1、第12章 机械振动 习题及答案1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？ （1）a=8x ；（2）a=12x2 ；(3) a=-24x ；(4)a=-2x2 .答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。 对于简谐振动，有a=-02x ,故（3）表示简谐振动。2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？ （1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。解：当 A=12A 时， （1）劲度系数k不变。 （2）频率不变。 （3）总机械能 E=12kA2=14E （4
2、）最大速度 V=-A0sin(0t+) Vm=-A=12Vm (5) 最大加速度 a=-A02cos(0t+) am=-A02=12am3、劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧的等效倔强系数为等效位移为，则有 又有 所以串联弹簧的等效倔强系数为即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故小球作谐振动其振动周期为(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有，即，设并联弹簧的倔强系数为，则有 故 同上理，其振动周期为4. 完全相同的弹簧
3、振子，t=0 时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？k m x=xmax(a)k m vx=0(b)k m vx=0(c)k m x=-xmax(d)解：对于弹簧振子，t=0时，x=Acos ,v=-Asin （a） x=xmax ,故 cos=1 v=0 ，故 sin=0 =0 （b）x=0 ，故 cos=0 v0 =2 （c）x=0 ，故 cos=0 v0 ，故 sin0 =32 （d）x=-xmax ,故 cos=-1 v=0 ，故 sin=0 =5、如图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为。先把物体托住，使弹簧维持原长，然
4、后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期 解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有 式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有令 则有故知该系统是作简谐振动，其振动周期为6、质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等?解：(1)设谐振动的标准方程为，则知：又 (2) 当时，有，即 7、一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示如果时质点
5、的状态分别是：(1)；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过处向负向运动；(4)过处向正向运动试求出相应的初位相，并写出振动方程解：因为 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相故有8. 物体沿x轴作简谐振动，在t=0时刻，其坐标为x0=-8.50 cm ,速度v0=-0.92 cm/s,加速度a0=47 m/s2 ,试求： （1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。解：设x=Acos(0t+) ，则t=0时x0=Acos ，v0=-A0sina0=-A02cos=-02x0(1)0=-a0x0=-47.0-0.085=23.5 rad/sT=20=23.1423
6、.5=0.27 s(2) cm 9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在x2=-A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。解：由旋转矢量图可知，当质点1在x1=A/2处，且向左运动时，相位为/3；而质点2在x2=-A/2处，且向右运动，相位为4/3（如图）。所以他们的相位差为。10、一质量为的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为求：(1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到处所需的最短时间；(3)在处物体的总能量解：由题已知 又，时，故振动方程为 (1)将代入得方向指向坐标原点，即沿轴负向(2
7、)由题知，时，时 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为11、图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程解：由题图(a)，时，即 故 由题图(b)时，时，又 故 12、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为10 cm，当物块离开平衡位置6 cm时，速度为24 cm/s。问： （1）此简谐振动的周期是多少？ （2）物块速度为12 cm/s时的位移是多少？解：设x=Acos(0t+)，已知A=10 cm，故 x=10cos(0t+) ,v=-100sin(0t+) x2100+v210002=1 (1)当x=6 cm，v=24 cm/s 0=v2100-x2=2421
8、00-62=3 rad/sT=20=23.143=2.09 s （2）当v=12 cm/s 时x=100-v202=100-12232=9.16 cm13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为a，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分高度为b，然后放手任其运动。试证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并求出振动周期和振幅。解：xbamgfOSx 设木块质量为m，底面积为S，水的密度为水，木块受到重力mg 和浮力 f. 平衡时，mg=f=水gSa ,以水面上某点为原点，向上为x轴建立坐标系，则当木块在图示位置时，合力为F=f-mg=水gSb-水gSa=-水gSx由牛顿第二定律 F=ma=
9、md2xdt2 故 md2xdt2=-水gSx d2xdt2+水gSxmx=0 可见，木块作简谐振动，振幅为b-a，0=水gSm， T=2m水gS=2ag14、有一单摆，摆长，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程解：由动量定理，有 按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知时， 0 又 故其角振幅小球的振动方程为15、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差解：由题意可做出旋转矢量图如下由图知 设角，则即
10、即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差为.16、已知两简谐振动的振动方程分别为x1=5cos10t+34 cm 和 x2=6cos10t+14 cm ,试求其合成运动的振幅及初相。解：由 x1=5cos10t+34 ，x2=6cos10t+14 知： A1=5 cm ， 1=34 ，A2=6 cm ，2=14 合成震动振幅为 A=A12+A22+2A1A2cos(2-1) =25+36+256cos(-2)=7.81 cm初相为tan=A1sin1+A2sin2A1cos1+A2cos2=5sin34+6sin145cos34+6cos14=11 =84.8=1.48 rad17、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1) (2)解： (1) 合振幅 (2) 合振幅 18、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解： 其振动方程为 (作图法略)19、如图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知方向的振动方程为，求方向的振动方程解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为或；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为.所以方向的振动方程为
