1、平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文 )(2011广西六校联考、北京石景山检测)已知 O 是ABC所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2 0，那么( )OA OB OC A. B. 2AO OD AO OD C. 3 D2 AO OD AO OD 答案 A解析 2 ，OB OC OD 2 2 0， .OA OD AO OD (理)(2012 珠海调研 )已知ABC 及其平面内点 M 满足 0，若存在实数 m 使得 m 成立，则 mMA MB MC AB AC AM 等于( )A2 B3 C4 D5答案 B解析 解法 1：由已知条件 .MB MC MA 如图，延长 AM 交 BC
2、于 D 点，则 D 为 BC 的中点延 长 BM 交AC 于 E，延 长 CM 交 AB 于 F，则 E、F 分别为 AC、AB 的中点，即 M为ABC 的重心 ( )，即 3 ，则 m3.AM 23AD 13AB AC AB AC AM 解法 2： 2 mAB AC MB MA MC MA MB MC MA ， (m2) ，AM MB MC AM 0，(m2) ，m3.MA MB MC AM AM 2(2011广东江门市模拟) 若四边形 ABCD 满足 0，(AB CD ) 0，则该四边形一定是 ( )AB AD AC A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形答案 B解析 由 0 知， ，AB C
3、D AB DC 即 ABCD，AB CD.四边形 ABCD 是平行四边形又( ) 0， 0，即 ACBD，AB AD AC DB AC 因此四边形 ABCD 是菱形，故选 B.3(文 )如图所示，在ABC 中， ， 3 ，若BD 12DC AE ED a， b，则 等于( )AB AC BE A. a b13 13B a b12 14C. a b12 14D a b13 13答案 B解析 3 ， ，AE ED ED 14AD ， ，BD 12DC BD 13BC ( )BE BD ED BD 14AD BD 14AB BD 34BD 14AB 14BC 14AB b a.14AC 12AB 1
4、4 12(理) 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 a， b，则AC BD ( )AF A. a b B. a b14 12 13 23C. a b D. a b12 14 23 13答案 D解析 由条件易知， ，DF 13DC a a (ba) a b.故选 D.AF AC CF 23CD 13 23 134(2011广东文 )已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(a b) c，则 ( )A. B.14 12C 1 D2答案 B解析 a b(1,2)(1,0)(1 ，2)，因为(ab
5、) c，所以44 6 0，所以 .125(文 )(2011惠州模拟 )在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2 ， ，则 的值为( )AD DB CD CA CB A1 B.12C 2 D.13答案 C解析 CD CA AD CA 23AB ( ) ，CA 23CB CA 13CA 23CB ， ， 2.13 23 (理)(2011 厦门模拟 )已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O， x ，则 x 的值为( )OM OA 12OB 13OC A0 B.13C. D.12 16答案 D解析 x 1，x .12 13 166设 e 1， e 2，若 e1 与 e2 不共线
6、，且点 P 在线段 ABOA OB 上，| AP|PB|4，如图所示，则 ( )OP A. e1 e215 25B. e1 e225 15C. e1 e215 45D. e1 e225 15答案 C解析 4 ， 5 ，AP PB AB AP PB PB OP OB BP OB 15AB ( ) e1 e2.OB 15OB OA 45OB 15OA 15 457(文 )(2011山东济南市调研) 如图，在ABC 中， ，P 是 BNAN 13NC 上的一点，若 m ，则实数 m 的值为_AP AB 211AC 答案 311解析 (如图)因为 AP AB BP k k ( )AB BN AB AN
7、 AB k( )AB 14AC AB (1 k) ，AB k4AC 所以 1k m，且 ，k4 211解得 k ，m .811 311(理)(2011 聊城模拟 )在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边CD 和 BC 的中点，若 ，其中， ，R，则AC AE AF _.答案 43解析 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，且 E、F 分别为 CD、BC 中点 AC AD AB ( )( )AE DE AF BF ( ) ( )( ) ，AE AF 12DC BC AE AF 12AC ( )，AC 23AE AF ， .23 438(文 )(2011合肥模拟 )在平面直角坐标系中，O
8、 为坐标原点，A、B、C 三点满足 ，则 _.OC 23OA 13OB |AC |AB |答案 13解析 ， 1，OC 23OA 13OB 23 13A、B、C 三点共 线， ，AC OC OA 13OB 13OA 13AB .|AC |AB | 13(理)(2012 四川文 )设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是 ( )a|a| b|b|A|a |b| 且 a b BabC a b Da2b答案 D解析 对 于 A，|a|b|，且 ab，可知 a 与 b 共线，若反向，则不能满足结论 ，对于 B 选项，两向量反向，而 C 选项 ab，同样若a|a| b|b|反向不能
9、满足而 D 项显然满足，故选 D.点评 注意到 是与 a 同向的单位向量， 是与 b 同向的单位a|a| b|b|向量，故 a 与 b 同向a|a| b|b|9(2012东北三省四市联考) 在ABC 中，AB2AC 2， AB 1，若 x 1 x 2 (O 是ABC 的外心)，则 x1x 2 的值AC AO AB AC 为_答案 136解析 O 为 ABC 的外心， x1 x2 ， x 1 x 2 ，由向量数量积的几AO AB AC AO AB AB AB AC AB 何意义， | |22， 4x1x 22，AO AB 12AB 又 x1 x 2 ，x 1x 2 ，AO AC AB AC AC
10、 AC 12联立，解得 x1 ，x2 ，x1x 2 .56 43 13610(文) 如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC、BC的中点，已知 c ， d，试用 c、d 表示 、 .AM AN AB AD 解析 解法一： c ，AD AM DM 12AB d ，AB AN BN 12AD 由得 (2d c)，AB 23 (2c d)AD 23解法二：设 a， b，因为 M、N 分别为 CD、BC 的中点，所AB AD 以 b， a，于是有：BN 12 DM 12Error!解得 Error!即 (2dc )， (2cd)AB 23 AD 23(理) 如图，在ABC 中，AM AB
11、13 ，AN AC14 ，BN与 CM 交于 P 点，且 a， b，用 a，b 表示 .AB AC AP 分析 由已知条件可求 、 ，BN 与 CM 相交于点AM AN P，B、P、N 共线，C、P、M 共线，因此，可以设 ， ，利用同一向量的两种 a，b 的线性表示及 a、bPN BN PM CM 不共线求解；也可以设 ，用 a、b， 来表示 与 ，利用BP BN CP CM 与 共线及 a、b 不共线求解解题方法很多，但无论什么方法，CP CM 都要抓住“共线”来作文章解析 由 题意知： a， b， ba， AM 13AB 13 AN 14AC 14 BN AN AB 14 CM AM a
12、b.AC 13设 ， ，则 ba， ab.PN BN PM CM PN 4 PM 3 b( ba) a b，AP AN PN 14 4 1 4 a( a b) a b，AP AM PM 13 3 1 3a b a b，而 a，b 不共线 且1 4 1 3 1 3. .因此 a b.1 4 311 AP 311 211能力拓展提升11.(2011山东青岛质检) 在数列a n中，a n1 a na( nN *，a为常数) ，若平面上的三个不共线的非零向量 ， ， 满足OA OB OC a1 a 2010 ，三点 A、B、C 共线且该直线不过 O 点，则OC OA OB S2010 等于( )A10
13、05 B1006C 2010 D2012答案 A解析 由 题意知，a 1a 20101，又数列a n为等差数列，所以 S2010 20101005，故选 A.a1 a2010212(文)(2011 安徽安庆模拟 )已知点 P 是ABC 所在平面内一点，且满足 3 5 2 0，设ABC 的面积为 S，则PACPA PB PC 的面积为( )A. S B. S34 23C. S D. S12 25答案 C分析 由系数 325，可将条件式变形为 3( )2( )PA PB PB PC 0，故可先构造出 与 ，假 设 P 为 P点，取 AB、BCPA PB PB PC 中点 M、N，则 ( )， (
14、)，条件式即转化为PM 12PA PB PN 12PB PC 与 的关系PM PN 解析 设 AB，BC 的中点分 别为 M，N，则 ( )，PM 12PA PB ( )，PN 12PB PC 3 5 2 0，PA PB PC 3( )2( )，PA PB PB PC 3 2 ，即点 P 在中位线 MN 上，PM PN PAC 的面积为ABC 面积的一半，故选 C.(理)(2011 东北三校联考)在ABC 中，点 P 是 AB 上的一点，且 ，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CP 23CA 13CB t ，则 t 的值为( )CM CP A. B.12 23C. D.34
15、 45答案 C解析 ，CP 23CA 13CB 3 2 ，即 2 2 ，CP CA CB CP CA CB CP 2 ，AP PB 因此 P 为 AB 的一个三等分点，如图所示A，M，Q 三点共线， x (1x )CM CQ CA (x1) (0x1)，x2CB AC ， ( 1) .CB AB AC CM x2AB x2 AC ，CP CA PA AC 13AB 且 t (0t1)，CM CP ( 1) t( )，x2AB x2 AC AC 13AB 且 1t，解得 t ，故选 C.x2 t3 x2 3413已知点 A(2,3)，C(0,1) ，且 2 ，则点 B 的坐标为AB BC _答案
16、 (2，1)解析 设 点 B 的坐标为( x，y)，则有 (x2，y 3)，AB ( x,1y )，因 为 2 ，BC AB BC 所以Error!解得 x 2，y1.14已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足 0， ，则实数 的值为 _PA BP CP AP PD 答案 2解析 如 图， D 是 BC 中点，将 ABC 补成平行四边形ABQC，则 Q 在 AD 的延长线上，且|AQ| 2| AD|2| DP|， PA BP 0， ，CP BA CP BA PC 又 ，P 与 Q 重合，BA QC 又 2 ，2.AP PD PD 15(文) 已知四点 A(x,0)、B(2
17、x, 1)、C(2，x) 、D(6,2 x)(1)求实数 x，使两向量 、 共线AB CD (2)当两向量 与 共线时，A 、B、C、D 四点是否在同一条直AB CD 线上？解析 (1) (x,1)， (4，x )AB CD ，AB CD x240，即 x2.(2)当 x2 时， .AB CD 当 x2 时 ， (6，3)， (2,1) ，BC AB .此时 A、B、C 三点共线，AB BC 从而，当 x2 时，A、B、C、 D 四点在同一条直线上但 x2 时，A、B、C、 D 四点不共线(理)(2011 济南模拟 )已知ABC 中， a ， b，对于平面AB AC ABC 上任意一点 O，动
18、点 P 满足 a b，则动点 P 的轨OP OA 迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由解析 依 题意，由 ab，OP OA 得 (ab) ，OP OA 即 ( )AP AB AC 如图，以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABDC，对角线交于 O，则 ，AP AD A、P、D 三点共线，即 P 点的 轨迹是 AD 所在的直 线，由图可知 P 点轨迹必过ABC边 BC 的中点( 或ABC 的重心)16已知 a(2xy1，xy2) ，b(2， 2)(1)当 x、y 为何值时，a 与 b 共线？(2)是否存在实数 x、y，使得 ab，且|a| |b| ？若存在，求出 xy的值；若不存在，说明理由解
19、析 (1) a 与 b 共线，存在非零实数 使得 ab，Error!Error!(2)由 ab (2xy1)2(xy2) (2)0x2y30.由|a| |b| (2xy 1) 2(x y2) 28.由解得Error!或Error!xy1 或 xy .3591设平面内有四边形 ABCD 和点 O，若 a， b， c ， d，且 ac bd，则四边形 ABCDOA OB OC OD 为( )A菱形 B梯形C矩形 D平行四边形答案 D解析 解法一： 设 AC 的中点为 G，则 bdacOB OD 2 ，G 为 BD 的中点，四边形 ABCD 的两对角线互相OA OC OG 平分， 四边形 ABCD
20、为平行四边形解法二： ba，AB OB OA dc(ba) ，CD OD OC AB AB 綊 CD，四边形 ABCD 为平行四边形2(2011银川模拟 )已知 a、b 是两个不共线的向量，ab， a b(，R)，那么 A、B、C 三点共线的充要AB AC 条件是( )A2 B 1C 1 D1答案 D解析 A、B、C 三点共 线， 与 共线，AB AC 存在 tR，使 t ，AB AC a bt(ab)tat b，a，b 不共线， Error!即 1.3设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 ab， 2a8b， 3( a b)求证：A、B、DAB BC CD 三点共线；(2)试确定实数
21、k，使 kab 和 akb 共线解析 (1)证明： ab， 2a8b， 3(ab)，AB BC CD 2a8b3(ab)BD BC CD 5( ab) 5 .AB 、 共线，AB BD 又它们有公共点 B，A、B、D 三点共线(2)kab 与 akb 共 线，存在实数 ，使 kab(ak b)，(k)a(k1) b.a、b 是不共线的两个非零向量，k k 10，k 210.k1.4已知点 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，向量 t .OP OA AB (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？(2)t 为何值时，点 P 在第二象限？(3)四边形 ABPO 能否为平行四边形？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由；(4)求点 P 的轨迹方程解析 t (1,2) t(3,3)OP OA AB (1 3t,23t) ，P(13t, 23t)(1)P 在 x 轴 上， 23t0 即 t .23(2)由题 意得 Error! t .23 13(3) (3,3)， (13t,23t)AB OP 若四边形 ABPO 为平行四 边形，则 ，AB OP Error!而上述方程组无解，四边形 ABPO 不可能为平行四边形(4) (1 3t, 23t)，OP 设 ( x，y)，则Error!OP xy10 为所求点 P 的轨迹方程
