1、* 郑平正 制作1.1回归分析的基本思想及其初步应用高二数学 选修 1-2比 数学 3 中 “回归 ”增加的内容数学 统计1. 画散点图2. 了解最小二乘法的思想3. 求回归直线方程y bx a4. 用回归直线方程解决应用问题选修 2-3 统计案例5. 引入线性回归模型y bx a e6. 了解模型中随机误差项 e产生的原因7. 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系8. 了解残差图的作用9. 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10. 正确理解分析方法与结果问题 1： 正方形的面积 y与正方形的边长 x之间的 函数关系 是y = x2 确定性关系问题 2： 某水田水稻产量 y与施肥
2、量 x之间是否 -有一个确定性的关系？例如： 在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455复习、变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做 相关关系 。1、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫 回归分析 。2）：2、 现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；产品的成本与生产数量
3、；商品的销售额与广告费；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等家庭的支出与收入。等等回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是 利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量 。回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。其主要内容和步骤是：首先根据理论和对问题的分析判断， 将变量分为自变量和因变量 ；其次，设法 找出合适的数学方程式（即回归模型） 描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要 对回归模型进行统计检验 ；最小二乘法：称为样本点的中心 即样本中心点。3、对两个变量进行的线性分析叫做 线性回归分析 。2、回归直线方程：2.相应的直线叫做 回归直线 。1、
4、所求直线方程 叫做 回归直 -线方程 ；其中相关系数v 1.计算公式v2相关系数的性质v(1)|r|1 v(2)|r|越接近于 1，相关程度越大； |r|越接近于 0，相关程度越小v问题：达到怎样程度， x、 y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？正相关 负相关相关系数正相关；负相关通常， r -1,-0.75-负相关很强 ; r 0.75,1 正相关很强 ; r -0.75,-0.3-负相关一般 ; r 0.3, 0.75 正相关一般 ; r -0.25, 0.25-相关性较弱 ; 例 1 从某大学中随机选取 8名女大学生，其身高和体重数据如表 1-1所示。编号 1 2 3 4 5 6 7 8
5、身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例 1：女大学生的身高与体重解： 1、选取身高为自变量 x，体重为因变量 y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量2.回归方程：1. 散点图；例 1 从某大学中随机选取 8名女大学生，其身高和体重数据如表 1-1所示。编号 1 2 3
6、4 5 6 7 8身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例 1：女大学生的身高与体重解： 1、选取身高为自变量 x，体重为因变量 y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。探究：身高为 172cm的女大学生的体重一定是 60.316k
7、g吗？如果不是，你能解析一下原因吗？我们可以用下面的 线性回归模型 来表示：y=bx+a+e， 其中 a和 b为模型的未知参数， e称为随机误差。思考 :产生随机误差项 e的原因是什么？随机误差 e的来源 (可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 y 的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型： 可以提供选择模型的准则显然， R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线
8、性回归模型中， R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近 1，表示回归的效果越好（因为 R2越接近 1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强） 。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较 R2的值来做出选择，即选取 R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数 R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它 代表自变量刻画预报变量的能力 。我们可以用 相关指数 R2来刻画回归的效果，其计算公式是1354总计0.36128.361残差变量0.64225.639随机误差比例平方和来源表 1-3从表 3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了 64%，
9、即 R2 0.64，可以叙述为“身高解析了 64%的体重变化 ”，而随机误差贡献了剩余的 36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。我们可以用 相关指数 R2来刻画回归的效果，其计算公式是表 3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据， 这方面的分析工作称为残差分析 。编号 1 2 3 4 5 6 7 8身高/cm165 165 157 170 175 165 155
10、 170体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为 残差图 。*残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域 ； 对于远离横轴的点，要特别注意 。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题几点说明：第一个样本点和第 6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的
11、错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样本决定系数（判定系数 R2 ）1.相关指数2. 反映回归直线的拟合程度反映回归直线的拟合程度3. 取值范围在取值范围在 0 , 1 之间之间4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；，说明回归方程拟合的越好； R20，说明回归方程拟合的越差，说明回归方程拟合的越差5. 判定系数等于相关系数的平方，即判定系数等于相关系数的平方，即 R2 (r
12、)2例 2、在一段时间内，某中商品的价格 x元和需求量 Y件之间的一组数据为：求出 Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格 x 14 16 18 20 22需求量 Y 12 10 7 5 3解：练习、在一段时间内，某中商品的价格 x元和需求量 Y件之间的一组数据为：求出 Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格 x 14 16 18 20 22需求量 Y 12 10 7 5 3列出残差表为0.994 因而，拟合效果较好。0 0.3 -0.4 -0.1 0.24.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4例 2： 一只红铃虫的产卵数 y与温度 x有关 ,现收集了 7组观测数据 ,试建
13、立 y与 x之间的回归方程解 :1)作散点图 ;从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。解 : 令则 z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出 x与 z 的散点图 x和 z之间的关系可以用线性回归模型来拟合x 21 23 25 27 29 32 35z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.19 4.745 5.7842) 用 y=c3x2+c4 模型 ,令 ,则 y=c3t+c4 ,列出变换后数据表并画出 t与 y 的散点图 散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归
14、模型拟合他们的效果不是最好的。t 441 529 625 729 841 1024 1225y 7 11 21 24 66 115 325残 差 表编号 1 2 3 4 5 6 7x 21 23 25 27 29 32 35y 7 11 21 24 66 115 325e(1) 0.52 -0.167 1.76 -9.149 8.889 -14.153 32.928e(2) 47.7 19.397 -5.835 -41.003 -40.107 -58.268 77.965非线性回归方程二次回归方程残差公式在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题： 对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数据。现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。 这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。小结
