1、第三讲 无套利定价原理,什么是套利,什么是无套利定价原理,无套利定价原理的基本理论,第一部分,什么是套利,什么是无套利定价原理,无套利定价原理的基本理论,商业贸易中的套利行为,15,000元/吨,向阳公司,卖方甲,买方乙,17,000元/吨,铜,铜,在商品贸易中套利时需考虑的成本：（1）空间成本 （2）时间成本 （3）信息成本,金融市场中的套利行为,金融产品的无形化/标准化几乎没有空间成本金融市场中现代电子化交易几乎没有时间成本专业化交易市场的存在 信息成本大大降低此外：金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会 金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷,套利的定义,套利指一个能产生无风
2、险盈利的交易策略。套利是指纯粹的无风险套利。在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会承担一定的低风险。,第二部分,什么是套利,什么是无套利定价原理,无套利定价原理的基本理论,“无套利定价”原理,“无套利定价”原理 金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会那什么是套利机会呢？,套利机会的等价条件,（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；损益：现金流不确定状态下：每一种状态对应的现金流,C2,r1,r2,投资组合B,r3,C1,r1,r2,投资组合A,r3,（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有
3、的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。,C,r1,r2,投资组合B,r3,C,R1,R2,投资组合A,R3,（3）构建一个投资组合，其成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。,0,R1,R2,投资组合,R3,无套利定价原理,同损益同价格如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。,无套利定价方法,（1）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”（repli
4、cating portfolio）。,（2）动态组合复制定价如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（dynamic hedging strategy）。,确定状态下无套利定价原理的应用,案例1： 假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天支付100元的面值。如果A的当前价格为98元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）B的价格应该为多少呢？ （2）如果B的市场价格只有97.5元，问如何套利呢？,应用同损益同价格原理：B的价格也为98元如果B的市场价格只有97.5元，卖空A，
5、买进B,案例2：假设面值100元的零息票债券的当前市场价格为： 1年后到期的零息票债券的价格为98元； 2年后到期的零息票债券的价格为96元； 3年后到期的零息票债券的价格为93元；另外，假设不考虑交易成本。,问题：（1）息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券的价格为多少呢？（2）如果息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券价格为120元，如何套利呢？,看未来损益图：,1年末,2年末,3年末,10,10,110,静态组合复制策略（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损益刚好为1000.110元；（2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其损益刚好为1000.110元
6、；（3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其损益刚好为1001.1110元；,根据无套利定价原理的推论0.1980.1961.193121.7问题2的答案：市场价格为120元，低估B，则买进B，卖出静态组合（1）买进1张息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券；（2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券； 10/(1+2/98)+10/(1+4/96)+110/(1+7/93),思考题：对于案例2可否采用传统的贴现定价方法？若不能请说明理由；若可以，试比较贴现定价方法与无套利定价方法有何不同，两
7、种定价方法是否一致？,作业1,假设面值100元的零息票债券的当前市场价格为： 1年后到期的零息票债券的价格为98元； 2年后到期的零息票债券的价格为96元； 3年后到期的零息票债券的价格为93元；另外，假设不考虑交易成本。问题：新发行债券面值100，息票率为8，1年付1次息，三年后到期；请分别用无套利定价和贴现定价方法给新债券定价，并比较两种定价方法是否一致。,案例3： 假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元，从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元（1年后的价格）。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？ （2）如果现在
8、开始2年后到期的零息票债券价格为99元，如何套利呢？,(1) 从现在开始1年后到期的债券Z01,第1年末,支付:100,价格:98,(2) 1年后开始2年后到期的债券Z12,第2年末,支付:100,价格:98,(3) 从现在开始2年后到期的债券Z02,第2年末,支付:100,价格:？,动态组合复制策略：（1）先在当前购买0.98份的债券Z01；（2）在第1年末0.98份债券Z01到期，获得0.9810098元；（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券Z12；,自融资策略的现金流表,这个自融资交易策略的损益：就是在第2年末获得本金100元，这等同于一个现在开始2年后到期的零息票债券的损益。
9、这个自融资交易策略的成本为： 980.9896.04,如果市价为99元，如何套利,构造的套利策略如下：（1）卖空1份Z02债券，获得99元，所承担的义务是在2年后支付100元；（2）在获得的99元中取出96.04元，购买0.98份Z01；,（3）购买的1年期零息票债券到期，在第一年末获得98元；（4）再在第1年末用获得的98元购买1份第2年末到期的1年期零息票债券；（5）在第2年末，零息票债券到期获得100元，用于支付步骤（1）卖空的100元；,不确定状态下的无套利定价原理的应用,不确定状态：资产的未来损益不确定假设市场在未来某一时刻存在有限种状态在每一种状态下资产的未来损益已知但未来时刻到底
10、发生哪一种状态不知道,案例4：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。状态1时，A的未来价格为105元，状态2时，95元。有一证券B，它在1年后的未来价格也是：状态1时105元，状态2时95元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为99元，如何套利？,答案：（1）B的合理价格也为100元；（2）如果B为99元，价值被低估，则买进B，卖空A,案例5：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。有一证券B，
11、它在1年后的未来损益是：状态1时120元，状态2时110元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷也不需要成本。问题：（1）B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为110元，如何套利？,证券未来损益图,100,105,95,风险证券A,PB,120,110,风险证券B,1,1,1,资金借贷,静态组合策略：要求 x 份的证券A和 y 份的资金借贷构成B,解得：X = 1, y = 15所以：B的价格为： 1*100+15*1 = 115,第二个问题：当B为110元时，如何构造套利组合呢？套利组合：买进B，卖空A，借入资金15元。,案例6：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元1年后的市场出现
12、三种可能的状态：状态1、2和3。状态1、2和3时，A的未来损益分别为110.25，99.75，90.25元。有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1、2和3时，但分别为125，112.5和109元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为5.06，半年利率为2.5。,问题：（1）B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为110元，如何套利？,证券未来损益图,100,110.25,99.75,风险证券A,风险证券B,资金借贷,90.25,PB,125,112.5,109,1,1.0506,1.0506,1.0506,构造静态组合：x 份A和 y 份资金借贷构成B,方程无解！,动态组合复制
13、,动态：我们把1年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别为105元和95元 证券B的半年后的损益不知道,110.25,99.75,风险证券A,风险证券B,90.25,100,105,95,PB,B1,B2,125,112.5,109,1.0506,1.0506,1.0506,1,1.025,1.025,构造如下的组合：（1）1份证券A；（2）持有现金13.56。,在半年后进行组合调整,(1)证券A的损益为105时： 再买进0.19份的证券A，需要现金19.95元（0.1910519.95） 持有的现金13.56，加上利息变为：13.561.025
14、13.90。半年后的组合变为：1.19份证券A现金6.05 （13.90 19.95）,在1年后此组合损益状态为：,(2)证券A的损益为95时： 卖出0.632份的证券A，得到0.6329560.04元持有的现金13.56，加上利息变为：13.561.02513.90半年后的组合变为：0.368份证券A 现金73.94 （13.9060.0473.94 ）,在1年后此组合损益状态为：,动态操作,110.25,99.75,90.25,100,105,95,原始组合：(1)持有1份A(2)持有现金13.56,操作：卖出0.632份A组合为：(1)持有0.368份A(2)持有现金73.94,操作：买
15、进0.19份A组合为：(1)持有1.19份A(2)持有现金-6.05,组合的支付为：125112.5109,半年后的组合调整是如何得呢？,动态策略调整方法：多期的静态复制策略从后往前应用静态复制策略,110.25,99.75,风险证券A,风险证券B,90.25,100,105,95,PB,B1,B2,125,112.5,109,1.0506,1.0506,1.0506,1,1.025,1.025,（1）证券在中期价格为105时：,解得： x = 1.19，y5.90 此时B的价格为：B11.191055.901.025118.90,110.25,99.75,风险证券A,风险证券B,90.25,
16、100,105,95,PB,118.90,B2,125,112.5,109,1.0506,1.0506,1.0506,1,1.025,1.025,（2）证券在中期价格为95时：,解得： x = 0.368，y72.14 此时B的价格为：B2 0.3689572.141.025108.90,110.25,99.75,风险证券A,风险证券B,90.25,100,105,95,PB,118.90,108.90,125,112.5,109,1.0506,1.0506,1.0506,1,1.025,1.025,解得：x1，y13.56 B的当前价格为：B110013.561113.56,无套利定价原理的
17、简单总结,无套利定价原理是金融学、金融工程的核心思想 “同损益同价格”实际上就是“一价定理”,静态和动态组合复制策略则是用于给衍生产品定价的基本思想 如果市场存在摩擦（交易成本）时，只能给出一个定价区间。在这个定价区间内，市场无法实现套利（无套利区间） 。,第三部分,什么是套利,什么是无套利定价原理,无套利定价原理的基本理论,Arrow-Debreu模型,1、市场环境2、套利组合的定义3、无套利组合等价定理4、完全市场与不完全市场,1、市场环境假设,市场中有N个证券，s1,s2,s3,sN 两个投资时刻，0和1时刻第i种证券在初始0时刻的价格为pi ，则N种证券的价格向量为： P = (p1,
18、p2,pN)T市场在未来1时刻有M种可能状态，第i种证券在第j种状态下的损益为Dij，则这些证券的损益矩阵为： D（dij），i=1N，j=1M,假设损益矩阵D的值对于投资者是已知的，但是投资者无法提前知道在1时刻这些证券处于M种状态中的哪一种状态证券组合用向量表示：=(1,2,N) i表示持有的第i种证券的数量，多头时，i 0；空头时，i d。 问题：市场不存在套利组合的条件？,比如：资产s，当前价格为100，未来两种损益分别为：110，95。投资周期为1年，当前年利率为5。问题：存在套利组合吗？ 如何套利？,根据定理1：即：,求解可得：,方程求解可得：,即任意一个资产，其未来损益为：在1状态时d1，在2状态时d2，都可由资产s和无风险借贷的组合复制，而且其价格v为：,比如，有一基于资产s的金融产品，其未来损益为：d1puk，d20可解得其价格为：,三状态模型,假设市场有三种状态，但仅有两种资产，无风险借贷，其利率为r；另外一种资产s，价格为p，其在未来损益为：状态1时，损益为pu（即为原价格的u倍）；状态2时为pm，状态3时为pd，假设d m u。,市场不存在套利组合的条件,求解可得：,根据定理2，这个方程的解不唯一实际上是一条直线第一个端点,第二个端点：如果 ，则为：如果 ，则为：,
