1、 二次函数培优试题 一 （20131011） 姓名：1如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求的值2如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点 （1）求这个二次函数
2、的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由3如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标 （2）试判断BCD的形状，并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由4如图，抛物线的对称轴是直线x=，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C
3、，并且点A的坐标为（1，0）. （1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD/x轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设AEC的面积为S1, DEC的面积为S2，求S1：S2的值；（3）点F坐标为（6，0），连接D，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿ECDF匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿FA匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t值.5如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与
4、抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标6如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，AOB=1200（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标7如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，
5、0）。（1）求点B的坐标；（2）已知，C为抛物线与y轴的交点。若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。8已知抛物线的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点点G是否在直线l上，请说明理由；在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出
6、点M的坐标；若不存在，请说明理由9如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为 秒时，PAD的周长最小？当t为 秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐
7、标；若不存在，请说明理由10如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。 参考答案1解：（1）令y=0，则 ， m0，解得：， 。A（，0）、B（3，0）。（2）存在。理由如下： 设抛物线C1的表达式为（），把C（0，）代入可得，。 1的表达式为：，即。 设P（p，）， SPBC = SPOC + SBOP SBOC =。0，当时,SPBC最大值为
8、。（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），BD2=，BM2=，DM2=。MBD90, 讨论BMD=90和BDM=90两种情况：当BMD=90时，BM2+ DM2= BD2 ，即=，解得：, (舍去)。 当BDM=90时，BD2+ DM2= BM2 ，即=，解得：， (舍去) 。 综上所述， 或时，BDM为直角三角形。2解：（1）函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=1。这个二次函数的解析式为y=x23x。（2）如图，过点B做BDx轴于点D，令x23x=0，解得：x=0或3。AO=3。AOB的面积等于6，AOBD=6。BD=4。点B在函数y=x23x的图象上，4=x23x，
9、解得：x=4或x=1（舍去）。又顶点坐标为：（ 1.5，2.25），且2.254，x轴下方不存在B点。点B的坐标为：（4，4）。 （3）存在。点B的坐标为：（4，4），BOD=45，。若POB=90，则POD=45。设P点坐标为（x，x23x）。若，解得x=4 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。若，解得x=2 或x=0（舍去）。当x=2时，x23x=2。点P 的坐标为（2，2）。POB=90，POB的面积为： POBO=8。4解：（1）顶点D的坐标为（1，4）（2）BCD是直角三角形。理由见解析（3）存在。符合条件的点P的坐标为：。【解析】试题分析：（1）应用待定系数法即可求得函
10、数的解析式。设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c把点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入，得，解得。抛物线的解析式为y=x22x+3。y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）。（2）应用勾股定理求得BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断。BCD是直角三角形。理由如下：如图，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，在RtBOC中，OB=3，OC=3，BC2=OB2+OC2=18。在RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1，CD2=DF2+CF2=2在RtBDE中，DE=4，BE=OBOE=31=2，BD2=DE2+BE2=20。BC2
11、+CD2=BD2。BCD为直角三角形。（3）分P在x轴和y轴两种情况讨论，求出P的坐标：，。又AOC=CDB=90，ACOBCD。当P为原点O时，ACPBCD。当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则OC=3a。由，即，解得：a=9，则P的坐标是（0，7）。此时，ACP不是直角三角形，则ACPCBD不成立。当AC是直角边，若AC与BC是对应边，设P的坐标是（0，b），则OC=3b，由，即，解得：b=，故P是（0，）时，则PCACBD一定成立。当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，当AC与CD是对应边时，设P的坐标是（d，0），则AB=1d， 由，即，解得：d
12、=13，此时，两个三角形不相似。当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，当AC与BC是对应边时，设P的坐标是（e，0），则AB=1e。由，即，解得：e=9，符合条件。综上所述，符合条件的点P的坐标为：。4解：（1）（2）（3）当时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴是直线x=和经过点A（1，0），得，解之即可得抛物线的解析式。抛物线的对称轴是直线x=，。又抛物线经过点A（1，0），。联立，解得。抛物线的解析式为。（2）根据相似三角形和等高三角形的性质，可得和，从而，即S1：S2=。在中令x=0得，C（0，4）。抛物线的对称轴是直线x=，CD
13、/x轴交抛物线于点D，D（3，4）。又OA=1，CD=3，CD/x轴，AEODEC。又AEO和AEC是两等高三角形，。，得，即S1：S2=。（3）分四种情况讨论：当点P在EC上运动，PDQ=900时，如图1，过点D作DGAB于G，则CD=3，PC= 33t，GD=4，QG=32t，由PCDQGD得，即，解得。当点P在CD上运动，PDQ=900时，如图2，OQ=62t，CD=3，此时，OQDC是矩形。由OQ=CD，即62t=3解得。当点P在CD上运动，QPD=900时，如图3，OQ=62t，CP=3t3，此时，OQPC是矩形。由OQ=CP，62t=3t3解得。当点P在DF上运动，QPD=900时
14、，如图4，由D（3，4），F（6，0），根据勾股定理可得DF=5。过点D作DGAB于G，则DF=5，GF=3， PF= 113t， QF=2t，由FPQFGD得，即，解得。综上所述，当时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。5解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），解得。抛物线的解析式为y=x24x+3。（2）存在。点A、B关于对称轴对称，点D为AC与对称轴的交点时BCD的周长最小。y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2。设直线AC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得：。直线AC的解析式为y=x1。当x=2时，y=21=1。抛物线对称
15、轴上存在点D（2，1），使BCD的周长最小。（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x25x+3m=0。由=（5）241（3m）=0得m=。m=时，点E到AC的距离最大，ACE的面积最大。此时x=，y=。点E的坐标为（，）。设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0）。AF=。直线AC的解析式为y=x1，CAB=45。点F到AC的距离为。又。ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）。【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可。（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D。（3）根据直
16、线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式=0时，ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解。6解：（1）如图，过点A作ADy轴于点D，AO=OB=2，B（2，0）。AOB=1200，AOD=300，AD=1，OD=。A（1，）。将A（1，），B（2，0）代入，得：，解得。这条抛物线的表达式为。（2）过点M作MEx轴于点E，。M（1，），即OE=
17、1，EM=。（3）过点A作AHx轴于点H ，AH=，HB=HOOB=3，。，。要ABC与AOM相似，则必须：，或。设点C的坐标为（c，0），则根据坐标和勾股定理，有AO=2，。由得，解得。C1（4，0）。由得，解得。C2（8，0）。综上所述，如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，则点C的坐标为（4，0）或（8，0）。【解析】试题分析：（1）应用三角函数求出点A的坐标，将A，B的坐标代入，即可求得a、b，从而求得抛物线的表达式。（2）应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得，进而求得AOM的大小。（3）由于可得，根据相似三角形的判定，分， 两种情况讨论。7解：（1）A、B两点关于对称轴对称
18、 ，且A点的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）。（2）抛物线，对称轴为，经过点A（3，0），解得。抛物线的解析式为。B点的坐标为（0，3）。OB=1，OC=3。设点P的坐标为，则。，解得。当时，；当时，点P的坐标为（2，5）或（2，3）。设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：，解得：。直线AC的解析式为。点Q在线段AC上，设点Q的坐标为。又QDx轴交抛物线于点D，点D的坐标为。，线段QD长度的最大值为。【解析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标。（2）用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P 的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标。用待定系数法求出
19、直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为，从而由QDx轴交抛物线于点D，得点D的坐标为，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解。8解：（1）在中，令y=0，则，整理得，4x212x7=0，解得x1=，x2=。A（，0），B（，0）。在中，令x=0，则y= 。C（0，）。，顶点D（，4）。（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P。设点P的坐标为（0，y），A（，0），C（0，），OA=，OC=，OP=y，若OA和OA是对应边，则AOPAOC，。y=OC=，此时点P（0，）。若OA和OC是对应边，则POAAOC，即。解得y=，此时点P（0，）。综上所述，
20、符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）。（3）设直线l的解析式为y=kx+b（k0），直线l经过点E（，0）和点F（0，），解得，直线l的解析式为。B（，0），D（，4），线段BD的中点G的坐标为（，2）。当x=时，点G在直线l上。在抛物线上存在符合条件的点M。设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0），E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，4），OE=，OF=，HD=4，HB=2。，OEF=HDB，OEFHDB。OFE=HBD。OEF+OFE=90，OEF+HBD=90。EGB=180（OEF+HBD）=18090=90，直线l是线段BD的垂直平分线。点D关于直线l的对称
21、点就是点B。点M就是直线DE与抛物线的交点。设直线DE的解析式为y=mx+n，D（，4），E（，0），解得。直线DE的解析式为。联立，解得，。符合条件的点M有两个，是（，4）或（，）。【解析】试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标。（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解。（3）设直线l的解析式为y=kx+b（k0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标
22、，然后根据直线上点的坐标特征验证即可。设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出OEF和HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出OFE=HBD，然后求出EGBD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点。再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M。9解：（1）由抛物线的轴对称性及A（1，0），可得B（3，0）。（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知ABCD，由抛
23、物线的轴对称性可得CD=2DM。MNy轴，ABCD，四边形ODMN是矩形。DM=ON=2。CD=22=4。A（1，0），B（3，0），AB=2。梯形ABCD的面积=（AB+CD）OD=9，OD=3，即c=3。把A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得。y=x2+4x+3将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）21，得E（2，1）。（3）2； 4或或。存在。APD=90，PMD=PNA=90，PDM+APN=90，DPM+PDM=90。PDM=APN。PMD=ANP，APNPDM。，即。PN23PN+2=0，解得PN=1或PN=2。P（2，1）或（2，2）。【解析】试题分
24、析：（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标。（3）根据轴对称最短路线问题的求法可得PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值。先证明APNPDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标。10解：（1）把A（1，4）代入，得k=2，。令y=0，解得：x=3，B的坐标是（3，0）。A为顶点，设抛物线的解析为。把B（3，0）代入得：4a4=0，解得a=1。抛物线的解析式为即。（2）存在。OB=OC=3，OP=OP，当POB=POC时，POBPOC。此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=x。设P（m，m），则，解得（，舍去）。P（。（3）如图，当Q1AB=90时，DAQ1DOB，即。，即。如图，当Q2BA=90时，BOQ2DOB，即。，即。如图，当AQ3B=90时，作AEy轴于E，则BOQ3Q3EA，即。，解得OQ3=1或3，即Q3（0，1），Q4（0，3）。综上，Q点坐标为或或（0，1）或（0，3）。
