6个未知数5个方程的线性方程组.,不少实际问题可以化为线性方程组的问题.,这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一个两个，而是更多.,因此，为了解决这类问题需要讨论含有个n个未知数m个方程的线性方程组.,形式如下：,它是第 个方程中第 个未知量 的系数；,也是已知数,称为第 个方程的常数项,当线性方程组（7）的常数项均为零时，则我们称它为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组,所谓方程组（7）的一个解 就是指 个数,组成的有序数组,方程组（7）的解的全体称为它的解集合,解方程组实际上是找出它的全部解
3、;,如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为是同解的.,（7）中每个方程都成为恒等式.,定义1,由 个数,排成的 行 列的数表,称为 行 列的矩阵,简称 矩阵,为表示它是一个整体，总是加一个圆括弧（或方括弧），并用大写黑体字母表示它.,A =,当 时，称 为 阶矩阵或 阶方阵,有时也写成 或,数 称为矩阵 的第 行第 列的元素,实矩阵：元素全是实数的矩阵,复矩阵：元素是复数的矩阵,本书中的矩阵如不特别说明，都是指实矩阵.,记作,行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵,或,列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵,转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作：,矩阵相等：如果 是同型矩阵，,那么就称
4、矩阵 与矩阵 相等，记作,零矩阵 ：元素都是零的矩阵 ，记作 ，,同型矩阵：两个矩阵的行数列数都相等,并且它们对应的元素相等，即,或,系数矩阵：线性方程组（7）的未知量的系数所确定的矩阵,增广矩阵：而（7）所对应的矩阵,线性方程组（7）由其增广矩阵 唯一确定.,称为增广矩阵.,例1 解线性方程组（消元法）,解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第 三个方程减去第一个方程，就变成,将上面的第二个方程与第三个方程互换，即得,将第三个方程减去第二个方程的4倍，得,将第三个方程两边乘 ，得,将第一个方程减去第三个方程的3倍，第二个方程加上第三个方程，得,将第一个方程加上第二个方程,得,将第一个方程两边乘
5、 得,即：,上面解方程的过程，从（8）到（9）叫消元过程，从（9）到（10）叫回代过程,从整个消元过程可以看到，它实际上是对方程组进行了以下3种变换：,（）交换两个方程的次序；,（）用一个非零的常数乘以某个方程,（）把一个方程的适当倍数加到另一个方程.,定义2 上述三种变换均称为线性方程组的初等变换.,（对调第 两行，记作 ）；,上述变换过程中，实际上只是对方程组的系数和常数项进行运算，未知量并未参与运算.,因此，例如例1中，对方程组的变换完全可以转换成对其增广矩阵的变换.,定义3 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换,（）对调矩阵的两行,（）以非零常数 乘矩阵某一行的各元素,（第 行乘 ，记作
6、 ）；,（）把某一行所有的元素的 倍加到另一行 对应的元素上去,（第 行的 倍加到第 行上，记作 ）,把定义中的“行”变成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“ ”换成“ ”）.,初等变换,就称矩阵 与矩阵 等价，记作 .,（）自反性 .,（）对称性 若 ，则 ,（）传递性 若 ， ，,则 .,定义4,如果矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵,矩阵之间的等价具有下列性质：,线性方程组的同解变换，也就是方程组增广矩阵的初等行变换.对于例,其一一对照过程如下,由 所对应的,即：,标准形,（1）形式：,（2）特点：,的左上角的元素,其余元素为0.,Cramer法则,n 阶行列式的定义、性质及
7、计算方法 克拉默（Cramer）法则,第二章 行列式,1. 二阶行列式,对于给定的二元线性方程组,其系数矩阵,是一个二阶方阵.,用消元法求解线性方程组（1），得,该式中 的系数 称为由二阶 方阵 所确定的二阶行列式，记为,矩阵 的行列式还记作 或 ，即,一般地，二阶行列式,可按下图所示的对角线法则确定其值：,方阵与矩阵的区别：二阶方阵是 个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵 ）按一定的运算法则所确定的一个数,例1 求解二元线性方程组,解 因为,所以,定义 对于一个给定的3阶方阵,2. 三阶行列式,将之与数,相对应，那么这个数就称为由矩阵 所确定的三阶行列式,记作
8、,例2 计算三阶行列式,解,利用消元法求解，则可得方程组的解为,对于三元线性方程组， 如果它的系数行列式,为书写方便，将之记成,其中 是用常数项 替换 中的第 列所得的三阶行列式，即,例3 解三元线性方程组,解,3. 阶行列式,（1）设 是一阶方阵，则它所 确定的一阶行列式 定义成 数 ,采用递归的方法给出其定义：,（2）二阶矩阵 ，它所定 义的二阶行列式,（3）对于三阶矩阵 所确 定的三阶行列式,即,（4）假设由 阶方阵所确定的 阶行列式已有定义，那么， 阶方阵所确定的 阶行列式用归纳法定义为,那么，上述行列式的定义可记为,将 阶矩阵 的元素 所在的第 行第 列处的元素划去后， 中剩下的 个
9、元素按原来的排列顺序组成 阶矩阵所确定的行列式记作 ，称之为 的余子式，为 的代数余子式,数 也称为行列式 的第 行第 列处的元 素 ，而元素 ， ， ， 所在的对角线称为行列式的主对角线； 另一条对角线称为行列式的次对角线,行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即,该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然,性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号,推论 若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零,推论 方阵的某一行（列）的元素与另一 行（列）的对应的代数余子式乘积之和等 于零，即,性质3 行列式按行（列）展开法则,行列式等于对应于
10、它的方阵的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即,性质4 行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘此行列式,推论1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论2 行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零,性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第 行的元素都是两数之和：,则 等于下面两个行列式之和：,性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变,5. 行列式的计算,计算行列式的一种基本方法是利用性质2，性质4，性质6将其化成三
11、角行列式后而计算,例1 计算,解,例2,这里记号“ ”表示全体同类因子的乘积,证明范德蒙（Vandermode）行列式,现假设式对 阶范德蒙行列式成立，,为此，从第 行开始，后行减去前行的倍，有,证 用数学归纳法因为,所以，当 时等式成立,要证明等式对 阶行列式也成立,提出，就有,按第一列展开，并把每列的公因子,，故,上式右端的行列式是一个 阶范德蒙行列式,其中,按归纳法假设，它等于所有 因子的乘积,例3 计算 阶行列式,解 行列式中每行元素之和均为 ，从第,第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子,，然后各行减去第1行：,在上述诸例将行列式化为上三角行列式的过程,中，虽然我们用到了性质2，
12、4，6中的各种运算，,但是起关键作用的是运算,，其他几种运算,只是使计算过程变得简单一点而已稍作分析，便,不难发现任何阶行列式总能利用运算,化为,上三角形行列式，或化为下三角形行列式,类似，利用运算,也可把行列式化为上三角,形行列式或下三角形行列式,例4 设,证 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为,对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为,于是，对 的前 行作运算 ，再对 的后 列作运算 ，把 化成下三角行列式,即,6.克拉默（Cramer）法则,对方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组,定理1（克拉默法则）,的行列式 ,那么线性方程组（1） 有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表
13、 示为,如果线性方程组（1）的系数矩阵,注意：将行列式 按第 列展开，显然,其中 是把矩阵 中的第 列换成方程组的 常数项 所成的矩阵行列式，即,对于齐次线性方程组,显然 一定是解，称为零解. 将克拉默法则用于齐次线性方程组（5），可得,定理1 如果线性方程组（1）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。,定理2 如果齐次线性方程组（5）的系数矩阵,也就是说，如果方程组（5）有非零解，,那么必有,例1: 求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c, 使得 f(1)=0, f(2)=3, f(3)=28.,解: 由题意得,f(1) = a + b + c = 0, f(2) = 4a + 2b + c = 3, f(3) = 9a 3b + c = 28.,这是一个关于三个未知数a, b, c的线性方程组.,由克拉默法则, 得,于是, 所求的多项式为: f(x) = 2x2 3x + 1,解：由定理2，如果方程组有非零解，那么它的系数矩阵的行列式,例2 问 为何值时，齐次线性方程组有非零解？,由此得,定理 任意一个 矩阵 ，总可以经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形,
