1、 灰色预测模型 数学建模大讲堂 软件 1407班 马晓璇 2016.4.7 本记安利服用指南： PPT部分：注意 红字 就好，其他略看 理论部分：关键是听懂 原理 ，不要太抠住一个式子了 预测问题：（可用灰色系统分析法） CUMCM2003A SARS的传播 CUMCM2005A 长江水质的评价和预测 CUMCM2006A 出版社的资源配置 CUMCM2007A 中国人口增长预测 MCM2016E 水资源预测 CUMCM2003A SARS的传播 SARS（ Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症 , 俗称：非典型肺炎）是 21世纪第一个在世界
2、范围内传播的传染病。 SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （ 1）对附件 1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 CUMCM2003A SARS的传播 （ 2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5天采取严格的隔离措施，对疫情传播
3、所造成的影响做出估计。附件 2提供的数据供参考。 （ 3）收集 SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件 3提供的数据供参考。 水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。” 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。 2004年 10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线 21个 CUMCM2005A 长江水质的评价和预测
4、重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态 10年内将濒临崩溃”（附件），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件 2）。 附件 3给出了长江沿线 17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上个观测站近一年多的基本数据（站点 距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。 CUMCM2005A 长江水质的评价和预测 一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然
5、净化能力的指标称为降解系数。 事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于 0.10.5之间，比如可以考虑取 0.2 (单位： 1/天 )。附件 4是“ 19952004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标 (GB3838-2002) 给出的 地表水环境质量标准 中 4个主要项目标准限值，其中 、 、 类为可饮用水。 CUMCM2005A 长江水质的评价和预测 CUMCM2005A 长江水质的评价和预测 请你们研究下列问题： （ 1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
6、（ 2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区 ? （ 3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去 10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来 10年的情况。 （ 4）根据你的预测分析，如果未来 10年内每年都要求长江干流的 类和 类水的比例控制在 20%以内，且没有劣 类水 ,那么每年需要处理多少污水？ （ 5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。 灰色系统分析方法 9 灰色预测的概念 ； 灰色生成数列 ； 案例： SARS疫情对某些经济指标影响。 灰色模型 GM； 灰色系统是由 华中科技大学的邓聚龙教授
7、80年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长足的发展。 特点是模型 使用的不是原始数据序列，而是生成数据序列 。 其核心是灰色模型，即 对原始数据作累加生成（或其他方法生成）得到的近似指数规律再进行建模的方法 。 灰色系统研究的是 “ 部分信息明确，部分信息未知 ” 的“ 小样本，贫信息 ”不确定性问题，并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少数据建模”。着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。 灰色系统介绍 1、不需要很多的数据。 一般只需要 4个数据，就能解决 历史数据少、序列的完整性及可靠性低 的问题。 2、能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序
8、列，运算简便，易于检验，不考虑分布规律，不考虑变化趋势。 3、定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 4、能利用微分方程来充分挖掘系统的本质，精准度高。灰色模型的优点 1、只适用于 中短期 预测 2、只适合 指数增长 的预测 灰色模型的缺点 灰色预测的概念： 灰色系统、白色系统和黑色系统 白色系统 是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。 黑色系统 是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统 内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。 定义： 系统 作为一个包含若干相互关联、
9、 相互制约的任意种类元素组成的具有某种 特定功能的整体。 系统内部存在有 物质流、信息流、能量流 。 系统 （根据信息明确程度） 黑色系统 （信息毫无所知 或知之甚少） 灰色系统 （既含有已知信息 又有未知信息） 白色系统 （信息完全明确） 灰色预测法是一种对含有 不确定 因素的系统进行预测的方法。 灰色预测是对 既含有已知信息又含有不确定信息 的系统进行预测，就是对 在一定范围内变化的、与时间有关的 灰色过程进行预测。 灰色预测通过 鉴别系统因素之间发展趋势的 相异程度 ，即进行关联分析，并 对原始数据进行生成处理 来寻找系统变动的规律， 生成有 较强规律性 的数据序列 ,然后 建立相应的
10、微分方程 模型 ，从而预测事物未来发展趋势的状况。 灰色预测法用 等时距 观测到的 反映预测对象特征的一系列 数量值 构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量 ，或达到某一 特征量的 时间 。 灰色预测法：与 时间 密切相关！很好理解 灰色预测的四种常见类型 灰色时间序列预测 ：即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。（常见） 畸变预测 ：即通过灰色模型预测 异常值 出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 系统预测 ：通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中 众多变量 间的 相互协调 关系的
11、变化。 拓扑预测 ：将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的 时点 。 公理 1、 差异 信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理 2、解的 非唯一 性原理。信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。 公理 3、 最少 信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。 公理 4、认知根据原理。信息是认知的根据。 公理 5、 新信息 优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理 6、 灰性不灭 原理。“信息不完全”是绝对的。 灰色系统的基本原理 灰色系
12、统的描述： 灰色系统用 灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度 等综合描述，其中 灰数 是灰色系统的 基本单元 。 只知道大概范围而不知道其确切值的数称为 灰数 （只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数） ，通常记为：“ ”。 例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。 灰数及其运算 例如：“某人的身高约为 170cm、体重大致为 60kg”，这里的“（约为） 170（ cm）”、“ 60”都是灰数，分别记为 、 。又如，“那女孩身高在 157160cm之间”，则关于身高的灰数 。 记为灰数的白化默认数，简称 白
13、化数 。在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。如代购一件价格为 100元左右的衣服， 100可作为预购衣服价格的白化值。 灰数有 离散灰数 （ 属于离散集）和 连续灰数（ 属于某一区间）。 160,157)( h170 60灰色代数方程 含有灰色系数的代数方程 如： 灰色微分方程 为含有灰色导数或灰色微分的方程，如 灰色矩阵 行列数确知而含有灰元的矩阵 若在 A的 m*n个元素中，有 N个灰色元素，则可以用 d表示这一矩阵的 灰色度 03 x 0322 xx)()( tbxadt tdx nmNd灰色生成数列 灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有
14、整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过 对原始数据的整理 来 寻求其变化规律 的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性 。数据生成的常用方式有 累加生成 、 累减生成 和 加权累加 生成。 灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化的现实规律的途径，简称 灰生成 。 灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与性质。一切灰色序列都能通过某种生成 弱化其随机性，显现其规律性 。 灰生成的作用 1.统一 序列的目标性质，为灰决策提供基
15、础。 2.将摆动序列 转换 为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态， 变 不可比为可比序列。 灰生成技术 常见的几种灰生成类型： 1. 累加生成算子（ AGO） 2. 逆 累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（ MEAN） 4. 级比生成算子 1. 累加生成算子 （ AGO） 定义 它是对原序列中的数据 依次累加 以得到生成序列。令 为原序列 (0)x ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 , 2 , ,X x x x n我们说 是 的 AGO序列 ，并记为 (1)X (0)X( 1 ) ( 0 ) X A G O X当且仅当 ( 1 ) ( 1
16、) ( 1 ) ( 1 )1 , 2 , ,X x x x n并满足 ( 1 ) ( 0 )1( ) ( )kmx k x m ( 1 , 2 , , )kn例 1 摆动序列为： ( 0 ) 1 , 2 , 1 . 5 , 3X 通过 AGO可以加工成单调增序列： ( 0 ) ( 1 ) ( 1 , 3 , 4 . 5 , 7 . 5 )A G O X X0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 50123456789100 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5012345678910(0)X (1)X累加生成 把
17、数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生 成过程（ AGO ）。由累加生成过程所得的数列称为 累加生成数列 。设原始数列为 ， 令 称所得到的新数列为数列 的 1次累加生成数列 。类似 地有 称为 的 r次累加生成数列 。 )(,),2(),1( )0()0()0()0( nxxxx ,2,1,)()(1)0()1( nkixkxki )(,),2(),1( )1()1()1()1( nxxxx )0(x1,2,1,)()(1)1()( rnkixkxkirr )0(x累加生成计算示例 例： x (0)=(x (0) (k) k=1， 2， 3， 4， 5) =x(0)(1)， x(0)(
18、2)， x(0)(3)， x(0)(4)， x(0)(5) =(3.2， 3.3， 3.4， 3.6， 3.8) 求 x(1)(k) 解： 21)0()0()0()1()0()1(5.63.32.3)2()1()()2(,22.3)1()1(,1ixxixxkxxk51)0()1()0()1()0()1(41)0()1()0()1(31)0()1(3.178.35.13)5()4()()5(,55.136.39.9)4()3()()4(,49.94.35.6)3()2()()3(,3iiixxixxkxxixxkxxixxk累加生成的特点 一般经济数列都是非负数列。累加生成 能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转 化为非减的、递增的。 原始数列作图 1 AGO作图 某市的汽车销售量 递增的规律 原始数列作图 1AGO作图 有明显的指数关系的规律 某钢厂产量 某地区作物产量 s型变化规律
