1、二次函数中的旋转、平移、对称变换1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB绕点A顺时针旋转90后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足NBB1的面积是NDD1面积的2倍，求点N的坐标。解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），解得，所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2；（2）A（1，0），B（0，2），OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（
2、3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2），将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02-3x0+1），将y=x2-3x+1配方得，其对称轴为，时，如图， 此时 点N的坐标为（1，-1）；当时，如图，同理可得 此时 点N的坐标为（3，1），综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）。2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m0），将此矩形绕O点逆时针旋转90，得到矩形OABC（1）写出点A、A
3、、C的坐标；（2）设过点A、A、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值解：（1）四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m0），A（m，0），C（0，1），矩形OABC由矩形OABC旋转而成，A（0，m），C（-1，0）；（2）设过点A、A、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，A（m，0），A（0，m），C（-1，0），解得，此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；（3）存在点B与点D关于原点对称，B（m，1），点D的
4、坐标为：（-m，-1），抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，则y=-（-m）2+（m-1）（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0，=22-4（-2）1=120，此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEDF，记旋转角为.（）如图，当90，求AE，BF 的长；（）如图，当135，求证AE BF，且AE BF；（）若直线AE与直线BF相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）. 4、
5、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，直线y=x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交直线CD于点E设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，抛物线的解析式为：y=x2+4x+5（2）点P的横坐标为m，P（m，m2+4m+5），E（m，m+3），F（m，0）PE=|yPyE|=|（m2+4m+5
6、）（m+3）|=|m2+m+2|，EF=|yEyF|=|（m+3）0|=|m+3|由题意，PE=5EF，即：|m2+m+2|=5|m+3|=|m+15|若m2+m+2=m+15，整理得：2m217m+26=0，解得：m=2或m=；若m2+m+2=（m+15），整理得：m2m17=0，解得：m=或m=由题意，m的取值范围为：1m5，故m=、m=这两个解均舍去m=2或m=（3）假设存在作出示意图如下：点E、E关于直线PC对称，1=2，CE=CE，PE=PEPE平行于y轴，1=3，2=3，PE=CE，PE=CE=PE=CE，即四边形PECE是菱形由直线CD解析式y=x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5过点E作EMx轴，交y轴于点M，易得CEMCDO，即，解得CE=|m|，PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|m2+m+2| |m2+m+2|=|m|若m2+m+2=m，整理得：2m27m4=0，解得m=4或m=；若m2+m+2=m，整理得：m26m2=0，解得m=3+或m=3由题意，m的取值范围为：1m5，故m=3+这个解舍去综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（，），（4，5），（3，23）
