1、安 徽 省 安 庆 市 2018 届 高 三 二 模 考 试 数 学 试 题 （ 理 ）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ，集合 ，则 （ ）1|xA1|xBBAA B C D| 0|x0|x2已知复数 满足： ，其中 是虚数单位，则 的共轭复数为（ ）z(2+i)=-izizA B C D13-i513i51-i31+i33 三内角 的对边分别为 ,则“ ”是“ ”的（ CA, cbaBA2cos）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 4如图，四边形 是边长为 2 的
2、正方形，曲线段 所在的曲线方程为 ，现OABCE1xy向该正方形内抛掷 1 枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）A B C D42ln342ln142ln542ln15阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的 值为（ ）xA0 B 1 C16 D326某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A12 B16 C D24327函数 （ ）的图象的大致形状是（ ）|log|1|)(xxfa108已知函数 （ 2|,0）图象相邻两条对称轴之间的距离为 2，)sin()xf将函数 )(fy的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数3y的图象（ ）xfA. 关于点
3、对称 B. 关于点 对称 (,0)12 (-,0)12C. 关于直线 对称 D. 关于直线 x对称=x9在 中，点 是边 上任意一点， 是线段 AD的中点，若存在实数 和 ，ABCDBCM使得 ，则 （ ）MA B C2 D211210在锐角 中， ，则 的取值范围是（ ）ABC2ACBA B C D)3,1()3,1()3,2()2,1(11已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）yx,xx32)1(xyA B C D5291362112已知函数 ， 是 图象上任意一点，过点 作直线)0(4)(xfP)(xfyP和 轴的垂线，垂足分别为 ，又过点 作曲线 的切线，交直线xyA, )(xfy和
4、轴于点 .给出下列四个结论： 是定值； 是定值；HG, |PB BA （ 是坐标原点）是定值； 是定值.|O HG其中正确的是（ ）A B C D 二、填空题：每题 4 分，满分 20 分.13如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是 .nx)13( 41x14设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且满足 ，若y2FBA, FBA，则 的值为 .|AF15已知由样本数据点集合 求得的回归直线方程为 ，.,21|),(niyxi 5.0.1xy且 .现发现两个数据点 和 误差较大，去除后重新求得的回归直线3x.,)9.7,4(的斜率为 1.2，那么，当 时， 的估计值为 .
5、l xy16祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线 12byax与直线 ， 和 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得，如图)0,(bax0yby所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 . 三、解答题：本大题共 7 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知公差不为 0 的等差数列 的首项
6、，且 成等比数列.na211,421a（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ， ， 是数列 的前 项和，求使 成立的最大的正1nb*NnSnb193nS整数 .18如图，四边形 是矩形，沿对角线 将 折起，使得点 在平面ABCDACD上的射影恰好落在边 上.AB（1）求证：平面 平面 ；ACDB（2）当 时，求二面角 的余弦值.2BA19某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车
7、的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过 （ ）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以 表示，求 的n*N分布列和数学期望.20已知直线 ： ， ： ，动点 分别在直线 ， 上移动，1lxy32lxy3BA,1l2， 是线段 的中点.2|ABMAB（1）求点 的轨迹 的方程；E（2）设不经过坐标原点 且斜率为 的直线 交轨迹 于点 ，点 满足OklEQP,R，若点 在轨迹 上，
8、求四边形 的面积.QPORROR21已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为xbaxfln)(2)(xfy)1(,f.xy2（1）求 和 实数的值；ab（2）设 ， 分别是函数 的两个零)()(2RmxfF)0(,2121xx)(xF点，求证 .01x请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修 4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点 ， ， 是线段 的中点，以极点为原点，极(2,)6A2(3,)BCAB轴为 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线 的x 参数方程是 （ 为参数）.sin2coy（1）求点 的直角坐标，并求曲线
9、 的普通方程；C（2）设直线 过点 交曲线 于 两点，求 的值.lQP,C23选修 4-5：不等式选讲已知 ，不等式 的解集是 .|12|)(xf 2)(xfM（1）求集合 ；（2）设 ，证明： .Mba, |1|bab【参考答案】一、选择题1D【解析】因为 ，所 .故选 D.101Bxx或 0ABx2B【解析】. ，所以 的共轭复数为 .(i)1izi(i)253iz13i5故选 B.3.C【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得 22cos21sinsiABAB.故选 C.22sinisiniABAab4.A【解析】根据条件可知， ，阴影部分的面积为12E， 2 21 1 1dlnln232l
10、nx 所以，豆子落在阴影部分的概率为 .故选 A.435.B【解析】 ； ； ；010xtk， ， 28xtk， ， 1636xtk， ，.故选B.14t， ，6.B【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为 （ ）.12263cm故选B.7.C【解析】故选 C.log11()l 0l.aaaxxf ， ， ，8.A【解析】由函数 图象相邻两条对称轴之间的距离为 可知其周期为 ，所以()yfx2，所以 .将函数 的图象向左平移 个单位后，得2sin2()yfx3到函数 图象.因为得到的图象关于 轴对称，sin3yx所以 ， ，即 ， .232kz6kZ又 ，所以 ，所以 ，其图象关于点 对称.
11、 6()sin2fx012，故选A.9. B【解析】因为点 在边 上，所以存在 ，使得 .DBCRtBDtCAB因为 是线段 的中点，所以MA11112222BtAtt又 ，所以 ， ，所以 . 故选 B.C10.D【解析】 .sini(-3)=sABCB2sin3-4siB因为 是锐角三角形，所以AB0202B， ， ，得 .所以 .故选D.6421sin()4， 34sin(1)AC，11. C【解析】 作可行域，如图阴影部分所示. 表示可行域内的点 与点 连线的斜率. 1yxxy， 10，易知 ， ， .42A， 13B， 942C，当直线 与曲线 相切时， ，切点为 ，所以切点位于点
12、、ykxyx1k1， A之间. 因此根据图形可知， 的最大值为 .故选 C.C1212C 【解析】 设 ，则 ，为定值，4Pm， 4| |22mPAB所以正确；因为四边形 四点共圆，所以 ，O0135P又由知 ， 2|BA所以 ，为定值，故正确；)(P 因为 ，所以过点 的曲线 的切线方程为24()1fx4Pm， ()yfx，所以 ， ，2ym2G， 80Hm，所以 ，为定值，故正确；.8|16|OGHm ，不是22244168P m， ，定值，故不正确, 故选C.二、填空题13. -189【解析】令 ，得展开式中各项系数之和为 .由 ，得 ，所以展开式的1x2n187n通项为 . 由 ，得
13、，展开式中 的系数是73721()CrrrTx 45r41x.575()38914.12【解析】设 ， . 因为抛物线x 2=4y的焦点为 ，准线为 ，1Axy， 2By， (0,1)F1y所以由 ，得 ，所以 ，x 12=4y1=2.32F13y1y由 得 即AFB12xy， ， 21.2xy，因为 x22=4y2，所以 . 解得 或 （舍）.)12(4)(1x=115. 3.8【解析】将 代入 得 . 所以样本中心点为 ，由数据点5.0.yy(35)，(1.1,2.1)和(4.9,7. 9)知： ， ，故去除这两个数据点后，样本中心1493217952点不变.设新的回归直线方程为 ，将样本
14、中心点坐标代入得： ，.yxb1.4b所以，当 时， 的估计值为 .2x3816. 43ab【解析】设点 ，则 ，所以圆环的面积为 .0Axy， 0aByb，2200axyb因为 ，所以 ，201ab20所以圆环的面积为 .2200ayayb根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为 、高为 的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为： .ab 222143abab三、解答题17解：（）设数列 的公差为 ，则 ， .nd2(1)nad*Nn由 ， ， 成等比数列，得 ， 1a241a214aa即 ，得 （舍去）或 . 33d0d3d所以数列 的通项公式为
15、， . nn*N（）因为 ， 113232nban所以 .13258323n nS由 ，即 ，得 . 19n3192n所以使 成立的最大的正整数 . 3nS18解：（I）设点 在平面 上的射影为点 ，连接 ，DABCED则 平面 ，所以 .EE因为四边形 是矩形，所以 ，所以 平面 ，所以 .ABBCABCAD又 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面C.D（II）方法 1：在矩形 中，过点 作 的垂线，垂足为 ，连结 .ABCDACME因为 平面 ，又 DMDE=D，DEE所以 平面 ，所以 为二面角 的平面角. CMEACB设 ，则 .Aa2a在 中，易求出 ， .5A25a在 中，
16、，所以 . AEM1tan0BCEM1cos4EMD方法 2：以点 为原点，线段 所在的直线为 轴，线段 所在的直线为 轴，建立xABy空间直角坐标系，如图所示. 设 ，则 ，所以 ， .ADa2Ba02Aa， ， 0C， ，由（I）知 ，又 ，所以 ， ，那么D3B6DAB， ，1cos2Ea2Ea3sin2Ea，所以 ，所以 ， . 302Da， ， 1302ADa， ， 0ACa， ，设平面 的一个法向量为 ，则 即ACmxyz， ， 0mD， 1320.yzax，取 ，则 ， ，所以 . 1y2x3z312， ，因为平面 的一个法向量为 ，ABC0n， ，所以 .2231cos 41m
17、n，所以求二面角 的余弦值为 . DACB419解：(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为 ，31用 表示“抽取的 5 辆单车中蓝颜色单车的个数 ”，则 服从二项分布，XX即 ，X（315B所以抽取的 5 辆单车中有 2 辆是蓝颜色单车的概率 . 3225180C4P（(II) 的可能取值为：0，1， 2， . n，3)(P，29，21()3，. 312)(nP nP32)(所以 的分布列为： 0 1 2 1nnP313 2323的数学期望为：， (1)23 121122()3 33nnE . (2)231 1(2)()nnn (1)(2)得： 231 11122(1)3 33nn
18、nnE ，2312nn.23133nnE 21n213n所以 .23nE20.解：（I）根据条件可设 ， ，Am， 3Bn，由 ，得: .2AB22()()1n设 ，则 得Mxy，32xmn， 32.xny， 将和代入 中并化简得： .3()()1219x所以点 的轨迹 的方程为 . ME29xy（II）设直线 的方程为 ， ， ， .lkm),(1P),(2yxQ0Rxy，将 代入 ，整理得 .ykxm219y)1(98922 mk则 ， . 1228k21)(kx.2121212 218()919kyxmmk因为 ，则有： ， . ORPQ0122x022my因为 在椭圆上， ，0xy，
19、199822kk化简得： . 所以 ， ，22419mkmx212214)(x因为 4)(| 21212xPQ )1(9)(222mk. )9)(|232km)(3|2又点 到 的距离为 . OPQ21|kmh由 ，可知四边形 为平行四边形，ROPRQ. hSOPQP|2 231|)(3|22km21解：（I）由 ，得 ，()lnfxabxfa()bfxax，所以曲线 在点处 的切线方程(1)2fab()yf()，（*）.1yx将方程（*）与 比较，得 解得 ， . 2y210.aba， 1b（II） .22() lnlnFxfmxxmx因为 ， 分别是函数 的两个零点，所以1212()F12
20、0l， ，两式相减，得 ，1212ln0xx所以 . 12lnm因为 ， 所以. .()Fxx12121212lnxFxmx要证 ，即证 . 1201212ln0x因 ，故又只要证 .120x 12122112l ln0xxx令 ，则即证明 .12t， ln0t令 ， ，则 .()lntt01t221()10ttt这说明函数 在区间 上单调递减，所以 ，t， ()即 成立.由上述分析可知 成立. 12ln0t120Fx22.解：（）将点 ， 的极坐标化为直角坐标，得 和 .ABA(31)， B(3)，所以点 的直角坐标为 . C(2)，将 消去参数 ，得 ，即为曲线 的普通方程. 2cosinxy， 22()4xy（）解法一：直线 的参数方程为 （ 为参数， 为直线 的倾斜角）lcosint， ， tl代入 ，整理得： .22()4xy28120t设点 、 对应的参数值分别为 、 .则 ，PQ1t. 12|Ct解法二：过点作圆 ： 的切线，切点为 ，O2()4xyT连接 ，因为点由平面几何知识得： 1T，|CPQ221|612GTCR所以 . |23.解：（）当 时， .12x()21fxx由 ，得 ，所以 .()f当 时， .12x()13fxx由 ，得 ，所以 .()f2综上， . |1Mx（）因为 ， ，所以 ， ， 即 ， .abM1ab1ab所以 21，所以 . 02
