大学物理通用矢量知识.pdf

1、 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 1 0.1 矢量 其中只用 数值 即可表示的量叫 标量 ，这里数值的含义包括 大小 和 正负 。 物理学中常会遇到两类不同性质的物理量： 标量 （ Scalar） 和 矢量 （ Vector） 。 比如时间、路程、质量、能量、电量等就是这样的量。 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 2 力、速度、加速度、电场强度等都是 这样的量。 而既有 大小 、 正负 ，还有 方向 ， 且 其加法 遵从 平行四边形 法则或 三角形 法则的量叫做 矢量 。 矢 端 矢尾 单位长度 图 0.1 矢量的图示 矢量可以用 有方向的几何线段 表示。 数学知

2、识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 3 Ar数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 4 r数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 5 即矢量 用从 矢尾 到 矢端 的一条 有向线段 来表示， 箭头 表示矢量的 方向 ，线段的 长度 表示矢量的 大小 。 A 矢量的 模 即模为 1的矢量 1A 单位矢量 即模为 0的矢量 0A 零矢量 零矢量的方向可以认为是 任意 的，记作 。 0矢量 的大小即 AAA数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 6 与矢量 同方向 的 单位矢量 记作 。 AAe在直角坐标系 O-xyx中，记 x、 y、 z三个方向的单位矢量为 、 、

3、。 i j k矢量具有大小与方向两个 要素，只有当 同类 的两个矢 量 大小相等 且 方向相同 时， 两个矢量才相等。记为 。而标量和矢量由于 不同类 ，故不能相比较，也不能相加减。 ABx yz数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 7 据此，将一个矢量平移后，其大小和方向都保持不变，所以平移后的矢量与原矢量相等，仍是原矢量 。那么，在考察矢量之间的 关系 或对它们进行 运算 时，根据需要可对他们进行 平移 。 A A数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 8 0.2 矢量的加减法 （ 1） 矢量加法 (Vector Addition) 矢量的加减法遵从 平行四边形法则 或

4、三角形法则 。 如果矢量 和 相加，和为 ，记为 A B CA B C数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 9 设矢量 、 的夹角为 ， 与 的夹角为 。 A B C A22 2 c o sC A B A B 夹角 为 s i na r c t a n c o sBAB 则 的大小为 C 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 10 三角形法则 可见三角形法则是平行四边形法则的 简化 。 即把矢量 平移，让其 矢尾 与 的 矢端 相连，那么从 的矢尾指向 的矢端的矢量即为合矢量 ，此即矢量相加的 三角形法则 。 B AA BC数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 1

5、1 多边形法则 当 多个 矢量相加时，可用平行四边形法则逐次 进行，也可将三角形法推广为 多边形 法则进行。 ABNC即令 、 、 等诸矢量依次首尾相接，那么，从第一个矢量的矢尾 指向 最后一个矢量的矢端 的矢量即为和矢量 。 BA C数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 12 矢量的加法满足 交换律 和 结合律 ，即有 A B B A ( ) ( )A B C A B C （ 2） 矢量减法 (Vector Subtraction) B C A如果矢量 和 的和为 ，即 ，则 可称作 与 的 矢量差 。记作 A B C A B CB C A矢量的减法是加法的 逆运算 。 数学知识：

6、矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 13 由于 与 的方向相反，故有 A A()B C A C A 即矢量的减法可转换成加法来进行计算。 即 等于从 的矢端指向 的矢端的矢量。 B A C故在三角形法则中，从 减矢量 矢端指向 被减矢量 矢端的矢量，即为这两个矢量之差。 A ACB B数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 14 0.3 矢量的数乘 矢量 与一个实数 的乘积叫做矢量的 数乘 ，结果仍是一个矢量，记作 ，模为 。 AmA m A m Am若 ，则 与 同向，否则反相或等于零。矢量的数乘有如下性质。 0m mA A满足 分配律 ()A B A B () A A A 满足

7、交换律 ( ) ( ) ( )A A A 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 15 那么，如果用 表示与 同方向的单位矢量，则 可表示为 AAeA 0.4 矢量的正交分解 由矢量的加法知道，两个以上的矢量可以相加合成 为一个矢量。所以，一个矢量也可以 分解 为两个或两个以上的 分矢量 。 但一个矢量分解为两个矢量时，结果并不唯一，而是有无穷多种分解方法。 AA A e 5 ir 3 jr 2 kr 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 16 矢量的分解 A但如果 限定 了两个分矢量的方向，则分解是 唯一 的。 唯一 的分解 A我们常将矢量沿 相互垂直 的方向进行分解，这种

8、分解当然也是唯一的。这种情况下分矢量相互垂直（ 正交 ），称为 正交分解 。 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 17 （ 1）矢量在直角坐标系中的正交分解 在直角坐标系中， x、 y、 z三个方向的单位矢量分别为 、 、 。 i j kxyzAxA yA自矢量 的矢端向 z轴作垂线，垂足为 。 AzAzA 又自 的矢端向 O-xy平面作垂线，垂足为 。 AAA再自 向 x轴和 y轴作垂线，垂足分别为 和 。 AxA yAO数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 18 则 、 、 称为 矢量 在 x、 y、 z轴上的 投影 或 分量 （注意不是分矢量） 。这样， 在 x、y

9、、 z方向的 分矢量 分别为 zAxA yA AAxAi zAkyAj则矢量 的大小为 A222x y zA A A A A 设 与 x、 y、 z轴的夹角 分别为 、 、 ，称为 方向 角 ，则方向余弦为 A c o s ,xAA c o s ,yAA c o szAA A数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 19 且有 。于是用x、 y、 z三个方向的分矢量表示 时有 2 2 2c o s c o s c o s 1 Ax y zA A i A j A k 上式称为 在直角坐标系中的 正交分解式 。利用正交分解式可 进行 矢量的 加减运算 。计算时，把 对应方向的分矢量 相加减，

10、所得结果即为所求矢量的对应分量。 Ax y zA A i A j A k x y zB B i B j B k 即若 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 20 则 ( ) ( ) ( )x x y y z zA B A B i A B j A B k 0.5 矢量的标积和矢积 矢量除了数乘之外，还有 标积 和 矢积 两种相乘方式。 （ 1）矢量的标积 （点积） 我们定义矢量 和 的标积为 A BAB标积的结果是一个标量，等于 和 的模与夹角余弦的乘积。即有 A B数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 21 c o s ( , )A B A B A B c o s ( ,

11、)A B A Bc o sAB 即 c o sA B A B ( 0 )因标积的运算符号为“ ”，所以标积通常称为 点积 。 在直角坐标系中则有 1 i i j j k k 0 i j j k k i 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 22 ( ) x y z xA i A ji kAA Ai 在直角坐标系中 ，则 x y zA A i A j A k yA j A zA k A0A 若 ， ，那么，若 ，则 。 0B 0AB AB矢量的标积还可用矢量的正交分解式来计算，即若 x y zA A i A j A k x y zB B i B j B k 数学知识：矢量 大学物理通用

12、矢量知识 大学物理 23 而在任何坐标系中，总有 2A A A则可得 ( ) ( )x y z x y zx x y y z zA B A i A j A k B i B j B kA B A B A B 即标积等于 对应分量相乘积的和 。 矢量的标积满足 交换律 ， 分配律 和 结合律 。即有 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 24 A B B A ()A B C A C B C ( ) ( ) ( )A B A B A B (交换律 ) (分配律 ) (结合律 ) （ 2）矢量的矢积 （叉积） 矢量 和 的矢积为一矢量，记作 A BAB的大小为 C s i n ( 0 )C

13、A B C数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 25 其中 为 与 的夹角，而 的方向按 右手螺旋法则 确定。 A B CAC即右手四指按小于 的方向从 转向 时，伸直的拇指所指的方向即为 的方向。矢积用“ ”表示，故通常又叫 叉乘 ，也读作叉乘。 A BCBxyz数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 BlI dFd 有限长载流导线所受的安培力 BlIFF ll ddBlIF dd 安培定律 s i ndd lBIF 意义 磁场对电流元作用的力的大小为 的方向垂直于 和 所组成的平面 , 且与 同向 。 lI d BFdBlI dlI dBFd数学知识：矢量 大学物理通用矢

14、量知识 大学物理 27 根据定义我们可以得到如下结论： 1. 0AA2. 若 ，则 0 , 0AB / 0/A B A B 3. A B B A （不满足交换律） 4. ( ) ( ) ( )A B A B A B （ 为实数） 5. ()C A B C A C B （分配律） i j k j k i k i j6.在直角坐标系中有 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 28 j i k k j i i k j 用正交分解式计算时有 ( ) ( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k x x x y x zA B i i A B i j A B

15、 i k y x y y y zA B j i A B j j A B j k z x z y z zA B k i A B k j A B k k ( ) ( )( )y z z y z x x zx y y xA B A B i A B A B jA B A B k 数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 29 x y zx y zi j kA A AB B B而混和积 ( ) ( ) ( )( )x y z z y y z x x zz x y y xA B C A B C B C A B C B CA B C B C x y zx y zx y zA A AB B BC C C数学知识：矢量 大学物理通用矢量知识 大学物理 30 ()A B C 在数值上等于以 、 、 三矢量为棱的平行六面体的体积。并且我们还有 A B C7. ( ) ( ) ( )A B C B C A C A B 8. ( ) ( ) ( )A B C B A C C A B 9. ( ) ( )( )( )A B C A C BC B AB C A