1、2012届JS高三第一轮复习数学 文 数列第五课时 俞雪峰 等比数列及其性质 本节课的学习目的 通过复习探究等比数列的项与项之间的几类关系使同学们能较深入理解等比数列的本质 从而为全面理解和掌握等比数列的有关内容打下坚实的基础 本节课的学习方法 与等差数列进行比较 通过类比的方法复习等比数列 类比 若m n p t m n p t N 则am an ap at 若m n p t m n p t N 则aman apat 等比数列 一 等比数列的定义及通项公式 通项公式 数学表达式 定义 等比数列 等差数列 名称 如果一个数列从第2项起 每一项与前一项的差等于同一个常数 那么这个数列叫做等差数列
2、 这个常数叫做等差数列的公差 用d表示 an 1 an d an a1 n 1 d 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 用q表示 a1q2 a1q3 a1qn 1 等差数列 等比数列 通项公式 通项公式 考点一 等比数列的基本运算 例1 在等比数列 an 中 答案 1 n 5 2 a5 3 a1 729 4 q 解题思路分析 在等比数列通项公式中 有四个量 an a1 q n 知道其中的任意三个量 就可以求出另一个量 即知三求一 我们称之为基本量法 解后反思 例2 在等比数列 an 中 解后反思 利用通项公式由已知
3、的基本量转化为解方程组 所谓函数与方程的思想 二 等比数列通项公式的引申 可得 已知等差数列 an 中 公差为d 则an与am n m N 有何关系 已知等比数列 an 中 公比为q 则an与am n m N 有何关系 an a1qn 1 am a1qm 1 可得 例2 在等比数列 an 中 三 等比中项 如果在a与b中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 如果在a与b中间插入一个数G 使a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 在等差数列 an 中 注意 1 两个数的等比中项有两个 它们互为相反数 2 这两个数必须满足同号的条件 即ab 0 在等比数列
4、an 中 等差中项 等比中项 1 两个数的等差中项只有一个2 任意两个数都有等差中项 考点二 等比数列的判定 或 判断一个数列是否为等比数列的首选方法 定义 证明 Sn 2an 1 Sn 1 2an 1 1 Sn 1 Sn an 1 2an 1 1 2an 1 2an 1 2an an 1 2an 1 2an an 1 2an 又 S1 a1 2a1 1 a1 1 0 由 式可知 an 0 由知 an 是等比数列 所以通项公式 an 2n 1 例3 已知数列 an 的前n项和Sn 2an 1 求证 an 是等比数列 并求出通项公式 四 等比数列的性质 等差数列的性质 等比数列的性质 已知 an
5、 是等差数列 若m n p t m n p t N 则 am an ap at 已知 an 是等比数列 若m n p t m n p t N 则 am an ap at a1 a2 a3 an 2 an 1 an a1 an a2 an 1 a3 an 2 a1an a2an 1 a3an 2 考点三 等比数列性质的应用 例4 在等比数列 an 中 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 36 求a3 a5 6 解 由性质可得a2a4 a3a3 a32a4a6 a5a5 a52所以a32 2a3a5 a52 a3 a5 2 36 例5 2010 全国 已知各项均为正数的等比数列 an a1
6、a2a3 5 a7a8a9 10 则a4a5a6 5B 7C 6D 4 分析 利用等比数列的性质求解 解 由等比数列的性质知a1a2a3 a1a3 a2 a32 5 a7a8a9 a7a9 a8 a38 10 所以a2a8 所以a4a5a6 a4a6 a5 a35 3 3 5 故选A 再回顾 类比 若m n p t m n p t N 则am an ap at 若m n p t m n p t N 则aman apat 等比数列 1 教材改编题 在等比数列 an 中 a1 1 a5 9 则a3 A 3B 3C 3或 3D 解析 a23 a1a5 9 且a1 a3 a5同号 a3 3 故选A 2
7、 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q A B 2C 2D 解析 q3 q 故选D 3 2011 济南山师附中模拟 在等比数列 an 中 a8 a10 6 a4 a14 5 则等于 A B C 或D 或 五 课堂演练 解析 由题知 a8 a10 a4 a14 6 且a4 a14 5 解得a4 2 a14 3 或a4 3 a14 2 或 故选C 复习内容 等比数列的定义 通项公式 性质 本质就是复习数列项与项之间的关系 从定义的相邻两项的关系 通项公式的第n项与首项的关系 拓展到任意两项的关系最后到三项 四项的关系 通过本节课的复习我们可以深入的理解和掌握等比数列的实质 复习方法 主
8、要是类比 与等差数列类比进行复习 的方法 兼顾了回顾 探究 讨论 数学方法 转化的思想 函数与方程的思想解题方法 基本量法 赋值法 归纳法 累加法 累乘法 性质的灵活运用 六 总结 七 布置作业 1 回顾本节课的有关内容 2 校本训练二十五 3 预习下一节课的内容 等比数列求和公式及其简单应用 变式5 1 在等比数列 an 中 a1 1 公比 q 1 若am a1a2a3a4a5 则m A 9B 10C 11D 12 解析 am a1a2a3a4a5 a53 a1q2 5 q10 a11 故选C 变式5 2 2011 潍坊模拟 已知等比数列 an 的公比为正数 且a3a9 2a25 a2 2 则a1等于 A 1B C D 2 关于等比数列的性质与等差数列的性质类似 随着复习的深入我们可能会碰到以下一些性质 同学们可以了解一下 等比数列的性质 等比数列的性质 等比数列的性质
