1、12015-2016 学年湖北省黄石市阳新县军垦中学九年级（上）第三次月考数学试卷一、选择：（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1下列方程，是一元二次方程的是（ ）3x 2+x=20，2x 23xy+4=0，x 2=4，x 2=0，x 2+3=0A B C D2抛物线 y=2x 2+1 的对称轴是（ ）A直线 x= By 轴 C直线 x=2 D直线 x=3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）A B C D4如果关于 x 的一元二次方程 k2x2（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ）Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k05如图，在一幅
2、长为 60cm，宽为 40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图若要使整个挂图的面积是 3500cm2，设纸边的宽为 x（cm） ，则 x 满足的方程是（ ）A （60+x） （40+x）=3500 B （60+2x） （40+2x）=3500C （60x） （40x）=3500 D （602x） （402x）=35006一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）A1 B C D7如图，两个以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点OHAB 于 H，则图中相等的线段共有（ ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组8把抛物线
3、y=3x2先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得的抛物线是（ ）Ay=3（x+3） 22 By=3（x+3） 2+2Cy=3（x3） 22 Dy=3（x3） 2+29如果 a，b 为质数，且 a213a+m=0，b 213b+m=0，那么的值为（ ）A B或 2 C D或 210如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x=1，点 B 坐标为（1，0） 则下面的四个结论：2a+b=0；4a2b+c0；ac0；当 y0 时，x1 或 x2其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（共 6 题，每题
4、 3 分，共 18 分）11写出一个有实数根的一元二次方程： 12方程 x2+3x6=0 与 x26x+3=0 所有根的乘积等于 13已知点 A（1+a，1）和点 B（5，b1）是关于原点 O 的对称点，则 a+b= 14如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD，若AOB=100，则ABD= 215如图，点 A，B，C 在一条直线上，ABD，BCE 均为等边三角形，连接 AE 和 CD，AE分别交 CD，BD 于点 M、P，CD 交 BE 于点 Q，连接 PQ，BM下列结论：ABEDBC；DMA=60；BPQ 为等边三角形；MB 平分AMC其中结论正确的是 16如图，E，F 是正方形 ABCD
5、的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 三、解答题（共 9 题，共 72 分）17计算：18先化简后求值：，其中 a=1+，b=119如图，在O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，连接 AC，将ACE 沿 AC 翻折得到ACF，直线 FC 与直线 AB 相交于点 G（1）直线 FC 与O 有何位置关系？并说明理由；（2）若 OB=BG=2，求 CD 的长20解方程组：21已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根
6、；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根22某校九年级两个班，各选派 10 名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛各参赛选手的成绩如图：九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差九（1）班 100 m 93 93 12九（2）班 99 95 n 93 8.4（1）直接写出表中 m、n 的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班， （1）班的成绩比（2）班好” ，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支
7、持九（2）班成绩好的理由；（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98 分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率23大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40 元，售价为每件60 元，每月可卖出 300 件市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖 20 件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 60+x（元/件） （x0 即售价上涨，x0 即售价下降） ，每月饰品销量为
8、y（件） ，月利润为 w（元） （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于 6000 元应如何控制销售价格？324已知：ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角三角形 PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点 P 在线段 AB 上，且 AC=1+，PA=，则：线段 PB= ，PC= ；猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 ；（2）如图，若点 P 在 AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程
9、；（3）若动点 P 满足=，求的值 （提示：请利用备用图进行探求） 25如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V 形折线” ） （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图 2，双曲线 y=与新函数的图象交于点 C（1，a） ，点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点） ，过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 E，与双曲线交于点 P试求PAD 的面积的最大值；探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 能否为平行四边形？若能
10、，求出此时点 D 的坐标；若不能，请说明理由42015-2016 学年湖北省黄石市阳新县军垦中学九年级（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择：（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1下列方程，是一元二次方程的是（ ）3x 2+x=20，2x 23xy+4=0，x 2=4，x 2=0，x 2+3=0A B C D【考点】一元二次方程的定义【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2【解答】解：符合一元二次方程的条件，正确；含有两个未知数，故错误；不是整式方程，故错误；符合一元二次
11、方程的条件，故正确；符合一元二次方程的条件，故正确故是一元二次方程故选 D2抛物线 y=2x 2+1 的对称轴是（ ）A直线 x= By 轴 C直线 x=2 D直线 x=【考点】二次函数的性质【分析】根据对称轴的公式求出对称轴即可【解答】解：y=2x 2+1 是抛物线的顶点式，抛物线 y=2x 2+1 的对称轴是直线 x=0，或 y 轴，故选 B3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图
12、形，故错误，B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确，C，不是轴对称图形是中心对称图形，故错误，D、不是轴对称图形是中心对称图形，故错误，故选 B4如果关于 x 的一元二次方程 k2x2（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ）Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k0【考点】根的判别式5【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围【解答】解：由题意知，k0，方程有两个不相等的实数根，所以0，=b 24ac=（2k+1） 24k 2=4k+10又方程是一元二次方程，k0，k且 k0故选 B5如图，在一
13、幅长为 60cm，宽为 40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图若要使整个挂图的面积是 3500cm2，设纸边的宽为 x（cm） ，则 x 满足的方程是（ ）A （60+x） （40+x）=3500 B （60+2x） （40+2x）=3500C （60x） （40x）=3500 D （602x） （402x）=3500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】如果设纸边的宽为 xcm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x） ，根据总面积即可列出方程【解答】解：设纸边的宽为 xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x） ，根据题意可得出
14、方程为：（60+2x） （40+2x）=3500，故选 B6一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）A1 B C D【考点】圆锥的计算【分析】根据展开的半圆就是底面周长列出方程【解答】解：根据题意得：，解得 r=，故选 C7如图，两个以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点OHAB 于 H，则图中相等的线段共有（ ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组【考点】垂径定理【分析】根据垂径定理求解【解答】解：由垂径定理知，点 H 是 AB 的中点，也是 CD 的中点，则有 CH=HD，AH=HB，所以 AD=BC，AC=BD所以共有 4 组相等的线
15、段故选 D8把抛物线 y=3x2先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得的抛物线是（ ）Ay=3（x+3） 22 By=3（x+3） 2+2Cy=3（x3） 22 Dy=3（x3） 2+2【考点】二次函数图象与几何变换6【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解【解答】解：抛物线 y=3x2先向上平移 2 个单位，得：y=3x 2+2；再向右平移 3 个单位，得：y=3（x3） 2+2；故选 D9如果 a，b 为质数，且 a213a+m=0，b 213b+m=0，那么的值为（ ）A B或 2 C D或 2【考点】质数与合数；根与系数的关系【分析】由于 a、b 的关
16、系不明确，故应分 a=b 和 ab 两种情况讨论， （1）a=b 可直接求出代数式答案；（2）若 ab，设 a，b 为方程 x213x+m=0 的两个根，利用根与系数的关系及 a，b 为质数即可求出 a、b 的值【解答】解：（1）若 a=b，则=2；（2）若 ab，设 a，b 为方程 x213x+m=0 的两个根a+b=13a，b 为质数，a=11，b=2 或 a=2，b=11，=故选 B10如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x=1，点 B 坐标为（1，0） 则下面的四个结论：2a+b=0；4a2b+c0；ac0
17、；当 y0 时，x1 或 x2其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】根据对称轴为 x=1 可判断出 2a+b=0 正确，当 x=2 时，4a2b+c0，根据开口方向，以及与 y 轴交点可得 ac0，再求出 A 点坐标，可得当 y0 时，x1 或 x3【解答】解：对称轴为 x=1，x=1，b=2a，2a+b=0，故此选项正确；点 B 坐标为（1，0） ，当 x=2 时，4a2b+c0，故此选项正确；图象开口向下，a0，图象与 y 轴交于正半轴上，c0，ac0，故 ac0 错误；对称轴为 x=1，点 B 坐标为（1，0） ，A 点坐标为：（3，0） ，
18、当 y0 时，x1 或 x3 ，故错误；故选：B7二、填空题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分）11写出一个有实数根的一元二次方程： x 21=0 【考点】根的判别式【分析】根据一元二次方程的判别式，方程有实根的条件：判别式大于 0，写出答案即可答案不唯一【解答】解：x 21=0 有两个不等的实数根，答案不唯一12方程 x2+3x6=0 与 x26x+3=0 所有根的乘积等于 18 【考点】根与系数的关系【分析】直接利用根与系数的关系得出两方程的两根之积，进而得出答案【解答】解：x 2+3x6=0x1x2=6，x26x+3=0两根之积为： =3，故方程 x2+3x6=0 与 x26x+3
19、=0 所有根的乘积等于：63=18故答案为：1813已知点 A（1+a，1）和点 B（5，b1）是关于原点 O 的对称点，则 a+b= 6 【考点】关于原点对称的点的坐标【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答【解答】解：点 A（1+a，1）和点 B（5，b1）是关于原点 O 的对称点，1+a=5，1=b1，解得：a=6，b=0，故 a+b=6故答案为：614如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD，若AOB=100，则ABD= 25 【考点】圆周角定理【分析】根据垂径定理得到=，求出AOD 的度数，根据圆周角定理求出ABD 的度数【解答】解：CD 是O 的直径，弦 ABCD
20、，=，AOD=BOD=AOB=50，ABD=AOD=25，故答案为：2515如图，点 A，B，C 在一条直线上，ABD，BCE 均为等边三角形，连接 AE 和 CD，AE分别交 CD，BD 于点 M、P，CD 交 BE 于点 Q，连接 PQ，BM下列结论：ABEDBC；DMA=60；BPQ 为等边三角形；MB 平分AMC其中结论正确的是 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质8【分析】由等边三角形的性质得出 AB=DB，ABD=CBE=60，BE=BC，得出ABE=DBC，由 SAS 即可证出ABEDBC；由ABEDBC，得出BAE=BDC，根据三角形外角的性质得出DMA=60
21、；由 ASA 证明ABPDBQ，得出对应边相等 BP=BQ，即可得出BPQ 为等边三角形；证明 P、B、Q、M 四点共圆，由圆周角定理得出BMP=BMQ，即 MB 平分AMC【解答】解：ABD、BCE 为等边三角形，AB=DB，ABD=CBE=60，BE=BC，ABE=DBC，PBQ=60，在ABE 和DBC 中，ABEDBC（SAS） ，正确；ABEDBC，BAE=BDC，BDC+BCD=1806060=60，DMA=BAE+BCD=BDC+BCD=60，正确；在ABP 和DBQ 中，ABPDBQ（ASA） ，BP=BQ，BPQ 为等边三角形，正确；DMA=60，AMC=120，AMC+PB
22、Q=180，P、B、Q、M 四点共圆，BP=BQ，=，BMP=BMQ，即 MB 平分AMC；正确；故答案为16如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 1 【考点】正方形的性质【分析】根据正方形的性质可得 AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，然后利用“边角边”证明ABE 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得1=2，利用“SAS”证明ADG 和CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得2=3，从而得到1=3，然后求出AHB=90，
23、取 AB 的中点 O，连接 OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OH=AB=1，利用勾股定理列式求出 OD，然后根据三角形的三边关系可知当 O、D、H三点共线时，DH 的长度最小9【解答】解：在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，在ABE 和DCF 中，ABEDCF（SAS） ，1=2，在ADG 和CDG 中，ADGCDG（SAS） ，2=3，1=3，BAH+3=BAD=90，1+BAH=90，AHB=18090=90，取 AB 的中点 O，连接 OH、OD，则 OH=AO=AB=1，在 RtAOD 中，OD=，根据三角形的三边关系，O
24、H+DHOD，当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=ODOH=1（解法二：可以理解为点 H 是在 RtAHB，AB 直径的半圆上运动当 O、H、D 三点共线时，DH 长度最小）故答案为：1三、解答题（共 9 题，共 72 分）17计算：【考点】实数的运算；零指数幂【分析】根据绝对值、零指数幂、二次根式化简 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式=1+2+1，=318先化简后求值：，其中 a=1+，b=1【考点】分式的化简求值【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算【解答】解：原式=当 a=1+，b
25、=1时，原式=19如图，在O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，连接 AC，将ACE 沿 AC 翻折得到ACF，直线 FC 与直线 AB 相交于点 G10（1）直线 FC 与O 有何位置关系？并说明理由；（2）若 OB=BG=2，求 CD 的长【考点】切线的判定；解直角三角形【分析】 （1）相切连接 OC，证 OCFG 即可根据题意 AFFG，证FAC=ACO 可得OCAF，从而 OCFG，得证；（2）根据垂径定理可求 CE 后求解在 RtOCG 中，根据三角函数可得COG=60结合OC=2 求 CE，从而得解【解答】解：（1）直线 FC 与O 相切 理由如下：连接 OCOA=OC，
26、1=2 由翻折得，1=3，F=AEC=902=3，OCAFOCG=F=90直线 FC 与O 相切 （2）在 RtOCG 中，COG=60 在 RtOCE 中， 直径 AB 垂直于弦 CD，20解方程组：【考点】高次方程【分析】整理方程，把 y 的值代入中来求 x 的值即可【解答】解：由得：y=5x把代入得：x 2（5x） 2+7=0，整理，得x210x+18=0，则 x=54，所以 x1=9，x 2=则 y1=59=13，y 2=5=3故原方程组的解为：，21已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个
27、不相等的正整数根【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法【分析】 （1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出 m 的值【解答】 （1）证明：=（m+2） 28m=m24m+411=（m2） 2，不论 m 为何值时， （m2） 20，0，方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x 2=1，方程有两个不相等的正整数根，m=1 或 2，m=2 不合题意，m=122某校九年级两个班，各选派 10 名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛各参赛选手的成绩如图：九（1）班：88，91，92，93，93，9
28、3，94，98，98，100九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差九（1）班 100 m 93 93 12九（2）班 99 95 n 93 8.4（1）直接写出表中 m、n 的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班， （1）班的成绩比（2）班好” ，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98 分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率【
29、考点】列表法与树状图法；加权平均数；中位数；众数；方差【分析】 （1）求出九（1）班的平均分确定出 m 的值，求出九（2）班的中位数确定出 n 的值即可；（2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持九（2）班成绩好的原因；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出另外两个决赛名额落在同一个班的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）m=（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）=94；把九（2）班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99，则中位数 n=（95+96）=95.5；（2）九（2）班平均分高于九（1）班；九（2）班的成
30、绩比九（1）班稳定；九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可） ；（3）用 A1，B 1表示九（1）班两名 98 分的同学，C 2，D 2表示九（2）班两名 98 分的同学，画树状图，如图所示：所有等可能的情况有 12 种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有 4 种，则 P（另外两个决赛名额落在同一个班）=23大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40 元，售价为每件60 元，每月可卖出 300 件市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；12
31、售价每下降 1 元每月要多卖 20 件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 60+x（元/件） （x0 即售价上涨，x0 即售价下降） ，每月饰品销量为 y（件） ，月利润为 w（元） （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于 6000 元应如何控制销售价格？【考点】二次函数的应用【分析】 （1）直接根据题意售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖20 件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润销量=总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意
32、的答案【解答】解：（1）由题意可得：y=；（2）由题意可得：w=，化简得：w=，即 w=，由题意可知 x 应取整数，故当 x=2 或 x=3 时，w6125，x=5 时，W=6250，故当销售价格为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元；（3）由题意 w6000，如图，令 w=6000，将 w=6000 带入20x0 时对应的抛物线方程，即 6000=20（x+） 2+6125，解得：x 1=5，将 w=6000 带入 0x30 时对应的抛物线方程，即 6000=10（x5） 2+6250，解得 x2=0，x 3=10，综上可得，5x10，故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间
33、（含 55 元和 70 元）才能使每月利润不少于 6000元24已知：ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角三角形 PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点 P 在线段 AB 上，且 AC=1+，PA=，则：线段 PB= ，PC= 2 ；猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 PA 2+PB2=PQ2 ；（2）如图，若点 P 在 AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（3）若动点 P 满足=，求的值 （提示：请利用备用图进行探求） 【考点】勾股定理的应用；相似形综合题
34、【分析】 （1）在等腰直角三角形 ACB 中，由勾股定理先求得 AB 的长，然后根据 PA 的长，可求得 PB 的长；过点 C 作 CDAB，垂足为 D，从而可求得 CD、PD 的长，然后在 Rt 三角形CDP 中依据勾股定理可求得 PC 的长；ACB 为等腰直角三角形，CDAB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据 AP=DCPD，PB=DC+PD，可证明 AP2+BP2=2PC2，因为在 RtPCQ 中，PQ2=2CP2，所以可得出 AP2+BP2=PQ2的结论；13（2）过点 C 作 CDAB，垂足为 D，则 AP=（AD+PD）=（DC+PD） ，PB=（DPBD）=（PDDC） ，
35、可证明 AP2+BP2=2PC2，因为在 RtPCQ 中，PQ 2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点 P 所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得 PD 的长（用含有 CD的式子表示） ，然后在 RtACP 和 RtDCP 中由勾股定理求得 AC 和 PC 的长度即可【解答】解：（1）如图：ABC 是等腰直直角三角形，AC=1+AB=+，PA=，PB=，作 CDAB 于 D，则 AD=CD=，PD=ADPA=，在 RtPCD 中，PC=2，故答案为：，2；如图 1ACB 为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP 2=（ADPD） 2=（DCPD）
36、2=DC22DCPD+PD 2，PB 2=（DB+PD） 2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2AP 2+BP2=2CD2+2PD2，在 RtPCD 中，由勾股定理可知：PC 2=DC2+PD2，AP 2+BP2=2PC2CPQ 为等腰直角三角形，2PC 2=PQ2AP 2+BP2=PQ2（2）如图：过点 C 作 CDAB，垂足为 DACB 为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP 2=（AD+PD） 2=（DC+PD） 2=CD2+2DCPD+PD2，PB2=（DPBD） 2=（PDDC） 2=DC22DCPD+PD 2，AP 2+BP2=2CD2+2PD2，在 RtPCD
37、 中，由勾股定理可知：PC 2=DC2+PD2，AP 2+BP2=2PC2CPQ 为等腰直角三角形，2PC 2=PQ2AP 2+BP2=PQ2（3）如图：过点 C 作 CDAB，垂足为 D当点 P 位于点 P1处时，14在 RtCP 1D 中，由勾股定理得： =DC，在 RtACD 中，由勾股定理得：AC=DC，=当点 P 位于点 P2处时=，在 RtCP 2D 中，由勾股定理得： =，在 RtACD 中，由勾股定理得：AC=DC，综上所述，的比值为或25如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，得到一个新函数的图象（
38、图中的“V 形折线” ） （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图 2，双曲线 y=与新函数的图象交于点 C（1，a） ，点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点） ，过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 E，与双曲线交于点 P试求PAD 的面积的最大值；探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点 D 的坐标；若不能，请说明理由【考点】反比例函数综合题【分析】 （1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：x3 时，显然 y=x+3；当
39、x3 时，利用待定系数法求解；（2）先把点 C（1，a）代入 y=x+3，求出 C（1，4） ，再利用待定系数法求出反比例函数解析式为 y=由点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点） ，可设点 D 的坐标为（m，m+3） ，且3m1，那么 P（，m+3） ，PD=m，再根据三角形的面积公式得出PAD 的面积为S=（m）（m+3）=m 2m+2=（m+） 2+，然后利用二次函数的性质即可求解；先利用中点坐标公式求出 AC 的中点 D 的坐标，再计算 DP，DE 的长度，如果 DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形 PAEC 为平行四边形；如果DPDE，那么不是平行四
40、边形【解答】解：（1）如图 1，均是正整数新函数的两条性质：函数的最小值为 0；函数图象的对称轴为直线 x=3；由题意得 A 点坐标为（3，0） 分两种情况：x3 时，显然 y=x+3；当 x3 时，设其解析式为 y=kx+b在直线 y=x+3 中，当 x=4 时，y=1，则点（4，1）关于 x 轴的对称点为（4，1） 把（4，1） ， （3，0）代入 y=kx+b，得，解得，y=x3综上所述，新函数的解析式为 y=；15（2）如图 2，点 C（1，a）在直线 y=x+3 上，a=1+3=4点 C（1，4）在双曲线 y=上，k=14=4，y=点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点） ，可设点 D 的坐标为（m，m+3） ，且3m1DPx 轴，且点 P 在双曲线上，P（，m+3） ，PD=m，PAD 的面积为S=（m）（m+3）=m 2m+2=（m+） 2+，a=0，当 m=时，S 有最大值，为，又31，PAD 的面积的最大值为；在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 不能为平行四边形理由如下：当点 D 为 AC 的中点时，其坐标为（1，2） ，此时 P 点的坐标为（2，2） ，E 点的坐标为（5，2） ，DP=3，DE=4，EP 与 AC 不能互相平分，四边形 PAEC 不能为平行四边形
