1、数学建模综合实验成员：马磊 1322011036 庞杰1322011040 周焕1322011084一、合理分配住房问题一、模型的分析由题意可知，该问题是一半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们的主要利用层次分析法对此作出决策鉴于原来的按任职时间先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲也有一定的合理性现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑于是，可以认为相关的八项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的，应有轻重缓急之分因此，假设八项条件所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级
2、、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，这样能够符合大多数人的利益任职时间早、工龄长、职级高、高职称、双职工、高学历、年龄大、受奖多的人员都能够得到充分的体现任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越，需要的是综合实力的优越由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：任职时间、工作时间、出生年月均按每月0.1分计算；职级差为1分，8级算2分，9级算1分；职称每差一级1分，初级算1分，中级算2分，高级算3分；学历每差一档差1分，中专算1分，大专、本科、硕士分别算2、3、4分；爱人情况：院外算1分，院内职工算2分，院内干部算3分；对原奖励得分再加1分
3、对10人的量化分数见表2表2:40人的量化分数表人员工作时间任职时间职级职称爱人情况学历出生年月奖励加分4222.522136013621.123245753721.122145923721.122125713721.022145833619.513235523619.513235974119.511215832919.512125712919.51323563二、模型的假设(1) 题中所述的相关的八项条件是合理的，有关人员均无异议；(2) 八项条件在分房方案中所起的作用依次为工作时间、任职时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况；(3) 每个人的各项条件按统一原则均可量化，而且能
4、够充分反映出每个人的实力；(4) 在量化有关任职时间、工龄、年龄时，均计算到2014年1月三、模型的建立 1.建立层次结构问题的层次结构共分三层：第一层为目标层：综合选优排序；第二层为准则层：相关条件，共有八个因素，依次为工作时间、任职时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，分别记为；第三层为方案层：个参评人员，依次记为2.确定准则层对目标层的权重根据假设（2），层的八个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等因此，构造比较矩阵如下： 这是一个8阶的正互反矩阵，经计算求得的最大特征值为，相应的特征向量作归一化有 (
5、6.2)对应的随机一致性指标，则一致性指标，一致性比率指标，于是作为层对层的权重向量3.确定方案层对准则层的权重根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力由此可以分别构造层对准则的比较矩阵 （2.1）显然，所有的均为一致阵，由一致阵的性质可知，的最大特征值，其任一列向量都是的特征向量，将其归一化可得对的权重向量，记作 （2.2）记 （2.3）即为层对层的权重，且一致性比率指标为4.确定方案层对目标层的组合权重由于对的权重和对的权重，则对的权重为 (2.4)其组合一致性比率指标为，因此，组合权重可作为目标决策的依据5.综合排序由于（2.2）式中的是参评人
6、员对目标层的权重，即就表示参评人的综合实力指标，按其大小依次排序，就可以得到决策方案四、模型的求解在上面的模型中，取N=1010个人的八项条件的量化指标如表2，由（2.1）、（2.2）式经计算可得层对层的权重矩阵，其矩阵的每一列表示的一列向量，即层对准则的权重向量求得的： 0.3478 0.3666 0.4000 0.2844 0.2000 0.3111 0.3293 0.0945 0.3262 0.3143 0.4000 0.3792 0.4000 0.4148 0.3128 0.4725 0.3262 0.3230 0.4000 0.2844 0.2000 0.4148 0.3238 0.
7、1890 0.3262 0.3230 0.4000 0.2844 0.2000 0.2074 0.3128 0.0945 0.3247 0.3230 0.4000 0.2844 0.2000 0.4148 0.3183 0.2835 0.3015 0.3143 0.2000 0.3792 0.4000 0.3111 0.3019 0.1890 0.3015 0.3143 0.2000 0.3792 0.4000 0.3111 0.3238 0.6614 0.3015 0.3579 0.2000 0.1422 0.4000 0.1037 0.3183 0.2835 0.3015 0.2532 0
8、.2000 0.2844 0.2000 0.2074 0.3128 0.09450.3015 0.2532 0.2000 0.3792 0.4000 0.3111 0.3073 0.2835由（2.3）、（2.4）和（2.1）式可得对组合权重为 (0.3348, 0.3531, 0.3246, 0.3121, 0.3261, 0.3015, 0.3134, 0.2794, 0.2564, 0.2898)以的10个分量作为10名参评人员的综合实力指标，按大小依次排序，结果如表3表3：10人的排序结果人员名次214 63759108五、模型的结果分析利用层次分析法给出了一种合理的分配方案，用此方案
9、综合40人的相关条件得到了一个排序结果从结果来看，完全达到了问题的决策目标，也使得每个人的特长和优势都得到了充分的体现既照顾到了任职早、工龄长、年龄大的人，又突出了职称高、学历高、受奖多的人，而且也考虑了双干部和双职工的利益但是，每一个单项条件的优势都不是绝对的优势因此，这种方案是合理的，符合绝大多数人的利益 三、飞机与防空炮的最 优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有4门防空高炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则表示红方攻击成功。其中共有四个区域I,II,III,IV去接近目标，蓝方可在上述区域内任意设置高炮，但一门炮只能防卫一个区域，且只能击落一架飞机，其射中概率
10、为1。问双方各应采取什么策略？基本思路：该问题是最优策略问题，目的是得到双方的最佳决策。建立二人常数和对策模型，利用期望算出赢得矩阵，根据算法求解最优策略。二、问题分析与假设：1、红方和蓝方在决策之前都不知道对方确切的策略，但可以猜测对方可能的决策。 2、蓝方只有5种分配方式，但当蓝方把3门或4门炮放在一个区域的话炮的个数将大红方飞机的个数，显然这种方法是不可取的，所以这里只考虑3中分配方式。 3、红方只有两种分配方案，即两架飞机进攻同一个区域或一架飞机选择一个区域进攻，共进攻两个区域。 4、假设蓝方的大炮必须全部用完，红方的飞机全部用完。双方同时做出策略。三、模型建立：红方和蓝方若不考虑区域
11、，则红方有两种策略，蓝方有三种策略。.记红方可能的策略,i=1,2；具体含义为：a1：两架飞机分别攻击一个区域；a2：两架飞机一起攻击同一个区域。同理，记蓝方可能的策略为,j=1,2,3；具体含义为：b1：四门火炮各自防守一个区域；b2：两门火炮防守一个区域，剩下的两门火炮另外各自防守一个区域；b3：两门火炮防守一个区域，另外两门火炮防守另一个区域；.记双方采取对策和时产生的局势为。在局势下，记红方的赢得函数为，表示局势下攻击成功的概率，对应的赢得矩阵为；记蓝方的赢得函数为，表示局势下攻击防御的概率，对应的赢得函数为。分析不同局势下，红方攻击成功的概率，求得赢得函数值，从而得到。有因为是二人常
12、数和对策模型，因此有。：红方必然攻击成功，即；：红方有的概率攻击成功，即；：红方有的概率攻击成功，即；：红方必然攻击失败，即；：红方有的概率攻击成功，即；：红方有的概率攻击成功，即；由以上计算出的赢得函数值，可得双方的赢得矩阵：表I 红方与蓝方的决策行动及其产生的结果红方蓝方2架一起两架分开四个1分配1.00/0.000.00/1.002 1 1分配0.75/0.250.50/0.502 2分配0.50/0.500.83/0.17用表示红方和蓝方的实际决策行动。在博弈的双方都力求通过决策行动使己方的效用函数最大化，即纯纳什均衡，则应有：明显，双方都随机的采取行动，即双方都会某一决策行动赋予一定
13、的概率，形成混合策略，所以可判断不存在纯纳什均衡.。因此需建立一个混合策略博弈模型：设红方采取行动i的概率为 ，蓝方采取行动j的概率为，则红方与蓝方策略集分别为：在混合策略下，双方的效用函数用期望效用定义，记作红方希望最大化他的期望效用所面临的决策问题是而蓝方面临的决策等价于。四、模型求解：运用LINGO程序求解，下面为运行程序：.红方LINGO源代码model:sets:red/1.2/ : p;blue/1.3/ : q;win(red, blue) : M1;!红方赢得矩阵;endsetsdata:M1 = 1 0.75 0.5 0 0.5 0.83;enddatamax = redwi
14、n; !红方胜利可能性;for(blue(j):redwin sum(red(i):p(i)*M1(i,j);sum(red:p) = 1;end.红方LINGO求解报告（只保留红方采取行动的概率） Global optimal solution found. Objective value: 0.6240602 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost REDWIN 0.6240602 0.000000 P( 1) 0.6240602 0.000000 P( 2) 0.37
15、59398 0.000000.蓝方LINGO源代码model:sets:red/1.2/ : p;blue/1.3/ : q;win(red, blue) : M2;!蓝方赢得矩阵;endsetsdata:M2 = 0 0.25 0.5 1 0.5 0.17;enddatamax = bluewin; !蓝方胜利可能性;for(red(i):bluewin sum(blue(j):q(j)*M2(i,j);sum(blue:q) = 1;end.蓝方LINGO求解报告（只保留蓝方采取行动的概率） Global optimal solution found. Objective value: 0
16、.3759398 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost BLUEWIN 0.3759398 0.000000 Q(1) 0.2481203 0.000000 Q(2) 0.000000 0.3195489E-01 Q(3) 0.7518797 0.000000以上可以看出： 红方的纳什均衡为P(1)=0.6240602，P(2)=0.3759398最优值为0.6240602.蓝方的纳什均衡为Q(1)= 0.2481203，Q(2)=0，Q(3)=0.7518797最优值为
17、0.3759398. 红方的决策是：两架飞机一起进攻同一个区域； 蓝方的决策是：两门火炮防守一个区域另外两门火炮防守另一个区域；四、雷达计量保障人员分配一、基本思路该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。根据保障能力与雷达重要性定义出效益矩阵，用0-1整数规划方法求解，得到整体最大效益。二、模型建立1.根据题目中对保障任务的划分，每个区域有6个保障任务，三个区域共有18个保障任务。由题目所给的保障人员对不同保障任务的计量保障能力量化指标，得到计量保障人员的能力矩阵，其中为计量保障人员的数量，为雷达计量保障任务数量。根据题意有，。2.根据题目中所给的雷达的重要程度，以及实际的任务划分，得到计量
18、保障任务的重要性向量，表示第个任务的重要性。3.定义效益矩阵，其中。效益矩阵综合了计量保障人员的能力和计量保障任务的重要性，反映了各计量保障人员担负不同计量保障任务时可以取得的军事效益。易知效益矩阵的计算式为，得到的结果如下。4.有了效益矩阵，取得最大军事效益的问题就转化为0-1规划问题，采用0-1整数规划法求解效益矩阵，就可以得到相应的计量保障人员分配方案。三、模型求解已知名计量保障人员完成项计量保障任务的效益矩阵，表示第个人完成第项保障任务的效益值。引入人员指派矩阵，表示指派第个人完成第项保障任务，表示无指派关系。目标函数是使得名计量保障人员完成项计量保障任务的军事效益最大，从而建立如下人
19、员分配0-1规划模型：采用LINGO进行仿真求解，源程序及软件求解结果见附录。从上述仿真结果可得，最大军事效益指标，最佳分配方案如下表所示。区域1区域2区域3保障任务AB1B2FGH1H2IFJ分配人员Mw8Mw7Mw5Mw9Mw2Mw1Mw3Mw4Mw6Mw10附录1.LINGO源代码model:sets:Staff/1.10/;Task/1.18/: B;link(Staff, Task): R, A, X;endsetsdata:A = 0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.7 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0.4 0.6 0 0 0.7 0.80.9 0.5 0 0
20、.5 0 0 0.5 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.50 0.9 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0 0.4 0.4 0.3 0.4 0.50.4 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.2 0.7 0.2 0.20.7 0.8 0.7 0.6 0.7 0.3 0.6 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.70.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8
21、 0.1 0.20.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0 0.3 0.6 0.3 0.3 0.50.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.2 0.2 0.1 0.2 0.20.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.7 0.3 0.7 0.6 0.20.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.8 0.3 0.9 0.7 0 0;B =0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.
22、7 0.8 0.7 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.7;enddatamax = sum(link(i, j) : R(i, j) * X(i, j);for(link(i, j) : R(i, j) = A(i, j) * B(j);for(Staff(i) : sum(Task(j) : X(i, j) = 1);for(Task(j) : sum(Staff(i) : X(i, j) = 1);for(link(i, j) : bin(X(i, j);end2.LINGO求解报告（只保留人员派遣矩阵X的解） Global optimal solutio
23、n found. Objective value: 6.630000 Objective bound: 6.630000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 154 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 0.000000 -0.6400000 X( 1, 2) 0.000000 -0.2700000 X( 1, 3) 0.000000 0.000000 X( 1, 4) 0.000000 -0.5600000 X( 1, 5) 0.000000
24、 -0.2800000 X( 1, 6) 0.000000 -0.5600000 X( 1, 7) 0.000000 -0.4900000 X( 1, 8) 0.000000 -0.4800000 X( 1, 9) 0.000000 -0.4900000 X( 1, 10) 1.000000 -0.8100000 X( 1, 11) 0.000000 -0.2700000 X( 1, 12) 0.000000 -0.2400000 X( 1, 13) 0.000000 -0.2800000 X( 1, 14) 0.000000 -0.5400000 X( 1, 15) 0.000000 0.0
25、00000 X( 1, 16) 0.000000 0.000000 X( 1, 17) 0.000000 -0.4900000 X( 1, 18) 0.000000 -0.5600000 X( 2, 1) 0.000000 -0.7200000 X( 2, 2) 0.000000 -0.4500000 X( 2, 3) 0.000000 0.000000 X( 2, 4) 0.000000 -0.4000000 X( 2, 5) 0.000000 0.000000 X( 2, 6) 0.000000 0.000000 X( 2, 7) 0.000000 -0.3500000 X( 2, 8)
26、0.000000 -0.4000000 X( 2, 9) 1.000000 -0.6300000 X( 2, 10) 0.000000 -0.4500000 X( 2, 11) 0.000000 -0.4500000 X( 2, 12) 0.000000 -0.3000000 X( 2, 13) 0.000000 0.000000 X( 2, 14) 0.000000 -0.4500000 X( 2, 15) 0.000000 -0.4000000 X( 2, 16) 0.000000 -0.3000000 X( 2, 17) 0.000000 -0.3500000 X( 2, 18) 0.0
27、00000 -0.3500000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 -0.8100000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 0.000000 0.000000 X( 3, 5) 0.000000 0.000000 X( 3, 6) 0.000000 0.000000 X( 3, 7) 0.000000 0.000000 X( 3, 8) 0.000000 -0.3200000 X( 3, 9) 0.000000 -0.4200000 X( 3, 10) 0.000000 -0.3600000 X( 3
28、, 11) 1.000000 -0.6300000 X( 3, 12) 0.000000 -0.2400000 X( 3, 13) 0.000000 0.000000 X( 3, 14) 0.000000 -0.3600000 X( 3, 15) 0.000000 -0.3200000 X( 3, 16) 0.000000 -0.1800000 X( 3, 17) 0.000000 -0.2800000 X( 3, 18) 0.000000 -0.3500000 X( 4, 1) 0.000000 -0.3200000 X( 4, 2) 0.000000 0.000000 X( 4, 3) 0
29、.000000 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 -0.4000000 X( 4, 5) 0.000000 -0.3500000 X( 4, 6) 0.000000 0.000000 X( 4, 7) 0.000000 -0.3500000 X( 4, 8) 0.000000 -0.1600000 X( 4, 9) 0.000000 0.000000 X( 4, 10) 0.000000 -0.1800000 X( 4, 11) 0.000000 -0.5400000 X( 4, 12) 1.000000 -0.4800000 X( 4, 13) 0.000000 -0.3
30、500000 X( 4, 14) 0.000000 -0.1800000 X( 4, 15) 0.000000 -0.1600000 X( 4, 16) 0.000000 -0.4200000 X( 4, 17) 0.000000 -0.1400000 X( 4, 18) 0.000000 -0.1400000 X( 5, 1) 0.000000 -0.5600000 X( 5, 2) 0.000000 -0.7200000 X( 5, 3) 1.000000 -0.6300000 X( 5, 4) 0.000000 -0.4800000 X( 5, 5) 0.000000 -0.490000
31、0 X( 5, 6) 0.000000 -0.2100000 X( 5, 7) 0.000000 -0.4200000 X( 5, 8) 0.000000 -0.2400000 X( 5, 9) 0.000000 0.000000 X( 5, 10) 0.000000 -0.2700000 X( 5, 11) 0.000000 -0.4500000 X( 5, 12) 0.000000 -0.4200000 X( 5, 13) 0.000000 -0.4900000 X( 5, 14) 0.000000 -0.2700000 X( 5, 15) 0.000000 -0.2400000 X( 5, 16) 0.000000 -0.1800000 X( 5, 17) 0.000000
