1、第7讲 空间中角与距离的计算 1 异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 其范围是 锐角或直角 0 90 2 直线与平面所成的角 1 如果直线与平面平行或者在平面内 则直线与平面所成 的角等于 2 如果直线和平面垂直 则直线与平面所成的角等于 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜 线与平面所成的角 其范围是 斜线与平面所成的是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最的角 3 二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图像叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于的两条射
2、线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做 0 90 0 90 线面角 小 棱 直二面角 4 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离 求点到平面的距离通常运用 即构造一个三棱锥 将点到平面的距离转化为三棱锥的 5 直线与平面平行 那么直线任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离 1 正方体ABCD A1B1C1D1中 异面直线B1C与BD1所成 角为 D A 30 B 45 C 60 D 90 2 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 E是A1B1的中点 则E到平面ABC1D1的距离为 B 等积法 高 3 在空间四边形ABCD中 E F分别为AC
3、BD的中点 若CD 2AB 4 EF AB 则EF与CD所成的角为 D A 90 B 60 C 45 D 30 4 四面体ABCD中 CD AB 2 E F分别为AC BD的中点 EF 1 则AB与CD所成角的大小是 图13 7 15 如图13 7 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 60 考点1空间距离的计算例1 如图13 7 4 S是 ABC所在平面外一点 AB BC 2a ABC 120 且SA 平面ABC SA 3a 求点A到平面SBC的距离 图13 7 4 图13 7 5 图13 7 6 互动探究 1 在长
4、方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 过A1 C1 B三点的平面截去长方体的一个角后 得到如图13 7 7所示的几何体ABCD A1C1D1 且这个几何体的体积为10 1 求棱A1A的长 2 求点D到平面A1BC1的距离 图13 7 7 考点2空间角的计算 例2 如图13 7 8 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 5 AD 8 AA1 4 M为B1C1上一点 且B1M 2 点N在线段A1D上 A1D AN 图13 7 8 1 求直线与平面所成的角 大致有两种基本方法 1 传统立体几何的综合推理法 通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角 然后在直角三角形中求角的大小 找射
5、影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线 连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影 也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影 此时平面与垂面的交线即为射影 2 空间向量的坐标法 建立空间直角坐标系并确定点及向量的坐标 然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角 2 求二面角 大致有两种基本方法 1 传统立体几何的综合推理法 定义法 垂面法 三垂线定理法 射影面积法 2 空间向量的坐标法 建立空间直角坐标系并确定点及向量的坐标 分别求出两个平面的法向量 通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小 D 1 求证 AF 平面BCE 2 求证 平面BCE 平面CDE 3
6、求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 图13 7 10 错源 向量法求线面角时用错公式求余弦值例3 如图13 7 10 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边三角形 AD DE 2AB F为CD的中点 误解分析 求出平面BCE的法向量n后 误以为线面角 的余弦值为cos 互动探究 例4 如图13 7 12 四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面 点P在圆柱OQ的底面圆周上 G是DP的中点 圆柱OQ的底面圆的半径OA 2 侧面积为8 AOP 120 1 求证 AG BD 2 求二面角P AG B的平面角的余弦值 图13 7 12 与CN所成角的余弦值为 求 互动探究 4 如图13 7 1
7、4已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长均为1 M为棱A1B1上的点 N为棱BB1的中点 异面直线AM 25 A1M MB1 图13 7 14 的值 图13 7 15 立体几何中 处理空间的角和距离的问题主要用两种方法 传统方法和向量方法 1 传统方法需要较高的空间想象能力 需要深刻理解角和距离的定义 灵活运用空间的平行和垂直的定理和性质 2 向量方法必须熟练掌握向量的基本知识和技能 尤其注意如下几点 怎样建立直角坐标系及坐标系建立技巧 法向量的应用对处理角和距离的重要性 怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型 准确判断是否选用向量处理问题 明确向量解题的优缺点 总而言之 两种方法各有千秋 在解题过程中需灵活选用
