1、1第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律21 一个重量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v运动，0v的方向与斜面底边的水平约 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道解答质点在斜上运动的加速度为 a = gsin，方向与初速度方向垂直其运动方程为x = v0t，221sinyatgt将 t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为 20six，这是抛物线方程22 桌上有一质量 M = 1kg 的平板，板上放一质量 m = 2kg 的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为 k = 0.25，静摩擦因素为 s = 0.30求：（1）今以水平
2、力 F拉板，使两者一起以 a = 1ms-2 的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用板对物体的支持大小等于物体的重力：N m = mg = 19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：f m = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力：N M = (m + M)g = 29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：f M = kNM =
3、7.35(N)这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为 a的运动，物体的运动方程为f =smg = ma，可得 a =sg板的运动方程为 F f k(m + M)g = Ma，即 F = f + Ma + k(m + M)g = (s + k)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)因此要将板从物体下面抽出，至少需要 16.17N 的力 23 如图所示：已知 F = 4N，m 1 = 0.3kg，m 2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为 0.2求质量为 m2 的物体的加速度及绳子对它的拉力 （绳子和滑轮质量均不计）解答利用
4、几何关系得两物体的加速度之间的关系为 a2 = 2a1，而力的关系为 T1 = 2T2对两物体列运动方程得T2 - m2g = m2a2，F T1 m1g = m1a1可以解得 m2 的加速度为 21()/a= 4.78(ms-2)，绳对它的拉力为A Bv0P图 2.1NmfmNMfMaNmfNMf f Fam2FT1a1m1T2a2f1f2图 2.32211(/2)/mTFg= 1.35(N)24 两根弹簧的倔强系数分别为 k1 和 k2求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数 k 与 k1 和 k2满足关系关系式 12k；（2）它们并联起来时，总倔强系数 k = k1 + k2解答当力 F
5、将弹簧共拉长 x 时，有 F = kx，其中 k 为总倔强系数两个弹簧分别拉长 x1 和 x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F 2 = k2x2（1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 12，即： k（2）由于弹簧并联，所以 F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k 1 + k225 如图所示，质量为 m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角 ）及线中的张力 T（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度 1a沿水平方向运动；（3）小车
6、自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成 角；（4）用与斜面平行的加速度 1b把小车沿斜面往上推（设 b1 = b） ；（5）以同样大小的加速度 2（b 2 = b） ，将小车从斜面上推下来解答（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为 T = mg（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力由于tan = ma/mg， 所以 = arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力 ：222()magag（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 = ；T = mgcos（4）根据题意作力的矢量图，将竖直
7、虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形， 角的对边是 mbcos，邻边是 mg + mbsin，由此可得：costaninmbg，因此角度为 rtsi；而张力为 2nmbg（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的 b 改为- b 就行了k1 k2 F(a)k1k2F图 2.4(b)图 2.5Tmgma（2）Tmgma（3）Tmgmb（4）Tmgmb（5）326 如图所示：质量为 m =0.10kg 的小球，拴在长度 l =0.5m 的轻绳子的一端，构成一个摆摆动时，与竖直线的最大夹角为 60求：（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？（2）在 60的任一位
8、置时，求小球速度 v 与 的关系式这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在 = 60时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？解答（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即 F = -mgsin，负号表示角度 增加的方向为正方向小球的运动方程为 2dsFmat，其中 s 表示弧长由于 s = R = l，所以速度为vlt，因此 ddvFttl，即 vdv = -glsind， （1）取积分 006sinBg，得 2601col，解得： Bvgl= 2.21(ms-1)由于：2BBTmgmRl，所以 TB = 2mg = 1.96(N)（2
9、）由（1）式积分得 cosCvl，当 = 60 时，v C = 0，所以 C = -lg/2，因此速度为 (2s1)gl切向加速度为 at = gsin；法向加速度为2coCnvR由于 TC mgcos = man，所以张力为 TC = mgcos + man = mg(3cos 1)（3）当 = 60 时，切向加速度为2tag= 8.49(ms-2)，法向加速度为 an = 0，绳子的拉力 T = mg/2 = 0.49(N)注意在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便27 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下 h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）解答小石块在运动中受到重力
10、和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向设切线与竖直方向的夹角为 ，则lmB CO图 2.6lmBCOmgT4F = mgcos小球的运动方程为 2dsmat，s 表示弧长由于svt，所以2ddd()vvttst，因此 vdv = gcosds = gdh，h 表示石下落的高度积分得 21C，当 h = 0 时，v = 0，所以 C = 0，因此速率为 28 质量为 m 的物体，最初静止于 x0，在力 2kfx(k 为常数) 作用下沿直线运动证明物体在 x 处的速度大小 v = 2k(1/x 1/x0)/m1/2证明当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程利用 v = dx/dt，可得2dtx
11、，因此方程变为 2dkmv，积分得1Cx利用初始条件，当 x = x0 时，v = 0，所以 C = -k/x0，因此2kv，即 01()mx 证毕讨论此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解如果 f(x) = -k/xn，则得2nvk（1）当 n = 1 时，可得lxC利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 C = lnx0，因此 201lnxmvk，即 2lkm（2）如果 n1，可得21nkvx利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以h mNmg图 2.7510nkCx，因此 210()nmvx，即 10()nk
12、 当 n = 2 时，即证明了本题的结果29 一质量为 m 的小球以速率 v0 从地面开始竖直向上运动在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为 k求：（1）小球速率随时间的变化关系 v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的时间 T解答（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程 dvfgkt，分离变量得d()mgkvtgk，积分得ln()mtvCk当 t = 0 时，v = v 0，所以 0ln()kv，因此 0/lngmgk，小球速率随时间的变化关系为 0()exp()ktv（2）当小球运动到最高点时 v = 0，所需要的时
13、间为0/lnln(1)mgvTkkmg讨论（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于 v = dx/dt，所以0()exp()dtxtkk，即 /dd()mvgtgtm，积分得 0(/)exp()ktxtCk，当 t = 0 时，x = 0，所以 /vgCk，因此 0(/)1exp()mtmgx tk（2）如果小球以 v0 的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为6dvfmgkt，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为 0()exp()ktvm这个公式可将上面公式中的 g 改为-g 得出由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数 vm = mg/k210
14、 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为 R一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为 k设物体在某时刻经 A 点时速率为 v0，求此后时刻 t 物体的速率以及从 A 点开始所经过的路程解答物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即N = mv2/R物体所受的摩擦力为 f = -kN，负号表示力的方向与速度的方向相反根据牛顿第二定律得 2dkvfmt， 即 ： 2dkvtR积分得：1tCR当 t = 0 时，v = v 0，所以 01v，因此 1kt解得 0/ktR由于 00d(/)1/1kkkvtvtRx，积分得 0ln()ktC，当 t = 0 时，x = x
15、 0，所以 C = 0，因此0ln(1)kkvtRx211 如图所示，一半径为 R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动在环上套有一珠子今逐渐增大圆环的转动角速度 ，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角 表示解答珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtg珠子做圆周运动的半径为 r = Rsin根据向心力公式得 F = mgtg = m2Rsin，可得 2cosmg，解得 2ar(二)力学中的守恒定律212 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动弹力 F = -kx，而位移 x = Acost，其中 k，
16、A 和 都是常数求在 t = 0 到 t = /2的时间间隔内弹力予小球的冲ARv0图 2.10mRrmg图 2.117量解答方法一：利用冲量公式根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcostdt，积分得冲量为 /20(cos)kAt，方法二：利用动量定理小球的速度为 v = dx/dt = -Asint，设小球的质量为 m，其初动量为 p1 = mv1 = 0，末动量为 p2 = mv2 = -mA，小球获得的冲量为 I = p2 p1 = -mA，可以证明 k =m2，因此 I = -kA/213 一个质量 m = 50g，以速率的 v = 20ms-1 作匀速圆周运动的小球，在 1
17、/4 周期内向心力给予小球的冲量等于多少？解答小球动量的大小为 p = mv，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义 21p得： 21，由此可作矢量三角形，可得： 2mv因此向心力给予小球的的冲量大小为 Ip= 1.41(Ns)注意质点向心力大小为 F = mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量 2/4RTmvv假设小球被轻绳拉着以角速度 = v/R 运动，拉力的大小就是向心力F = mv2/R = mv，其分量大小分别为Fx = Fcos = Fcost，Fy = Fsin = Fsint，给小球的冲量大小为dIx = Fxdt = Fco
18、stdt，dIy = Fydt = Fsintdt，积分得 mv，合冲量为 2xyIIv，与前面计算结果相同，但过程要复杂一些214 用棒打击质量 0.3kg，速率等于 20ms-1 的水平飞来的球，球飞到竖直上方 10m的高度求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为 0.02s，求球受到的平均冲力？解答球上升初速度为 2yvgh= 14(ms-1)，其速度的增量为2x= 24.4(ms-1)棒给球冲量为 I = mv = 7.3(Ns)，对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)O xFxm图 2.12mRp1p2p p1mRFxyF FyxOvxvvy8215 如图
19、所示，三个物体 A、B、C，每个质量都为 M，B 和 C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为 0.4m 的细绳，首先放松B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与 A 相连已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定问 A 和 B 起动后，经多长时间 C 也开始运动？ C 开始运动时的速度是多少？（取 g = 10ms-2）解答物体 A 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg T = Ma，物体 B 在没有拉物体 C 之前在拉力 T 作用下做加速运动，加速度大小为 a，可列方程：T = Ma，联立方程可得：a = g/2 = 5(ms-2)根据运动学公式：s = v 0t + at2
20、/2，可得 B 拉 C 之前的运动时间； /sa= 0.4(s)此时 B 的速度大小为：v = at = 2(ms-1)物体 A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动A 和 B 拉动 C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv，因此 C 开始运动的速度为：v = 2v/3 = 1.33(ms -1)216 一炮弹以速率 v0 沿仰角 的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此 45仰角上飞，一块沿 45俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？解答 炮弹在最高点的速度大小为v = v0cos，方向沿水平方向根据动量守恒定律，可知碎片
21、的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得 /2cos45m，所以 v = v/cos45 = 0v217 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为 R设马对雪橇的拉力总是平行于路面雪橇的质量为 m，它与路面的滑动摩擦因数为 k当把雪橇由底端拉上 45圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？解答取弧长增加的方向为正方向，弧位移 ds的大小为ds = Rd重力 G的大小为：G = mg，方向竖直向下，与位移元的夹角为 + ，所做的功元为inmg，积分得重力所做的功为 2(1)R摩擦力 f的大小为：f = kN = kmgcos
22、，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为 cosdkumg，积分得摩擦力所做的功为 4502ink kRgR要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力 G、摩擦力 f和马的拉力 F就是平衡力，即 FGf，C BA图 2.15R45mgN Ffds图 2.17v0vvv459或者 ()FGf拉力的功元为： d(d)Wsfs12(d)W， 拉力所做的功为 12()2kmgR由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功218 一质量为 m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为 r 的圆周运动设质点最初的速率是 v0，当它运动 1 周时，其速率变为 v0/2，求：（1）摩擦力所做的
23、功；（2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？解答 （1）质点的初动能为：E 1 = mv02/2，末动能为：E 2 = mv2/2 = mv02/8，动能的增量为：E k = E2 E1 = -3mv02/8，这就是摩擦力所做的功 W（2）由于 dW = -fds = -kNds = -kmgrd，积分得：0()kmgrgr由于 W = E，可得滑动摩擦因数为 2316kvr（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：a t = f/m = -kg，根据公式 vt2 vo2 = 2ats，可得质点运动的弧长为083krsg，圈数为 n = s/2r = 4/3注意根据用动能定理，摩擦
24、力所做的功等于质点动能的增量：-fs = E k，可得 s = -E k/f，由此也能计算弧长和圈数。219 如图所示，物体 A 的质量 m = 0.5kg，静止于光滑斜面上它与固定在斜面底 B 端的弹簧 M 相距 s = 3m弹簧的倔强系数 k = 400Nm-1斜面倾角为 45求当物体 A 由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？解答取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体 A 和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程 21sinsimgxk，整理和一元二次方程 21iin0kxg，解得 2sin(si)sigkm= 0.24(m
25、)（取正根） 220 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直证明设一个小球碰撞前后的速度大小分别为 v0 和 v1，另一小球的在碰撞后的速度大 = 45ABs = 3m图 2.1910小为 v2，根据机械能守恒得 22201mv，即 ；根据动量守恒得： 012p，其中各动量的大小为：p 0 = mv0、p 1 = mv1 和 p2 = mv2，对矢量式两边同时平方并利用 cosmv得：220112cos，即： 12mvv化简得：2012，结合机械能守恒公式得：2v 1v2cos = 0，由于 v1 和 v2 不为零，所以： = /
26、2，即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直221 如图所示，质量为 1.0kg 的钢球 m1 系在长为 0.8m 的绳的一端，绳的另一端 O固定把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为 5.0kg 的钢块 m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度解答钢球下落后、碰撞前的速率为： 12vgl钢球与钢块碰撞之后的速率分别为 v1和 v1，根据机械能守恒和动量守恒得方程22211mv，整理得221()vv将上式除以下式得：v 1 + v1 = v2，代入整理的下式得 12mm，解得 1()碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为 22111()vhvg2()l= 0.36(m
27、)讨论如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程 222211mvvm，同理可得12vv从而解得122()，或者11()m；将下标 1 和 2 对调得121()vvm，或者122()vv后一公式很好记忆，其中 12v代表质心速度p1p2p0l = 0.8mm2m1 O图 2.2111222 一质量为 m 的物体，从质量为 M 的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为 R，张角为 /2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？（2）在物体从 A 滑到 B 的过程中，物体对槽所做的功 W；（3）物体到达 B 时对槽的
28、压力解答（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得 221gvV，根据动量守恒定律得： 0 = mv + MV因此 22()mRvM221()mv，解得 g， 从而解得： ()gRVM（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量 21RWVm（3）物体在槽底相对于槽的速度为 ()Mvv2()mgR，物体受槽的支持力为 N，则 2gR，因此物体对槽的压力为 2(3)vmgM223 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为 mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是 v0，求两者能达到的最近距离解答 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得4mpv0 - mpv0 = (
29、4mp + mp)v，因此 v = 3v0/5质子和氦核都带正电，带电量分别为 e 和 2e，它们之间的库仑力是保守力根据能量守恒定律得 222p0p0pm11()(5)kr，因此20me8kvvr，所以最近距离为：2p05ke4r224 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆问：（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？（2）求出 t 时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？（3）计算摆球在 角时对悬挂点角动量的变化率解答（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩mMABRvV图 2.22lm图 2.24lmgN12l 不变；由于角动量 L =
30、mvl，所以角动量不守恒（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为 dsinMFlmgt225 证明行星在轨道上运动的总能量为 12GMmEr式中 M 和 m 分别为太阳和行星的质量，r 1 和 r2 分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离证明设行星在近日点和远日点的速度分别为 v1 和 v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为 21GmEvr（1）和 2M （2）它们所组成的系统不受外力矩作用，所以
31、行星的角动量守恒行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2 (3)将（1）式各项同乘以 r12 得：Er 12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)将（2）式各项同乘以 r22 得：Er 22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得：E(r 22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于 r1 不等于 r2，所以：（r 2 + r1)E = -GMm，故 1GM 证毕（三） 刚体定轴转动226 质量为 M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为
32、 R1 和 R2，求对通过其中心轴的转动惯量解答设圆柱体的高为 H，其体积为V = (R22 R12)h，体密度为 = M/V在圆柱体中取一面积为 S = 2RH，厚度为 dr 的薄圆壳，体积元为dV = Sdr = 2rHdr，其质量为dm = dV，绕中心轴的转动惯量为dI = r2dm = 2Hr3dr，总转动惯量为 21()R227 一矩形均匀薄板，边长为 a 和 b，质量为 M，中心 O 取为原点，坐标系 OXYZ如图所示试证明：（1）薄板对 OX 轴的转动惯量为 21OXIMb；r1 r2v1v2R1R2OOH图 2.26aOb XYZ图 2.2713（2）薄板对 OZ 轴的转动惯
33、量为21()OZIMab证明 薄板的面积为 S = ab，质量面密度为 = M/S（1）在板上取一长为 a，宽为 dy 的矩形元，其面积为 dS = ady，其质量为 dm =dS，绕 X 轴的转动惯量为 dIOX = y2dm = ay2dy，积分得薄板对 OX 轴的转动惯量为/2/3/2/1bbOIaa321M同理可得薄板对 OY 轴的转动惯量为 2OYIa（2）方法一：平行轴定理在板上取一长为 b，宽为dx 的矩形元，其面积为 dS = bdx，质量为 dm = dS，绕过质心的 OZ轴的转动惯量等于绕 OX 轴的转动惯量 dIOZ = b2dm/12根据平行轴定理，矩形元对 OZ 轴的
34、转动惯量为dIOZ = x2dm + dIOZ = bx2dx + b2dm/12，积分得薄板对 OZ 轴的转动惯量为/22/ 01aMOZb/232/1axbM21()ab方法二：垂直轴定理在板上取一质量元 dm，绕 OZ 轴的转动惯量为 dIOZ = r2dm由于 r2 = x2 + y2，所以 dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，因此板绕 OZ 轴的转动惯量为 1)OZYOXIab228 一半圆形细杆，半径为 R，质量为 M，求对过细杆二端 AA轴的转动惯量解答半圆的长度为 C = R，质量的线密度为 = M/C在半圆上取一弧元 ds = Rd，其质量为 d
35、m = ds，到 AA轴的距离为 r = Rsin，绕此轴的转动惯量为 dI = r2dm = R3sin2d，半圆绕 AA轴的转动惯量为229 如图所示，在质量为 M，半径为 R 的匀质圆盘 上挖出半径为 r 的两个圆孔圆孔中心在圆盘半径的中点求 剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量解答大圆的面积为 S = R2，质量的面密度为 = M/S大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为 IM = MR2/2小圆的面积为 s = r2，质量为 m = s，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为 IC = mr2/2，根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为Im = IC + m(R/2)2
36、1)4rR221()4rR，aOb XYZ ZOyxrA AR图 2.28OrRr图 2.2914剩余部分的转动惯量为 4221()MmrIIR230 飞轮质量 m = 60kg，半径 R = 0.25m，绕水平中心轴 O 转动，转速为 900rmin-1现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力 F，可使飞轮减速闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算（1）设 F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？（2）若要在 2s 内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力 F？解答设飞轮对闸瓦的支持力为 N，以左端
37、为转动轴，在力矩平衡时有：0.5N 1.25F = 0，所以：N=2.5F = 250(N) 闸瓦对飞轮的压力为;N = N= 250(N)，与飞轮之间摩擦力为：f = N = 100(N)，摩擦力产生的力矩为：M = fR飞轮的转动惯量为：I = mR 2/2，角加速度大小为： = -M/I = -2f/mR = -40/3(rads-2)，负号表示其方向与角速度的方向相反飞轮的初角速度为 0 = 30(rads-1)根据公式 = 0 + t，当 = 0 时，t = - 0/ = 7.07(s)再根据公式 2 = 02 + 2，可得飞轮转过的角度为 = -02/2 = 333(rad)，转过
38、的圈数为 n = /2 = 53r注意圈数等于角度的弧度数除以 2（2）当 t = 2s， = 0/2 时，角加速度为 = -0/2t = -7.5力矩为 M = -I，摩擦力为 f = M/R = -mR/2 = (7.5)2闸瓦对飞轮的压力为 N = f/，需要的制动力为 F = N/2.5 = (7.5)2 = 176.7(N)231 一轻绳绕于 r = 0.2m 的飞轮边缘，以恒力 F = 98N 拉绳，如图（a ）所示已知飞轮的转动惯量 I = 0.5kgm2，轴承无摩擦求（1）飞轮的角加速度（2）绳子拉下 5m 时，飞轮的角速度和动能（3）将重力 P = 98N 的物体挂在绳端，如
39、图（b）所示，再求上面的结果解答（1）恒力的力矩为M = Fr = 19.6(Nm)，对飞轮产生角加速度为 = M/I = 39.2(rads-2)（2）方法一：用运动学公式飞轮转过的角度为 = s/r = 25(rad)，由于飞轮开始静止，根据公式 2 = 2，可得角速度为= 44.27(rads-1)；飞轮的转动动能为 Ek = I2/2 = 490(J)方法二：用动力学定理拉力的功为 W = Fs = 490(J)，根据动能定理，这就是飞轮的转动动能 Ek根据公式 Ek = I2/2，得角速度为/I= 44.27(rads-1)(3)物体的质量为 m = P/g = 10(kg)设绳子的
40、张力为 T，则 P T = ma，Tr = I由于 a = r，可得 Pr = mr2 + I，解得角加速度为2PrI= 21.8(rads-2)绳子的张力为O0.50 F0.75图 2.30F=98N P=98Nm(a) (b)图 2.31152IPTrmI= 54.4(N)张力所做的功为 W = Ts = 272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能 Ek飞轮的角速度为2/kEI= 33(rads-1)232 质量为 m，半径为 R 的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示盘与水平面的摩擦因数为 ，圆盘从初角速度为 0 到停止转动，共转了多少圈？解答圆盘对水平面的压力为 N = mg，压在
41、水平面上的面积为 S = R2，压强为 p = N/S = mg/R2当圆盘滑动时，在盘上取一半径为 r、对应角为 d面积元，其面积为 dS = rddr，对水平面的压力为 dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力为 df = dN = prdrd，其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为 dM = rdf = pr2drd，总力矩为 220RMpr31pRmg圆盘的转动惯量为 I = mR2/2，角加速度大小为 43gI，负号表示其方向与角速度的方向相反根据转动公式 2 = 02 + 2，当圆盘停止下来时 = 0，所以圆盘转过的角度为08Rg，转过的圈数为 20316n注意在圆盘上取一个细
42、圆环，其面积为 ds = 2rdr，这样计算力矩等更简单。233 一个轻质弹簧的倔强系数为 k = 2.0Nm-1它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为 m1 = 80g 的物体相连，如图所示定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为 r = 0.05m，质量为 m = 100g先用手托住物体 m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手求物体 m1 下降 h = 0.5m 时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑解答根据机械能守恒定律可列方程 22111gvIk，其中 I = mr2/2， = v /r，可得2m1gh kh2 = m1v2 + mv2/2，解得 1/ghk=
43、 1.48(ms-1)234 均质圆轮 A 的质量为 M1，半径为 R1，以角速度 绕 OA 杆的 A 端转动，此时，将其放置在另一质量为 M2 的均质圆轮 B 上，B 轮的半径为 R2B 轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动放置后，A 轮的重量由 B 轮支持略去轴承的摩擦与杆 OA 的重量，并设两轮间的摩擦因素为，问自 A 轮放在 B 轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？解答圆轮 A 对 B 的压力为 N = M1g， O AR1R2BR 0O图 2.32m1m1mhr图 2.3316两轮之间的摩擦力大小为 f = N = M1g，摩擦力对 A 的力矩大小为 MA = fR1
44、= M1gR1，摩擦力对 B 的力矩大小为 MB = fR2 = M1gR2，设 A 和 B 的角加速度大小分别为 A 和 B，转动惯量分别为 IA 和 IB，根据转动定理得方程 MA = IAA，即 A = MA/IA同理可得 B = MB/IB当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度 v，A 的角速度为 A = v/R1，B 的角速度为 B = v/R2根据转动运动学的公式得 A = -At， B = Bt，即 v/R1 = -At，v/R 2 = Bt，化得 v - R1 = -AR1t， v = BR2t，将后式减前式得 R1 = (R1A + R2B)t，解得 经过的时间为 21
45、()Mtg注意在此题中，由于 A、B 两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律如果 A 轮的轮面放在 B 轮的轮面之上，且两轮共轴，在求解同样的问题时，既可以用转动定律求解，也可以结合角动量守恒定律求解当它们之间没有滑动时，角动量为 ，根据角动量守恒定律得IA = (IA+IB)，因此得 = IA/(IA + IB)（1）设 R1R 2，那么 A 轮压在 B 轮上的面积为 S = R12，压强为 p = M1g/S = M1g/R12当 A 轮在 B 轮上产生滑动时，在 A 轮上取一半径为 r、对应角为 d面积元，其面积为dS = rddr，对 B 轮的压力为 dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力为 df = dN = prdrd，其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为 dM = rdf = pr2drd，总力矩为 312pR12g这是 A 轮所受的力矩，也是 B 轮所受的力矩根据转动定理得 B 轮的角加速度为 B = M/IB根据转动公式 = Bt，得时间为2211/3MRgR，即 2134()tg（2）如果 R1R 2，那么 A 轮压在 B 轮上的面积为 S = R22，压强为 p = M1g/S = M1g/R22同样在 A 轮上取一面积元，力矩的积分上限就是 R2总力矩为3212，由此求得时间就变为R2 R1ABBR1Ardr172134()M
