1、,3.3二元一次不等式(组)与平面区域及简单的线性规划,第一讲 二元一次不等式表示平面区域,简单的线性规划,“简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题.,简单的线性规划,中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，
2、为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。,一、引例：,某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？,在关数据列表如下：,设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y,利润,何时达到最大？,二元一次不等式表示的平面区域,在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的
3、解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-1=0是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-10的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-10是 什么图形?,探索结论,结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c0表示的是另一侧的平面区域。,x+y-10,x+y-10,判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法,x+y-10,x+y-10,由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧
4、取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c0时常把原点作为此特殊点,二元一次不等式表示平面区域,例1 画出不等式2x+y-60表示的平面区域。,注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界,2x+y-6=0,练习1：,画出下列不等式所表示的平面区域：,3x4y120,-3,4,二元一次不等式表示平面区域,例2 画出不等式组表示的平面区域。,x-y+5=0,x+y=0,x=3,二元一次不等式表示平面区域,练习: 画出不等式组表示的平面区域。,(1),例3：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：,(2),
5、(3),二元一次不等式表示平面区域小结,由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c0时常把原点作为此特殊点,2、画图时应力求准确，否则将得不到正确结果。,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，否则应画成实线。,应该注意的几个问题：,二元一次不等式表示平面区域,作业：P93 习题 3.3 1,简单的线性规划,第二讲 线性规划,可行域上的最优解,复习判断二元一次
6、不等式表示哪一侧平面区域的方法,x+y-10,x+y-10,由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c0时常把原点作为此特殊点,复习回顾,1.在同一坐标系上作出下列直线:,2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,x,Y,o,2.作出下列不等式组的所表示的平面区域,y,问题1：x 有无最大（小）值？,问题2：y 有无最大（小）值？
7、,问题3：2x+y 有无最大（小）值？,二.提出问题,把上面两个问题综合起来:,设z=2x+y,求满足,时,z的最大值和最小值.,y,直线L越往右平移,t随之增大.,以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.,线性规划,问题： 设z=2x+y，式中变量满足 下列条件：求z的最大值与最小值。,目标函数 （线性目标函数）,线性约 束条件,任何一个满足不等式组的（x,y）,可行解,可行域,所有的,最优解,线性规划问题,线性规划,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行
8、解；,可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,2x+y=3,2x+y=12,(1,1),(5,2),线性规划,练习1: 解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件：,解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。,探索结论,2x+y=0,2x+y=-3,2x+y=3,答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.,当x=2,y=-1时，z=2x+y
9、有最大值3.,线性规划,例2 解下列线性规划问题：求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：,探索结论,x+3y=0,300x+900y=0,300x+900y=112500,答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.,当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.,练习2、已知求z=3x+5y的最大值和最小值。,5,5,1,O,x,y,1,-1,5x+3y=15,X-5y=3,y=x+1,A(-2,-1),B(3/2,5/2),解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有
10、公共点且纵截距最大或最小的直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,小 结,几个结论：,1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 在y轴上的截距或其相反数。,练习3 解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：,探索结论,答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。,线性规划 作业,线性规划 作业,练习4 解下列线性规划问题：求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：,探索结论,3x+
11、y=0,3x+y=29,答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.,简单的线性规划,第三讲 线性规划的实际应用,解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,一.复习回顾,使z=2x+y取得最大值的可行解 ， 且最大值为 ；,复习,1.已知二元一次不等式组,（1）画出不等式组所表示的平面区域；,满足 的解(x,y)都叫做可行解；,z=2x+y 叫做 ；,（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的
12、二元一次不等式组叫做x,y的 ；,y=-1,x-y=0,x+y=1,2x+y=0,(-1,-1),(2,-1),3,使z=2x+y取得最小值的可行解 ， 且最小值为 ； 这两个可行解都叫做问题的 。,练习,变式z=-3x+2y,线性规划的实际应用,例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?,纺纱厂的效益问
13、题,线性规划的实际应用,解线性规划应用问题的一般步骤：1、理清题意，列出表格；2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；3、准确作图；4、根据题设精度计算。,线性规划的实际应用,例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?,纺纱厂的效益问题,线性规划的实际应用,解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x
14、吨、y吨，利润总额为z元，则,Z=600x+900y,作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。,解方程组,得点M的坐标,x=350/3117,y=200/367,答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。,线性规划的实际应用,例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使
15、总运费最少?,煤矿调运方案问题,线性规划的实际应用,例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?,煤矿调运方案问题,线性规划的实际应用,解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：目标函数为: z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)=780-0.5x-0.8y
16、(万元),煤矿调运方案问题,答案：当 x=0,y=280时，即甲煤矿运往东车站0吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站280吨，西车站20吨.总运费最少 556万元。,线性规划的应用,已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。,解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)=(m+n)a+(m-2n)bm+n=1，m-2n=3m=5/3 ，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b) -1a+b1，1a-2 b3 -11/3a+3 b1,解法2：-1a+b1，1a-2 b3 -22a+2 b2，-32 b-a-1 -1/3a5/3-4/3b0-13/3a+3 b5/3,想一想,线性规划的应用,已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。,想一想,解法3 约束条件为：,目标函数为：z=a+3b,由图形知：-11/3z1 即 -11/3a+3 b1,线性规划的实际应用小结,解线性规划应用问题的一般步骤：1、理清题意，列出表格；2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；3、准确作图；4、根据题设精度计算。,线性规划的应用,作业： P91 练习2 P93 习题 3.3 A组4B组3,
