1、1第 2 章 质点和质点系动力学2.1 一斜面的倾角为 , 质量为 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角m增大为 时, 求物体从高为 处由静止下滑到底部所需的时间.h解：设斜面摩擦系数为 。当倾角为 时， 1sin0fmgcoN1f求得： tg当斜面倾角为 角时，设物块的下滑加速度为a2cos0Nm2ingfa2ftg求得：sincosagt物体从斜面下滑所需要的时间为：21sinhatcosiinhtg2.2 用力 推地面上的一个质量为 的木箱 ,力的方向沿前下方, 且与水平面f m成 角. 木箱与地面之间的静摩擦系数为 , 动摩擦系数为 . 求：要推动木箱, 0kxy1Nfmgxy2N
2、2fmgh2最小为多少？使木箱作匀速运动, 为多少？证明当 大于某值时, 无论 为f ff何值都不能推动木箱, 并求 值.解：当 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即f0cossinmgf0ifmin0cosingf使木箱做匀速运动，则ssikfgfcoinkf由能推动木箱的条件: 0cossinfmgf00csiffg若 时,上式不可能成立,即不可能推动木箱的条件为:on， 01tg01arctg2.3 质量为 kg 的直升飞机吊起 kg 的物体 , 以 0.6m/s2的加速度上515升, 求：（1）空气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少.解：（1）对飞机物体整
3、体进行受力分析，得fMmga46501.26890N（2）对物体 进行受力分析，得3Tmga4150.65910N2.4 质量为 汽车以速率 高速行驶, 受到 的阻力作用, 为常数. 0v2kvfk当汽车关闭发动机后, 求：（ 1）速率 随时间的变化关系. （2）路程 随时间的变x化关系. （3）证明速率 与路程 之间的函数关系为 （4）若 , vxxmkev002/vms经过 后, 速率降为 , 则 为多少？15s0/tmsk解：由题意， 2dvt两边积分 020tvkm01t即 001vvkkttm（2）由上式两边积分 00xtvddtk即 0lnmtx（3）由（1）中得 ，代入（2）中的
4、结果，得0vkt0lnlnxmkv即 0kxve（4） , , 代入 ，求得2/s15t0/tvs0mvkt430mk2.5 质量为 的质点以初速度 竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与0v质点的速率成正比, 比例系数为 试求：（1）质点运动的速度随时间的变化k规律. （2）质点上升的最大高度.解：（1） dvmgkvtt1()kdkvgdtmgm两边积分 0 0()v t0lnkgktvm即 kget0（2）由（1）中方程得dvydvmgkmttgkykvv两边积分 00(1)yvddm200lngkvkk当 时，有v20max0lnmgvyvk52.6 自动枪以每分钟发射 发子弹的速
5、率连续发射. 每发子弹的质量为 , 120 7.9g出口速率为 . 求射击时枪托对肩部的平均压力 .735/ms解：设肩部所受的平均作用力为 ，由动量定理得FFtv即 31207.951.66mNt2.7 质点在 x 轴上受 x 方向的变力 的作用 随时间的变化关系为：在刚开F始的 内均匀由 增至 ，又在随后的 内保持不变，再经过 从 均0.1s02N0.2s0.1s2N匀地减少到 . 求：（1 ）力随时间变化的 图. （2）这段时间内力的冲量和力t的平均值. （3）如果质点的质量为 , 初始速度为 , 运动方向与力的方向相3kg1/ms同. 当力变为零时, 质点速度为多少？解：（1）由题意得
6、（2）由上图得112020.6I Ns552.15.4Ft （3）由动量定理得0tImv20 0.1 0.3 0.4Ft6即 0631/tImvs2.8 子弹脱离枪口的速度为 , 在枪管内子弹受力为0/ms（SI）, 设子弹到枪口时受力变为零. 求：（1）子弹在枪管中的5401/3Ft运行的时间. （2）该力冲量的大小. （3）子弹的质量.解：（1）由 得54103tFts（2）35100410.6t tIddNs（3）由 得Ftmv3.6210Ikg2.9 自由电子在沿 轴的振荡电场 中运动, 其中 , , x0cosEti 0E为常数. 设电子电量为 , 质量为 , 初始条件为： 时, ,
7、 . em00vixri略去重力和阻力的作用, 求电子的运动方程.解：由 得0cosFeEt0tvdm解得00sinsieEvt两边同乘 积分，dt00sisinexvtdtm 两边积分， tmeEteveEx cossincos2002072.10 质量为 的物体与一劲度系数为 的弹簧连接, 物体可以在水平桌面上mk运动, 摩擦系数为 . 当用一个不变的水平力拉物体, 物体从平衡位置开始运动. 求物体到达最远时, 系统的势能和物体在运动中的最大动能. 解：分析物体水平受力，物体受外力、弹性力以及摩擦力，如图所示物体到达最远时，速度为 0。由动能定理得210Fxkmgx系统的势能为221pFm
8、gEkxk当加速度为零时，动能最大。由 得0x0gxk由动能定理得 220max11kFxvE2maxkgEk2.11 劲度系数为 的弹簧下端竖直悬挂着两个物体, 质量分别为 和 . 当k 1m2整个系统达到平衡后, 突然去掉 . 求 运动的最大速度.21解：未剪断前，弹簧伸长为12mgxkFf8当剪断 和 间连线， 受到 和 得作用向上运动。速度达1m2112kxmg1到最大时，有12gxk选 开始向上运动得位置为重力势能得零点，由能量守恒得1222121max1xmgxvk将 代入式求得:12,x2max1vk2.12 汽车以 的速度直线运行, 车上所载货物与底板之间的摩擦系数30/h为
9、. 当汽车刹车时, 保证货物不发生滑动, 求从刹车开始到汽车静止所走过的250最短路程. 解：货物保持不滑动，即货物相对非惯性系静止.取车运动方向为正方向fma非由相对平衡条件, 0g由 ,则有20vas2014.2vmag2.13 质量为 的小球在一个半径为 的半球型碗的光滑内面以角速度 在水平mr 面内作匀速圆周运动. 求该水平面离碗底的高度. 解：对小球进行受力分析，小球做匀速圆周运动的向心力由 和碗对小球的支mg撑力提供.sinNmgmgNR9cosnmgNt小球所作的圆周运动的半径为 ,则有:cosRr22ngt求得: 2sir小球运动水平面离碗底的高度为:2singh2.14 半径
10、为 的圆盘绕其中心轴在水平面内转动. 质量分别为 和 的小木块r 1m2与圆盘之间的静摩擦系数均为 , 现用一根长为 的绳子rl将它们连接. 试求：（1） 放在圆心, 放在距圆心 处, 1m2l要使物体不发生相对滑动, 圆盘转动的最大角速度 （2）将和 位置互换, 结果如何？（3）两小木块都不放在圆心 , 1m2但联线过圆心, 结果又如何？解：（1）由题意得212maxgl即 12maxl（2） 和 位置互换，得1212maxgl（3）两小木块都不放在圆心, 但联线过圆心,木块所受摩擦力不变，但离心力为两木块之差，即221211gll12l习题 2.14 题图1012max1gll2.15 半
11、径为 的光滑球面的顶点处, 质点以初速度为零开始下滑. 求质点滑到r顶点下什么位置脱离球面.解：当质点刚脱离球面时,球面对质点支持力为 0.2sinmvFgr由能量守恒得21sirv联立求解得sin32.16 求解如下问题：（1）一力 以 的速度匀速提升质量为 的物体, F5/ms10kg在 内力 做功多少？（ 2）若提升速度改为 , 把该物体匀速提升到相同高0sF10度, 力 做功多少？（3 ）前两种情况中, 它们的功率如何？（ 4）若用恒力 将该F物体从静止加速提升到相同高度, 使物体最后的速度为 , 则力 做功多少？平5/s均功率为多大？又开始时和结束时的瞬时功率各为多少？解：（1） 3
12、10510Wmghvt J（2）由于提升高度不变，所以功不变,即 W（3） 501Pt（4）由题意得5vat210hmgN11解得， 20ts2.5mas21WghvJ6.0PWt0Fv512.tmagv217 子弹水平射入一端固定在弹簧上的木块内, 木块可以在水平桌面上滑动, 它们之间的动摩擦系数为 , 由弹簧的压缩距离求出子弹的速度. 设弹簧初始时处20于自然长度, 劲度系数为 , 子弹和木1Nm块的质量分别为 和 , 子弹射入木.kg8.9块后, 弹簧被压缩 . 求子弹的速度. 0c解：设子弹的质量为 ，初速度为 ，木块的质量为 ，由动量守恒得m0vM00vM2 211mgxk由上两式求
13、解得039/vs218 质量为 的小球从某一高度水平抛出, 落在水平桌面上发生弹性碰撞，m并在抛出 后, 跳回到原来高度 , 速度大小和方向与抛出时相同 . 求小球与桌面碰1s撞中, 桌面给小球冲量的大小和方向. 解：由题意，小球碰撞后弹回原高度，即碰撞时，桌面对小球的作用力使小球习题 2.17 题图12竖直方向速度反向，则有：2yyyIFtmvv由题意，小球抛出到与桌面碰撞时间为 ，则碰撞时小球竖直方向的速0.5s度大小为：.yvgt故 20.5Im2.19 炮弹质量为 , 以速率 飞行. 其内部炸药使炮弹分为两块, 并使弹片增v加动能 . 如果两块弹片的质量之比为 , 且仍按原方向飞行. 求它们各自的速率.Tk解：由题意得， 12mk12m解得: ， 12k由动量守恒和能量守恒得12mvv221Tm求解得:212128vTvm2kT12211 12kTvv kTmvvmm
