1、第八章 不定积分1 不定积分概念与基本积分公式一 原函数与不定积分1 原函数定义1 设函数与在区间上有定义若 ， ，则称为在区间上的一个原函数如：是在R上的一个原函数；， ，等都有是在R上的原函数若函数存在原函数，则其原函数不是唯一的问题1 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？问题2 若函数的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）2 原函数存在定理定理81 若在区间上连续，则在上存在原函数证明：在第九章中进行说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）（2）连续是存在原函数的充
2、分条件，并非必要条件3 原函数之间关系定理82 设是在在区间上的一个原函数，则（1）设是在在区间上的原函数，其中C为任意常量（若存在原函数，则其个数必为无穷多个）（2）在上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）证明：由定义即可得4 不定积分定义2 函数在区间上的原函数的全体称为在上的不定积分，记作：其中积分号；被积函数； 被积表达式；积分变量注1 是一个整体记号；不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是的一个原函数，则的不定积分是一个函数族，其中是任意常数，于是，记为：=此时称为积分常数，它可取任意实数故有不定积分简单性质 先积后导正好还原；或 先导后积还原后需加上
3、一个常数（不能完全还原）或 如： ， 几何意义： 若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线于是，的不定积分在几何上表示的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行注： 在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件 （称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点的那条积分曲线如：见P179.二 基本积分公式1基本积分表由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：1.；2.；3.，；4.，；5.；6.， ；7.，；8.，；9.；10.；11.；12.；13.；14.注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结为这些基本不定积分另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分2 线性运算法则定理8.3 若函数与在区间上都存在原函数， 为两个任意常数，则 也存在原函数，且 （积分的线性）证明：由定义即得注：线性法则的一般形式为： 例1 , 则例2 例3 例4 例5 作业 P182 2， 3， 5（1）（16）101
