1、 不等式知识要点不等式知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义： .0;0;0 bababa（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1） （对称性） （2） （传递性）ab cab,（3） （加法单调性）c（4） （同向不等式相加）ddc,（5） （异向不等式相减）（6） （7） （乘法单调性）0. cca0,（8） （同向不等式相乘）bcba,（异向不等式相除） （倒数关系）(9)acd 1(1),0ab（11） （平方法则）),(0nZbn且（12） （开方法则）1
2、a且3.几个重要不等式（1） ,|,2R则若（2） （当仅当 a=b 时取等号）)2|(2abbb或则、若（3）如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时取等号）.极值定理：若 则：,xySxyP如果 P 是定值 , 那么当 x=y 时，S 的值最小； 1如果 S 是定值 , 那么当 x=y 时，P 的值最大. 2利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当 a=b=c 时取等号）3,abccR(4)若 、 、 则（当仅当 a=b 时取等号）02b5若 则 2(6)| ;|axxaxax时 ， 或（7） |, bba则、若4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果 a
3、,b 都是正数，那么 （当22.1ab仅当 a=b 时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a 、 b为正数）：特别地， （当 a = b 时， ）2()b 2()ab,(322 时 取 等cRccb幂平均不等式：221221 ).(. nnaa注：例如： .()()cbdcd常用不等式的放缩法： 21(2)1()()nnn 121n（2）柯西不等式： 时 取 等 号当 且 仅 当（ 则若 n nnnbaba baR 321 232123121 )();,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 有12,(),x12121212()
4、()(.xfxxfxf f或则称 f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ，定解.特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()0()()0;fxgfxffgx（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1 ()0()fxfxg定 义 域 2 )()()(2xgfxff或 3 2)(0)(xgfxgf（4）.指数不等式：转化为代数不等式 ()
5、() ()()1;01()0,()lfxg fxgafaafbb（5）对数不等式：转化为代数不等式 ()0log()l()1()0;log()l()01aa aafx fxfxgfxg （6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 1 2应用化归思想等价转化 3 )()(0)(,0)(|)( xgfxfgxgfxgf 或或不 同 时 为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： 2 31124()()()7x22 323()9xyy y类似于 ，22sincosin(1ix11|()2xx与 同 号 ， 故 取 等不等式解法举例：一、含有绝对值的不等式的解法方法 1：利用绝对值
6、性质：cbaxcbax| cbaxccbax或|一般的： )()(|)(gfgf|)(| ff或特别地： | 0)(|f axfbxfabxfa )()()0(|)| 或练习 1：不等式 的解集为_22、解不等式 |3|3、不等式 的解集是 5|2|1x4、不等式 的解集是_)(0R方法 2：利用绝对值定义：将不等式同解变形为不等式组（即分类讨论思想）)0(,|x上面 5 题都可用此法cbaxcbac)(| 或方法 3：零点分区间法， （含有多个绝对值的不等式时可用此法）练习 1、解不等式 . 3|1| 021x方法 4：平方法：若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。（切记：若
7、用平方法，则不等式两边必须都是非负数,只有这样，才能运用平方法。 ） 2)()0(| cbaxcbax 0)()()(2 xgfxfgfgf练习 1、不等式 的解集为_1|2、不等式 的解集是 |x一、绝对值不等式性质定理的运用： ，特别是用此定| baba理求函数的最值。练习 1、不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范3|1|32x围为_2、若不等式 ，对于 均成立，那么实数 的取值范围是x|2| R_二、一元二次不等式的解法步骤将二次项系数化为正数； 联系图象（或因式分解） ，口诀“取两边,夹中间练习 1、 2、 3、02x 02x012x一元高次不等式的解法（数轴标根法，注意跨过偶
8、次方项）1、 2、01523x 0)2(5)4(3xx四、分式不等式的解法（移项化一边 0，通分，因式分解+数轴标根，也可用等号运算法则解分式不等式）0)(0)(xgfxgf 0)()(xgfxf0)()(xagfa练习 1、不等式 的解集是 ；21x2、不等式 的的解集是 )(53、已知关于 的不等式 0 的解集是 .则 .1ax1(,)(,)2a五、对数不等式、指数不等式的解法(同底法,即化为同底后利用对数指数函数的单调性)；)(,10)()()( xgfaaxgf 时时且 )(,0)()(lo)(l fxfaa 时时练习：1、已知 ，求 的取值范围。31,yxyxyx2、已知 ，且 ，求 的取值范围。cba0cbaa/3、正数 满足 ，求 的最小值。yx,12yyx/4、设实数 满足 ，当 时，求 的取值范围。yx, 1)(22y0cyxc5、已知函数 满足 ， ，求 取2()(0)fxab(1)2f(1)5f(3)f值范围。6、已知： 、 都是正数，且 ， ， ，求 的最ab1aba1b小值7、已知集合 与 ，045|2xA02|2axB若 ，求 的取值范围。Ba8、若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围。x0124axx a
