1、第 1 页 共 46 页动态问题一.选择题1.（2015 湖南邵阳第 9 题 3 分）如图，在等腰ABC 中，直线 l 垂直底边 BC，现将直线 l 沿线段 BC 从 B点匀速平移至 C 点，直线 l 与ABC 的边相交于 E、F 两点设线段 EF 的长度为 y，平移时间为 t，则下图中能较好反映 y 与 t 的函数关系的图象是（ ）A B C D考点： 动点问题的函数图象.专题： 数形结合分析： 作 ADBC 于 D，如图，设点 F 运动的速度为 1，BD=m，根据等腰三角形的性质得B= C ，BD= CD=m，当点 F 从点 B 运动到 D 时，如图 1，利用正切定义即可得到 y=tanB
2、t（0t m） ；当点 F 从点 D 运动到 C 时，如图 2，利用正切定义可得 y=tanCCF=tanBt+2mtanB（mt2m） ，即 y 与 t的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断解答： 解：作 ADBC 于 D，如图，设点 F 运动的速度为 1，BD =m，ABC 为等腰三角形，B=C ，BD= CD，当点 F 从点 B 运动到 D 时，如图 1，在 RtBEF 中，tanB= ，y=tanB t（0tm） ；当点 F 从点 D 运动到 C 时，如图 2，第 2 页 共 46 页在 RtCEF 中， tanC= ，y=tanCCF=tanC（ 2mt）=tanB
3、t+2mtanB（mt2m） 故选 B点评： 本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用函数关系式画出对应的函数图象注意自变量的取值范围2.（2015 湖北荆州第 9 题 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（ s） ，BPQ 的面积为 y（cm 2） ，则 y 关于 x 的函数图象是（ ）A B C D考点：动点问题的函数图象
4、分析：首先根据正方形的边长与动点 P、Q 的速度可知动点 Q 始终在 AB 边上，而动点 P 可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，再分三种情况进行讨论： 0x1；1x2；2x3；分别求出 y 关于 x 的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解解答：解：由题意可得 BQ=x0x1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x，则BPQ 的面积 = BPBQ，解 y= 3xx= x2；故 A 选项错误；第 3 页 共 46 页1x2 时，P 点在 CD 边上，则BPQ 的面积 = BQBC，解 y= x3= x；故 B 选项错误；2x3 时，P 点在 AD 边上， AP=93x，则BPQ 的面积
5、 = APBQ，解 y= （93x） x= x x2；故 D 选项错误故选 C点评： 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键3 （2015 甘肃武威 ,第 10 题 3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 P 是 BC 边上的一个动点（点P 与点 B、C 都不重合） ，现将PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作BPF 的角平分线交 AB 于点 E设 BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D 考点： 动点问题的函数图象分析： 证明BPECDP
6、，根据相似三角形的对应边的比相等求得 y 与 x 的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断解答： 解：CPD=FPD，BPE= FPE，第 4 页 共 46 页又CPD+FPD +BPE+FPE=180，CPD+BPE=90，又 直角 BPE 中， BPE+BEP=90，BEP=CPD，又B=C ，BPECDP， ，即 ，则 y= x2+ ，y 是 x 的二次函数，且开口向下故选 C点评： 本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量 y 的值，即求线段长的问题，正确证明 BPECDP 是关键4 （2015 四川资阳 ,第 8 题 3 分）如图 4，A
7、D 、 BC 是O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿OCDO 的路线匀速运动，设APB =y（单位：度） ，那么 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是考点：动点问题的函数图象.分析：根据图示，分三种情况：（1）当点 P 沿 OC 运动时；（2）当点 P 沿 CD 运动时；（3）当点P 沿 DO 运动时；分别判断出 y 的取值情况，进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是哪个即可解答：解：（1）当点 P 沿 OC 运动时，当点 P 在点 O 的位置时，y=90，当点 P 在点 C 的位置时，OA=OC，y=45，y 由 90逐渐减小到 45；（
8、2）当点 P 沿 CD 运动时，第 5 页 共 46 页根据圆周角定理，可得y902=45；（3）当点 P 沿 DO 运动时，当点 P 在点 D 的位置时，y=45，当点 P 在点 0 的位置时，y =90，y 由 45逐渐增加到 90故选：B点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等5. （2015 四川省内江市，第 11 题，3 分）如图，
9、正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（ ）A B 2 C 2 D考点： 轴对称最短路线问题；正方形的性质.分析： 由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以 BE 与 AC 的交点即为 P 点此时 PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边ABE 的边， BE=AB，由正方形 ABCD 的面积为 12，可求出 AB 的长，从而得出结果解答： 解：由题意，可得 BE 与 AC 交于点 P点 B 与 D 关于 AC 对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE 最小正方形 ABCD
10、的面积为 12，AB=2 又ABE 是等边三角形，第 6 页 共 46 页BE=AB=2 故所求最小值为 2 故选 B点评： 此题考查了轴对称 最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点 P 的位置是解决问题的关键6. （2015 山东威海，第 11 题 3 分）如图，已知ABC 为等边三角形，AB=2，点 D 为边 AB 上一点，过点 D 作 DEAC，交 BC 于 E 点；过 E 点作 EFDE，交 AB 的延长线于 F 点设 AD=x，DEF 的面积为 y，则能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是（ ）A B C D考点： 动点问题的函数图象.分析： 根据平行线的性质可得ED
11、C= B=60，根据三角形内角和定理即可求得F =30，然后证得EDC 是等边三角形，从而求得 ED=DC=2x，再根据直角三角形的性质求得 EF，最后根据三角形的面积公式求得 y 与 x 函数关系式，根据函数关系式即可判定解答： 解：ABC 是等边三角形，B=60，DEAB，EDC=B=60，第 7 页 共 46 页EFDE，DEF=90，F=90EDC=30；ACB=60，EDC=60，EDC 是等边三角形ED=DC=2x，DEF=90，F=30 ，EF= ED= （2x） y= EDEF= （2x ） （2 x） ，即 y= （x2） 2， （x2） ，故选 A点评： 本题考查了等边三角
12、形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等7. （2015 山东省德州市，11，3 分）如图， AD 是ABC 的角平分线，DE，DF 分别是 ABD和ACD 的 高，得到下面四个结论：OA=OD;ADEF;当A=90时，四边形 AEDF 是正方形；AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（ ）A. B. C. D.第 11 题图第 8 页 共 46 页【答案】D考点：角平分线的性质；正方形的判定方法；全等三角形的判定、勾股定理考点：几何动态问题函数图象二.填空题1. （2015 四川广安，第 16 题 3 分）如图，半径为 r 的O 分别绕面积相等的等边三角形
13、、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为 t1、t 2、t 3，则 t1、t 2、t 3 的大小关系为 t 2t 3t 1 考点： 轨迹.分析： 根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案解答： 解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为 3.14，等边三角型的边长为 a2，等边三角形的周长为 6；正方形的边长为 b1.7，正方形的周长为 1.74=6.8；圆的周长为 3.1421=6.28，6.86.28 6，t2t 3t 1故答案为：t 2t 3t 1点评： 本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键第 9 页 共 46 页三.解答题1. （2015 四
14、川甘孜、阿坝，第 28 题 12 分）如图，已知抛物线 y=ax25ax+2（a0）与 y 轴交于点 C，与x 轴交于点 A（ 1，0）和点 B（1）求抛物线的解析式；（2）求直线 BC 的解析式；（3）若点 N 是抛物线上的动点，过点 N 作 NHx 轴，垂足为 H，以 B，N，H 为顶点的三角形是否能够与OBC 相似？若能，请求出所有符合条件的点 N 的坐标；若不能，请说明理由考点： 二次函数综合题.分析： （1）把点 A 坐标代入抛物线 y=ax25ax+2（a0）求得抛物线的解析式即可；（2）求出抛物线的对称轴，再求得点 B、C 坐标，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，再把 B、
15、C 两点坐标代入线 BC 的解析式为 y=kx+b，求得 k 和 b 即可；（3）设 N（x， ax25ax+2） ，分两种情况讨论：OBCHNB，OBCHBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点 N 坐标即可解答： 解：（1）点 A（1，0）在抛物线 y=ax25ax+2（a0）上，a5a+2=0，a= ，抛物线的解析式为 y= x2 x+2；（2）抛物线的对称轴为直线 x= ，点 B（4，0） ，C（0，2） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，第 10 页 共 46 页把 B、C 两点坐标代入线 BC 的解析式为 y=kx+b，得，解得 k= ，b=2 ，直线 BC 的解析式 y=
16、 x+2；（3）设 N（x， x2 x+2） ，分两种情况讨论：当OBCHNB 时，如图 1，= ，即 = ，解得 x1=5，x 2=4（不合题意，舍去） ，点 N 坐标（5，2） ；当OBCHBN 时，如图 2，= ，即 = ，解得 x1=2，x 2=4（不合题意舍去） ，点 N 坐标（2，1） ；综上所述点 N 坐标（5，2）或（ 2， 1） 第 11 页 共 46 页点评： 本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大2. （2015 山东威
17、海，第 25 题 12 分）已知：抛物线 l1： y=x2+bx+3 交 x 轴于点 A，B ， （点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，其对称轴为 x=1，抛物线 l2 经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（5，0） ，交 y 轴于点 D（0， ） （1）求抛物线 l2 的函数表达式；（2）P 为直线 x=1 上一动点，连接 PA，PC，当 PA=PC 时，求点 P 的坐标；（3）M 为抛物线 l2 上一动点，过点 M 作直线 MNy 轴，交抛物线 l1 于点 N，求点 M 自点 A 运动至点 E的过程中，线段 MN 长度的最大值考点： 二次函数综合题.第 12 页 共 46
18、 页分析： （1）由对称轴可求得 b，可求得 l1 的解析式，令 y=0 可求得 A 点坐标，再利用待定系数法可求得 l2 的表达式；（2）设 P 点坐标为（1，y ） ，由勾股定理可表示出 PC2 和 PA2，由条件可得到关于 y 的方程可求得 y，可求得 P 点坐标；（3）可分别设出 M、N 的坐标，可表示出 MN，再根据函数的性质可求得 MN 的最大值解答： 解：（1）抛物线 l1：y =x2+bx+3 的对称轴为 x=1， =1，解得 b=2，抛物线 l1 的解析式为 y=x2+2x+3，令 y=0，可得 x2+2x+3=0，解得 x=1 或 x=3，A 点坐标为（ 1，0） ，抛物线
19、 l2 经过点 A、E 两点，可设抛物线 l2 解析式为 y=a（x +1） （x 5） ，又 抛物线 l2 交 y 轴于点 D（0， ） ， =5a，解得 a= ，y= （ x+1） （x5）= x22x ，抛物线 l2 的函数表达式为 y= x22x ；（2）设 P 点坐标为（1，y ） ，由（1）可得 C 点坐标为（0，3） ，PC2=12+（y3） 2=y26y+10，PA 2=1（ 1） 2+y2=y2+4，PC=PA，y26y+10=y2+4，解得 y=1，P 点坐标为（1，1） ；（3）由题意可设 M（x， x22x ） ，MNy 轴，N（x，x 2+2x+3） ， x22x第
20、13 页 共 46 页令x 2+2x+3= x22x ，可解得 x=1 或 x= ，当1x 时，MN=（x 2+2x+3） （ x22x ）= x2+4x+ = （x ） 2+ ，显然1 ， 当 x= 时，MN 有最大值 ；当 x5 时，MN= （ x22x ）（ x2+2x+3）= x24x = （x ） 2 ，显然当 x 时，MN 随 x 的增大而增大，当 x=5 时，MN 有最大值， （5 ） 2 =12；综上可知在点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值为 12点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点在（1）中求
21、得 A 点的坐标是解题的关键，在（2）中用 P 点的坐标分别表示出 PA、PC 是解题的关键，在（3）中用 M、N 的坐标分别表示出 MN 的长是解题的关键，注意分类讨论本题考查知识点较为基础，难度适中3.（2015 山东日照 ，第 22 题 14 分）如图，抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交 x轴与 D，C 两点，连接 AC， BC，已知 A（0，3） ，C（3，0） （）求抛物线的解析式和 tanBAC 的值；（）在（）条件下：（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以
22、A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点） ，连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M在整个运动中用时最少？考点： 二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似第 14 页 共 46 页三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.专题： 压轴题分析： （）只需把 A、C 两点的坐标代入 y= x2+mx+n，就可得到抛
23、物线的解析式，然后求出直线 AB与抛物线的交点 B 的坐标，过点 B 作 BHx 轴于 H，如图 1易得BCH= ACO=45，BC= ，AC=3 ，从而得到 ACB=90，然后根据三角函数的定义就可求出 tanBAC 的值；（） （1）过点 P 作 PGy 轴于 G，则PGA=90设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x0，则PG=x，易得 APQ=ACB=90若点 G 在点 A 的下方，当PAQ =CAB 时， PAQCAB此时可证得PGABCA，根据相似三角形的性质可得 AG=3PG=3x则有 P（x ，3 3x） ，然后把 P（x，33x）代入抛物线的解析式，就可求出点
24、 P 的坐标当 PAQ=CBA 时，PAQCBA，同理，可求出点 P 的坐标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点 P 的坐标；（2）过点 E 作 ENy 轴于 N，如图 3易得 AE=EN，则点 M 在整个运动中所用的时间可表示为 + =DE+EN作点 D 关于 AC 的对称点 D，连接DE，则有 DE=DE，D C=DC， DCA=DCA=45，从而可得D CD=90，DE +EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当 D、E、N 三点共线时，DE +EN=DE+EN 最小此时可证到四边形 OCDN 是矩形，从而有 ND=OC=3，ON=DC= DC然后求出点 D 的坐标，从而得到
25、 OD、ON、NE 的值，即可得到点 E的坐标解答： 解：（）把 A（0，3） ，C（3，0）代入 y= x2+mx+n，得，解得： 抛物线的解析式为 y= x2 x+3联立 ，解得： 或 ，点 B 的坐标为（4，1） 过点 B 作 BHx 轴于 H，如图 1C（3，0） ，B（4，1） ，第 15 页 共 46 页BH=1，OC =3，OH=4，CH=4 3=1，BH=CH=1BHC=90，BCH=45， BC= 同理：ACO=45，AC=3 ，ACB=1804545=90，tanBAC= = = ；（） （1）存在点 P，使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似过点 P 作 PGy
26、 轴于 G，则PGA=90设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x0，则 PG=xPQPA，ACB=90，APQ=ACB=90若点 G 在点 A 的下方，如图 2，当 PAQ=CAB 时，则 PAQCABPGA=ACB=90，PAQ= CAB，PGABCA， = = AG=3PG=3x则 P（x ，3 3x） 把 P（x ，3 3x）代入 y= x2 x+3，得x2 x+3=33x，整理得：x 2+x=0解得：x 1=0（舍去） ，x 2=1（舍去） 如图 2，当 PAQ=CBA 时，则 PAQCBA同理可得：AG= PG= x，则 P（x，3 x） ，第 16 页 共 46
27、页把 P（x ，3 x）代入 y= x2 x+3，得x2 x+3=3 x，整理得：x 2 x=0解得：x 1=0（舍去） ，x 2= ，P（ ， ） ；若点 G 在点 A 的上方，当PAQ= CAB 时，则PAQ CAB，同理可得：点 P 的坐标为（11，36） 当PAQ= CBA 时，则PAQ CBA同理可得：点 P 的坐标为 P（ ， ） 综上所述：满足条件的点 P 的坐标为（11，36） 、 （ ， ） 、 （ ， ） ；（2）过点 E 作 ENy 轴于 N，如图 3在 RtANE 中， EN=AEsin45= AE，即 AE= EN，点 M 在整个运动中所用的时间为 + =DE+EN作
28、点 D 关于 AC 的对称点 D，连接 DE，则有 DE=DE，D C=DC，D CA=DCA=45，DCD=90，DE+EN= DE+EN根据两点之间线段最短可得：当 D、 E、N 三点共线时，DE +EN=DE+EN 最小此时，DCD= DNO=NOC=90，四边形 OCDN 是矩形，ND=OC=3，ON=D C=DC对于 y= x2 x+3，当 y=0 时，有 x2 x+3=0，解得：x 1=2，x 2=3D（ 2， 0） ，OD =2，第 17 页 共 46 页ON=DC=OCOD=32=1，NE=AN=AOON=31=2，点 E 的坐标为（2，1） 点评： 本题主要考查了运用待定系数
29、法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对第 18 页 共 46 页称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（） （1）小题的关键，把点 M 运动的总时间 + 转化为 DE+EN 是解决第（） （2）小题的关键4.（2015 山东聊城 ,第 25 题 12 分）如图，在直角坐标系中，Rt OAB 的直角顶点 A 在 x 轴上，OA=4，AB =3动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；同时点 N 从点O 出发，
30、以每秒 1.25 个单位长度的速度，沿 OB 向终点 B 移动当两个动点运动了 x 秒（0x4）时，解答下列问题：（1）求点 N 的坐标（用含 x 的代数式表示） ；（2）设OMN 的面积是 S，求 S 与 x 之间的函数表达式；当 x 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN 是直角三角形？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由考点： 相似形综合题.分析： （1）由勾股定理求出 OB，作 NPOA 于 P，则 NPAB，得出OPNOAB ，得出比例式，求出 OP、PN，即可得出点 N 的坐标；（2）由三角形的面积公式得出 S 是 x
31、的二次函数，即可得出 S 的最大值；（3）分两种情况：若 OMN=90，则 MNAB，由平行线得出 OMNOAB，得出比例式，即可求出x 的值；若ONM =90，则ONM=OAB，证出OMN OBA，得出比例式，求出 x 的值即可解答： 解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在 RtOAB 中，由勾股定理得：OB= = =5，作 NPOA 于 P，如图 1 所示：则 NPAB，第 19 页 共 46 页OPNOAB， ，即 ，解得：OP= x， PN= ，点 N 的坐标是（x ， ） ；（2）在OMN 中，OM=4x，OM 边上的高 PN= ，S= OMPN= （4x） = x2+
32、 x，S 与 x 之间的函数表达式为 S= x2+ x（0x 4） ，配方得：S= （x 2） 2+ ， 0，S 有最大值，当 x=2 时，S 有最大值，最大值是 ；（3）存在某一时刻，使OMN 是直角三角形，理由如下：分两种情况：若 OMN=90，如图 2 所示：则 MNAB，此时 OM=4x，ON=1.25 x，MNAB，OMNOAB， ，即 ，解得：x=2；若ONM =90，如图 3 所示：则ONM=OAB，此时 OM=4x，ON=1.25 x，ONM=OAB，MON=BOA，第 20 页 共 46 页OMNOBA， ，即 ，解得：x= ；综上所述：x 的值是 2 秒或 秒点评： 本题是
33、相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果5(2015深圳，第 22 题 分) 如图 1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的直径 DE 在一条直线上， 开始的时候 BD=1cm,现在三角板以 2cm/s 的速度向右,3,6cmODBCA移动。（1）当 B 与 O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图 2，当 AC 与半圆相切时，求 AD；第 21 页 共 46 页（3）如图 3
34、，当 AB 和 DE 重合时，求证： 。CEGF2【解析】6 (2015河南，第 17 题 9 分) 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点，延长 BP 到点 C，使 PC=PB，D 是 AC 的中点，连接 PD，PO.（1）求证：CDPPOB；（2）填空： 若 AB=4，则四边形 AOPD 的最大面积为 ； 连接 OD，当 PBA 的度数为 时，四边形 BPDO 是菱形.POCDBA第 17 题第 22 页 共 46 页（1） 【分析】要证CDPPOB，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得 DP 是ACB 的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相
35、等，根据 SAS 即可得证.解： 点 D 是 AC 的中点，PC=PB，（3 分）DPDB， ，CPD= PBO.ABP21 ,DP=OB，CDPPOB（SAS）.（5 分）OBPA OCBD第 17 题解图(2) 【分析】易得四边形 AOPD 是平行四边形，由于 AO 是定值，要使四边形 AOPD 的面积最大，就得使四边形 AOPD 底边 AO 上的高最大，即当 OPOA 时面积最大； 易得四边形 BPDO 是平行四边形，再根据菱形的判定得到PBO 是等边三角形即可求解.解： 4 ；（7 分） 60.（注：若填为 60，不扣分）（9 分）【解法提示】当 OPOA 时四边形 AOPD 的面积最
36、大，由（1）得 DP=AO，DPDB ，四边形 AOPD是平行四边形，AB=4， AO=PO=2，四边形 AOPD 的面积最大为,22=4； 连接 OD,由（1）得DP=AO=OB，DPDB ， 四边形 BPDO 是平行四边形， 当 OB=BP 时四边形 BPDO 是菱形，PO=BO，PBO 是等边三角形，PBA=60.7. （2015 四川成都 ,第 28 题 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且C
37、D4AC（1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ；第 23 页 共 46 页（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；54（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由【答案】：（1）A（1，0） ，yax a； （2）a ；25（3）P 的坐标为（1， ）或（1，4）【解析】：（1）A（1，0）直线 l 经过点 A， 0k b，bkykxk令 ax 22ax3akxk ，即 ax
38、 2( 2ak )x3ak0CD4AC，点 D 的横坐标为 4 3 14 ，k aka直线 l 的函数表达式为 yaxa（2）过点 E 作 EFy 轴，交直线 l 于点 F设 E（x ，ax 22ax3a） ，则 F（x，axa）EFax 22ax 3a( axa )ax 23ax 4axyOA BD lC备用图xyOA BD lCEFxyOA BD lCE第 24 页 共 46 页SACE S AFE SCFE ( ax 23ax4a )( x1 ) ( ax 23ax4a )x12 12 ( ax 23ax4a ) a( x )2 a12 12 32 258ACE 的面积的最大值为 a25
39、8ACE 的面积的最大值为 54 a ，解得 a 258 54 25（3）令 ax 22ax 3aax a，即 ax 23ax4a0解得 x11，x 24D（ 4， 5a）yax 22ax3a，抛物线的对称轴为 x1设 P（1，m）若 AD 是矩形的一条边，则 Q（4，21a）m21a5a26a，则 P（1， 26a）四边形 ADPQ 为矩形，ADP90AD 2PD 2AP 25 2( 5a )2( 14 )2( 26a5a )2( 11 )2( 26a )2即 a 2 ，a0， a 17P1（ 1， ）若 AD 是矩形的一条对角线则线段 AD 的中点坐标为（ ， ） ，Q （2，3a）32
40、5a2m5a( 3a )8a，则 P（1，8a）四边形 APDQ 为矩形，APD90AP 2PD 2AD 2( 11 )2( 8a )2( 14 )2( 8a5a )25 2( 5a )2即 a 2 ，a0， a 14 12P2（ 1，4）综上所述，以点 A、D、P、 Q 为顶点的四边形能成为矩形xyA BD lCQPOxyOA BD lCPQ第 25 页 共 46 页点 P 的坐标为（1， ）或（1，4）8. （2015 辽宁大连，26，12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（2m ,m） ，翻折矩形 OABC
41、,使点 A 与点 C 重合，得到折痕 DE.设点 B 的对应点为 F,折痕 DE 所在直线与 y 轴相交于点 G，经过点 C、F、D 的抛物线为 。cba2y（1）求点 D 的坐标（用含 m 的式子表示）（2）若点 G 的坐标为（0， 3） ，求该抛物线的解析式。（3）在（2）的条件下，设线段 CD 的中点为 M，在线段 CD 上方的抛物线上是否存在点 P,使 PM= EA?若21存在，直接写出 P 的坐标，若不存在，说明理由。【答案】(1)（ ，m）;（2） （3 ）存在，点 P 坐标为（1.6,3.2）和（0.9,3.2） 。452156y2x【解析】解：（1）设 D 的坐标为：（ d,m
42、)，根据题意得：CD=d,OC=m（第 26 题图）因为 CDEA,所以 CDE=AED,又因为 AED=CED，所以 CDE=CED，所以 CD=CE=EA=d,OE=2md,第 26 页 共 46 页在 RtCOE 中， , ，解得： 。22CEO2dmm45所以 D 的坐标为：（ ， m）45(2)作 DH 垂直于 X 轴，由题意得：OG=3，OE=OAEA=2m = .EH=OHOE = = ,DH=m.45345321GOEDHE, , 。所以 m=2HDOGE21所以此时 D 点坐标为（ ， 2）,CD = ,CF=2，FD =BD=4 =1.5525因为 CDFI=CFFD,FI
43、=21.52.5=1.2CI= ,6.1.22FIC所以 F 的坐标为（1.6，3.2）抛物线为 经过点 C、F、D，所以代入得：cbxa2y第 27 页 共 46 页解得：2.36.1.52cbac1256a2bc所以抛物线解析式为 。6yx（3）存在，因为 PM= EA，所以 PM= CD.以 M 为圆心，MC 为半径化圆，交抛物线于点 F 和点 P.如2121下图：点 P 坐标为（1.6,3.2）和（0.9,3.2） 。9. （2015 浙江省台州市，第 23 题）如图，在多边形 ABCDE 中，A= AED=D=90，AB=5，AE=2，ED=3，过点 E 作 EFCB 交 AB 于点
44、 F，FB =1，过 AE 上的点 P 作 PQAB 交线段 EF 于点O，交折线 BCD 于点 Q，设 AP=x，PO.OQ=y（1） 延长 BC 交 ED 于点 M，则 MD= ，DC= 求 y 关于 x 的函数解析式；（2）当 时， ，求 a，b 的值；1(0)2a96ay（3）当 时，请直接写出 x 的取值范围3y第 28 页 共 46 页第 29 页 共 46 页10. （2015 浙江湖州，第 24 题 12 分）在直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点A(0，2) ，B (1，0)分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，点 C 为线段 AB 的中点，现将线段
45、BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 D.第 30 页 共 46 页(1)如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a= .求点 D 的坐标及该抛物线的解析式.连结 CD，问：在抛物线上是否存在点 P，使得 POB 与 BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.(2)如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 E(1，1) ，点 Q 在抛物线上，且满足QOB 与BCD 互余，若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出 a 的取值范围.【答案】(1) D（3，1） ， ；在抛物线上存在点 ,使得 POB 与BCD 互余.（ 2）a 的取值范围是 .【解析】试题分析：(1) 过点 D 作 DFx 轴于点 F,可证 AOBBFD，即可求得 D 点的坐标，把 a= ，点 D的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式. 由 C、D 两点的纵坐标都为 1 可知 CDx 轴，所以BCD=ABO,又因BAO 与BCD 互余，若要使得POB 与BCD 互余，则需满足 POB=BAO, 设点 P的坐标为（x， ）.分两种情况：第一种情况，当点 P 在 x 轴上方时，过点 P 作 PGx 轴于点G,由 tanPOB=tanBAO
