1、7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 . (2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都 ，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的 即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0
2、哪一侧的平面区域.,1.二元一次不等式表示的平面区域,知识梳理,平面区域,不包括,实线,包括,符号,相同,2.线性规划相关概念,一次,最大值,最小值,一次,线性约束条件,可行解,最大值,最小值,最大值,最小值,画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.,3.重要结论,1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方； (2)当B(A
3、xByC)0时，区域为直线AxByC0的下方. 2.最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.( ) (2)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.( ) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.( ),(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.(
4、 ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的.( ) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( ) (7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.( ),1.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是 A.(0,0) B.(1,1) C.(1,3) D.(2，3),考点自测,答案,解析,答案,解析,A.0 B.3 C.4 D.5,答案,解析,几何画板展示,答案,解析,0,几何画板展示,5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.
5、现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产 A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).,答案,解析,用表格列出各数据,所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.,题型分类 深度剖析,例1 (1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的,题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域,命题点1 不含参数的平面区域问题,答案,解析,答案,解析,命题点2 含参数的平面区域问题,答案,解析,又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.,答案,解析,几何画板展示,不等式组
6、表示的平面区域如图所示.,思维升华,(1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.,答案,解析,几何画板展示,由图可知，当m1时， 函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件， 故m的最大值为1.,A.1 B.1 C.0 D.2,答案,解析,题型二 求目标函
7、数的最值问题,命题点1 求线性目标函数的最值,答案,解析,命题点2 求非线性目标函数的最值,解答,几何画板展示,如图中阴影部分所示.,z的取值范围是2，).,(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.,解答,zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.,z的取值范围是1,5.,引申探究,解答,2.若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值.,解答,命题点3 求参数值或取值范围,5,答案,解析,显然，当m2时，不等式组表示的平面区域是空集； 当m2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A(1,1).此时zmin11
8、01. 显然都不符合题意.,平面区域为一个三角形区域，,由图可知，当直线yxz经过点C时，z取得最小值，,答案,解析,作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).,思维升华,(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，,(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.,答案,解析,A.2 B.1 C.1 D.2,对于选项A，当m2时，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确； 对于选项B，当m1时，mxy0等同于xy0，可行域如图，直线y2xz的截
9、距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；,对于选项C，当m1时，可行域如图，当直线y2xz过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确； 对于选项D，当m2时，可行域如图，直线y2xz与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确.,答案,解析,题型三 线性规划的实际应用问题,例6 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元. (1)试用每天生产的卫兵个
10、数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；,解答,(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？,解答,目标函数为2x3y300， 作出可行域，如图所示， 作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，,最优解为A(50,50)，此时max550元. 故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.,思维升华,解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系. (2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数
11、. (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解). (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验：根据结果，检验反馈.,跟踪训练3 某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？,解答,设生产A型电视机x台，B型电视机y台，,线性目标函数为z6x4y.,根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，
12、,作直线l0：3x2y0，当直线l0平移至点A时，z取最大值，,所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大.,含参数的线性规划问题,现场纠错系列8,(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答. (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.,错解展示,典例 (1)在直角坐标系xOy中，若不等式组 表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_. (2)已知x，y满足约束条件 若zaxy的最大值为4，则a_.,现场纠错,纠错心得,解析 (1)如图，直线yk(x1)1过点(1，1)，作出直线y2x，当k2时，不等式组表示一个三角形区域.
13、 (2)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点A(1,1)处取到最大值4， a14，a3. 答案 (1)(，1)(0,2)(2，) (2)3,返回,解析 (1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域.,(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.,zaxy等价于yaxz， 因为z的最大值为4，,即直线yaxz的纵截距最大为4. 若zaxy在A(1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2， 故只有直线yaxz过点(2,0)且a0时符合题意， 4a20，即a2. 答案 (1)(，1)
14、 (2)2,返回,课时作业,1.若点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是 A.m1 B.m1 C.m1,答案,解析,由2m350，得m1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.直线2xy100与不等式组 表示的平面区域的公共点有,答案,解析,A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分). 直线2xy100恰过点A(5,0)，且其
15、斜率k2kAB ， 即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,求A，B两点的坐标分别为 和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0a1或a,不等式组 表示的平面区域如图(阴影部分)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.(2016天津)设变量x，y满足约束条件 则目标函数z2x5y的最小值为,答案,解析,A.4 B.6 C.10 D.17,1,2,3,4,
16、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由约束条件作出可行域如图所示，,平移该直线，易知经过点A时z最小. 又知点A的坐标为(3,0)， zmin23506.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.设x，y满足约束条件 则z2xy的最大值为,答案,解析,A.10 B.8 C.3 D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,画出可行域如图所示.,由z2xy，得y2xz，欲求z的最大值， 可将直线y2x向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距z最小时， 即得z的最大值，如图，可知当过点A时z
17、最大，,即A(5,2)，则zmax2528.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,7.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元 D.3 100元,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
18、,15,设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶， 则根据题意得x、y满足的约束条件为,设获利z元， 则z300x400y. 画出可行域如图.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,画出直线l：300x400y0， 即3x4y0. 平移直线l，从图中可知，当直线过点M时， 目标函数取得最大值.,即M的坐标为(4,4)， zmax300440042 800(元).故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A.2 B.2 C.1 D.1,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,作出不等
19、式组对应的平面区域如图，,由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,作出可行域，如图所示， 则目标函数zx2y在点(1,0)处取得最大值1， 在点(1,1)处取得最小值3， a1，b3， 从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同实数解.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,令f(x)x2kx1，,10.若关于x，y的不等式组 表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为
20、_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,直线kxy10过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kxy10垂直于y轴(如图(1)或与直线xy0垂直(如图(2)时才符合题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知变量x，y满足约束条件 若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3,11,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
21、,15,设z ，则z的几何意义为动点P(x，y)到定点D(1，1)的斜率.画出可行域如图阴影部分所示，则易得zkDA，kDB，易得z1,5， z12z3,11.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14. 已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示. (1)写出表示区域D的不等式组；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的
22、异侧，求a的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z1 600x2 400y. 由题意，得x，y满足约束条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6).,由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上的截距 最小，即z取得最小值. 故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.,本课结束,更多精彩内容请登录：,
