1、1几何概率的计算方法高中数学必修 3 第三章 3.3 几何概型教学探讨 汝阳县第一高中孟臣杰从某中意义上说，几何概率是古典概率的补充和推广，在现代概率的发展中，曾经起过积极的作用。深入考察几何概率问题，对进一步理解概率的基本性质，具有十分重要的意义。 本文主要讨论几何概率的计算方法，探索解题思路，总结解题技巧。解答几何概率问题，一般包含相互联系的四个步骤：1. 判明问题的性质判明问题的性质是解题的第一步，就是先弄清所解的问题，是不是几何概率问题。如果问题所及的试验，具有以下两个特征：（1）.试验的样本空间包含无穷多个元素，每个样本点由几何空间（一维、二维、三维，甚至 n 维）中的某一区域 G
2、内的点的随机位置来确定；（2）各个样本点的发生是等可能的，也就是区域 G 内的点的任何位置是等可能的，那么，我们就可以判断它是一个几何概率问题。2.明确参数的含义任何一个几何概率问题，它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。为了叙述方便，通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数，弄清具有某种等可能性的随机点是什么。也就是要正确理解“等可能” 、 “随机” 、 “均匀分布”等词在题中的实际意义，正确揭示他们的本质，以使问题的解答有一个可靠的基础。3.确定区域的测度明确了等可能值的参数以后，我们就可以根据题设条件，借助于适当的几何模型，把事件 A 所处的样本空间和有利场合，分别与几何空间中的
3、区域 G 和 GA 对应起来。从而，利用初等几何或微积分知识，确定 G 和 GA 测度，即计算他们的长度、面积或体积等。4.明确事件的概率确定了区域 G 和 GA 的测度后，就可以直接利用公式推求事件 A 的概率。几何概率的计算公式和古典概率相仿，结构比较简单，如果用 L(G)和 L(GA)分别表示区域 G 和 GA 的测度，那么事件 A 的概率是 ()ALPG上述四个步骤是一个完整的统一体。容易看出，明确等可能值的参数，是解题的基础，确定区域的测度，是解题的关键。几何概率计算中的种种技能和技巧，大多是围绕确定 L(G)和 L(GA)而展开的。一、简单几何概率的解法几何概率的问题，大体上可以分
4、两类，一类是样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域已直接给出，另一类是样本空间所在的几何区域，题中没有直接指明，需要对问题做深入分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域。前者结构简单，易于求解；后者结构复杂，解答富有技巧性。本节重点讨论简单几何概率的解法。解答这类问题，通常可以从明确等可能值参数的含义入手，先找出相应的区域 G 和 GA,确定他们的测度，再代入几何概率公式计算求解。例 1. 在半径为 R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于 R 的概率。 2思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题
5、中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图 1-1） 。也就是说，样本空间所对应的区域 G 是一维空间（即直线）上的线段 MN，而有利场合所对应的区域 GA，是长度不小于 R 的平行弦的中点 K 所在的区间。 K KK1图1-2图1-1O OMNE F MNE FE1 F1解法 1.设 EF 与 E1F1 是长度等于 R 的两条弦，直径 MN 垂直于 EF 和 E1F1，与他们分别相交于 K 和 K1(图 1-2)。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径 MN，有 L(G)=MN=2R，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是 KK1，有 2
6、21() 3KLGOR以几何概率公式得 。()ALGP解法 2.如图 1-1 所示，设园 O 的半径为 R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径 MN 弦EF，它们的交点为 K，则点 K 就是弦 EF 的中点。设 OK=x，则 x -R,R, 所以 L(G)=2R设事件 A 为“任意画的弦的长度不小于 R”，则 A 的有利场合是 ,2RX解不等式，得 所以 3x23()2LG于是 ()PAR评注 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法 1 充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法 2 引进变量 x 把代数知识
7、和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。例 2.平面上画有一组平行线，其间隔交替为 1.5cm 和 10cm，任意地往平面上投一半径为2cm 的圆，求此圆不与平行线相交的概率。思考方法 本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直径为 2cm 的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线3的间隔交替的为 1.5cm 和 10
8、cm，则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上（如图 1-3）由此原题不难解出。解 设 L1、 L2、 L3 是三条相邻的平行线， EPF 是它们之间的垂线（图 1-3） ，则样本空间所对的区域是线段 EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到 L1 与 L2 相邻 1.5cm，所以圆心如果落在线段 EP 上，那么圆与平行线必定相交。设半径为 2cm 的O、O 1 分别切 L2、L 3 于 P、F，则事件的有利场合所对应的区域应是线段 OO1 有L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=1
9、0-2-2=6cm。6p=0.57l1l2l图1-4图1-3HRQP CA BEFOO1 DE FPG评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的关键，在于斟酌题设条件，发掘等可能值参数的含义，找出随机点的分布情况。不难发现，上面两个例子中的空间和有利场合，他们所对应的区域都是一维的。我们可以把解题思路推广到二维空间或三维空间的场合，可以解答下列各题（1） 平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分为边长为 a 的正方形。向平面任意投一半径为 r（rd+2a） 。如果球的飞行轨道于网格平面垂直，求命中枝条的概率。(答案： )211rdrab例 3 在三角形 ABC 中任取一点
10、P，证明：ABP 与ABC 的面积之比大于 的概率为1n。21n思考方法 本题的随机点是 的顶点 P，它等可能的分布在 中，因此，与样本AB:ABC:空间对应的平面区域是 ，注意到 于 有公共边 AB，所以的面积决定于C:顶点 P 离底边 AB 的距离。这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。解 设 与 的面积之比为 ， 的高 CD 为 h， 的高 PG 为 h1，AB:1nCP公共底边 AB 的长为 c， （图 1-4）则412ABPCchSn:1nh过点 P 作 EF/AB,交 CD 于 H,则有立场合所对应的平面区域为 .于是所求概率为CEF:EFCABS:注意到 EF/AB， ,且 C
11、H=h -h1 = h- h=EF:1nh由此，原题得证。21EFCABhsnpS:评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因三角形 ABC 于三角形 ABP 有公共底边 AB，所以，实际变化着的量只有一个(即点 P 于 AB 的距离)，问题还比较简单，对于较复杂的平面区域，常常要根据题设选定两个变量，由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。例 4 在半径为 的圆内随机的取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形边长 的概率l 3等于多少？思考方法 题中没有明确指明等可能值的含义，对“随机地取一条弦”可以有多种理解。如果把它理解为弦与垂直于它的直径之交点的位置是等可能的，有解法一，如
12、果把它理解为弦与某一给定方向之间的夹角是等可能的，有解法二，如果把它理解为在圆内的中点位置是等可能的，有解法三。 T图1-7图1-6图1-5 2/3/3MHGO O OEFA B AE FB A BM解法一 因为弦长只跟它与圆心的距离有关，而与它的方向无关，因此可以假定它垂直于 某一直径。当且仅当它与圆心的距离小于 0.5 时，其长才大于 （图 1-5）故所求概率为3。12p解法二 在圆周上任取一点 A，作圆的切线 AT，则过 A 的圆的任意弦 AB 与 AT 的交角决定弦的位置， 可从 0 变到 ，而弦大于 ，等价于 在 与 之间取值（图 1-3326） ，于是，所求概率为 。21p5解法三
13、 因为弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为 0.5 的同心圆时，其长才大于 （图 1-7） 。由于此小圆面积为 故所求概率为3214p本题是一个著名问题，在概率论中被称为贝特朗奇论。那么，为什么同一个几何概率题会有几种不同的答案呢？细酌三种解法，不难发现，问题出在对等可能值参数没有做出确切的规定， “随机地取一弦”一语，没有明确指出随机性的潜在本质，可以有各种理解，反映了不同的随机事件。解法一求的是“随机点 M 位于线段 GH 上”的概率；解法二求的是“随机点 B 落于圆弧 EF 上”的概率；解法三求的是“ 随机点落在半径为 0.5 的同心圆内的概率。因此，从这意义上讲，相对于每种解释
14、，其计算结果都是正确的。由此表明，我们在制作概率题时，必须对“等可能” 、 “随机” 、 “均匀分布”等术语的含义做出明确的规定，否则会引起“奇论” ；解答几何概率题，必须结合题意，明确题中等可能值参数的真实含义，不然会导致错误的答案。练习 1. 在等腰 RtABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内部任作一条射线 CM，与线段AB 交于点 M，求|AM|02xy xRy把条件（1） 、 （2）所反映的区域，在平面直角坐标系中表示出来， （1）对应的区域 G（）,(2)对应的区域 GA( ).显然，有 L(G)= L(GA)=OEF:LMN:2OGFSR:于是2LMNSR=21()Rp4评注 例
15、 2 表明，在引进变量时，必须斟酌题设情况，选取独立变量。本题如果把三段弧去做三个变量，则解题过程或是变得更加复杂或是难以求解。解题时选取的变量，一般不是唯一的，如例 2 也可以把顶点作为变量。设 A=x，B=y 则样本空间所对应的区域为 有利场合所对应的区域为 同样得解。0xy 22xyx7练习 1.把一根棒任意折成三段，求三小段能构成三角形的概率。 （答案：1/4）2.两人相约 7 时到 8 时在某地会面，先到者等候另一个 20 分钟，这时就可离去，试求这两人会面的概率(答案：5/9)例 3. 任取三条不大于 a 的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概率。思考方法 题设的三条线段互不相干
16、，所以可设置三个独立变量。注意到三条线段构成三角形的充要条件，可推得有立场合的约束条件。由此原题可以解出。解 设三条线段的长分别为 x、y、z，则样本空间是（1）0a有三条线段构成三角形的条件可知，其中的任意两条之和比大于第三条线段，于是，有利场合的可能情形是 （2） 把条件（1） 、 （2）所限制的区域，在空间直角坐xyz标系中表示出来，有如图 2-3 所示。 A4A3A1A2O图2-3zyx其中（1）所对应的区域 G 是正方体 OA4，(2) 所对应的区域 GA 是六面体 OA1A2A3A4， 且有3233a1-a=a2p=AL评注 在上面的三个例子中，例 1 的样本空间所对应的区域是一维
17、的，例 2 的样本空间所对应的区域是二维的，例 3 的样本空间所对应的区域是三维的。这就告诉我们，区域 G 和GA 的维数，一般的为题中独立变量的个数所决定的。例 1 例 3 都是利用通常的几何知识，确定有关区域的测度。对于更为复杂的问题，还常常灵活运用微积分知识，才能求得相应区域的测度。例 4 平面上画着间隔为 d 的平行线，向此平面任意投一长度为 ( NF= M/NPRINT “P” ；FEND例： 利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线 y9 x 2 与 x 轴和 yx 围成的图形) 的面积解析 1 用 EXCEL 实验 设事件 A 为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”(1)利
18、用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间的均匀随机数， x1RAND ，y1RAND；(2)经过伸缩平移变换，x(x1 0.5)*6，yy1*9；（3）统计出试验总次数 n 和满足条件 yx 的点（x,y）的个数 m;（4）计算频率 ,即为概率 P(A)的近视值。mAf设阴影部分的面积为 S，矩形的面积为 9654.由几何概率公式得 P(A) .S5411所以，阴影部分面积的近似值为：S .54N1N解析 2 用 QBASIC 编写程序解答，其程序如下：INPUT “N=”；NI=1M=0DOA1=RND（I ）B1=RND（I ）A=(A10.5)*6 B=B1*9IF AND THEN9
19、2yxyxM=M+1END IFI=I+1LOOP UNTIL INF= M/NS=54*FPRINT “S” ；END我们可以看出，用计算机产生随机数的实验用频率来估算概率，不论使用 EXCEL 还是用QBASIC 其操作步骤还是程序大致是一样的。综上所述，解答几何概率题从本质上看，一般的都可以通过引进适当的随机变量，确定相应的均匀分布函数，利用相关的知识来处理。我们可以看到，几何概率题的解答能培养学生的多种能力，特别是新课程标准中引进了算法编程、空间直角坐标系及空间向量、导数与积分等知识，那么，可以预测，在高考中用积分的方法求解几何概率题是很可能出现的；同时，用程序去描述随机模拟实验，不仅省时、省力，对培养学生的程序化解题思路也是很有帮助的。总之，几何概率题的解法，能考察和培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力，在新课程标准中作为必修内容让学生学习，必然会造就社会主义建设的有用人才。以上是自己对本内容的理解，有不足之处，请专家和同仁批评指正。参考文献 1.概率论 复旦大学编 1981 年版2.高中数学必修 3 人教版3.高中数学必修 3 教师教学用书 人教版汝阳县第一高中 孟臣杰
