1、容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。,容斥问题(一),画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！,这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的事物的总数= Na+NbNab,Na,Nb,Nab,例1、一个班有55名学生，订阅小学生数学报的有12人，订阅今日少年报的有9人，两种报纸都订阅的有5人。(1)订阅报纸的总人数是多少？(2)两种报纸都没订阅的有多少人？,经典题型,(1)根据容斥原理，能很快算出订阅报纸的总人数。 订报总数=小数+今日-
2、两种都订的人数 订报总数=12+9-5=16 人,总人数55人,订阅小学生数学报的有12人,订阅今日少年报的有9人,两种报纸都订阅的有5人。,总人数55人,单订阅小学生数学报的有12-5=7人,单订阅今日少年报的有9-5=4人,一种都没订的55-7-5-4=39人。,两种 都订的 5人。,(2)两种报纸都没有订的人数：一种未订人数=55-16=39人,首先， 根据已知条件画圈框图。,例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？,经典题型,分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。,依题意，画圈框图。,总人数62人,会弹钢琴的有11人
3、,会吹竖笛的56人,两样都不会的4人。,会两样 ?人,依图可知，会弹钢琴+会竖笛=11+56=67人， 67 总人数62人,因为两样都会的人重复计数了， 超出的人数就是两样都会的人数吗？会两样的是 67-62=5人 吗？,为什么呢？,你又错了,只会钢琴 + 只会竖笛 + 会两样 + 两样都不会=总人数62, 会两样的=会钢琴+会竖笛+两样都不会-总人数=11+56+4-62=9 人,会钢琴 + 会竖笛 - 会两样 + 两样都不会=总人数62,例3、在1-1000的全部自然数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的数有多少个？,经典题型,依题意，画圈框图。,总1-1000的自然数,5的倍数 有多少,既
4、不是5的倍数，也不是7的倍数？。,5和7的 公倍数,分析搞清类别关系，是解决数学问题的不二法门。,(1)求5的倍数的数量： 10005= 200,(4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314,7的倍数 有多少,(2)求7的倍数的数量： 10007 = 142.6,(3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 100035 = 28.20,总1-1000的自然数,5的倍数 有200,既不是5的倍数，也不是7的倍数。,5和7的 公倍数 28,7的倍数 有142,(5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686,例4、艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的
5、图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？,经典题型,注意，这种复杂关系的题目还是要先画图。,总1-1000的自然数,五年级,一、二、三、四年级,六年级,题目已知数量： (1) 23幅不是五年级的 说明，这23幅是一二三四、六的,(2) 21幅不是六年级的 说明，这21幅是一二三四、五的,(3) 23+21=44 就应该是： 一个 五年级的 + 一个 六年级 + 两个 一二三四的,(4) 又已知五、六年级参展的画共有8幅 44-8=36 就是两个 一二三四的 其他年级数量= 362=18 (幅),1.四(2)班有50名
6、学生，放学前每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？,练 习,25人,2、一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？,练 习,10人,3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖。两项比赛都没获奖的有多少人？,练 习,27人,4、将边长分别为4cm和5cm的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上，已知重叠部分为9平方厘米。两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？,练 习,32平方厘米,5、四(1)班有
7、40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19人两个小组都参加了。那么有多少人两个小组都没有参加？,练 习,11人,6、在一次数学测验中，所有同学都答了第一、二两题，其中答对第一题的有35人，答对第二题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？,练 习,43人,7、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？,练 习,103人,8、某班上体育课，全班排成4路纵队(每路纵队的人数相等)。小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生？,练 习,48名,9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成了多少段？,练 习,18段,10、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？,练 习,89件,
