1、六年级奥数之行程问题（一）知识引入行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。行程问题的主要数量关系是：距离=速度时间。它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离速度和（2）相背而行：相背距离=速度和时间。（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离=速度差时间。解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。例题分析例 1
2、甲、乙两人练习跑步，若让乙先跑 12 米，则甲经过 6 秒追上乙；若乙比甲先跑2 秒，则甲要经过 5 秒追上乙；如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人相距多少米？分析与解：甲、乙的速度差为 1262（米/秒） ，则乙的速度为 2525（米/秒） ，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人相距 5921025 米。例 2 小陈和小许二人分别从两地同时骑车相向而行。小陈每小时行 16 千米，小许每小时行 13 千米，两人相遇时距中点 3 千米。求全程长多少千米？分析与解：要求全程长多少千米，必须知道“速度和”与“相遇时间” 。题目中已经给出了小陈和小许的速度，因此关键是求
3、出相遇时间。从线段图中可以看出，当小陈到达 A 点时，与相遇时小许所行的路程相同，因此二人相遇时，小陈比小许多行了 326（千米） 。相遇时间：6（1613）2（小时） 。全程：2（1613）58（千米） 。答：全程长 58 千米。例 3 兄妹二人同时从家里出发去上学，哥哥骑车每分钟行 400 米，妹妹步行每分钟行 100 米。哥哥到校门时，发现忘了带课本，立即沿原路返回，途中与妹妹相遇。已知家与学校相距 1000 米，求兄妹二人从出发到相遇共用了多少分钟？分析与解：妹二人开始时是同向行走，哥哥的速度快，因此先到达学校。当哥哥返回时，兄妹二人就变成了相向而行。从线段图中可以看出，兄妹二人所行的
4、路程之和是家到学校距离的 2 倍。根据“相遇时间路程和速度和” ，即可求出相遇时间。所以兄妹二人从出发到相遇共用了 10002（400100）4（分钟） 。答：兄妹二人从出发到相遇共用了 4 分钟。例 4 某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长为 300 米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走 90 米，乙每分走 70 米，那么经过多长时间甲才能看到乙？ 乙乙分析与解：当甲看到乙的时候，甲和乙应在同一条边上，甲、乙两人之间的距离最多300 米长。当甲、乙之间的距离等于 300 米时，即甲追上乙一条边（ 30米） ，需309715（分） ，此时甲走了 901534
5、.边（条） ，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走 .条边就可以看到乙了，即甲出发后走 5条边就可看到乙，共需20963（分） ，即 6分 秒。课堂练习1、甲、乙二人分别从 A、B 两城同时相向而行，4 小时后在途中相遇，这时甲行了全程的40。相遇后二人仍按原速度继续前进。当乙到达 A 城时，甲还要行全程的几分之几才可以到 B 城？一、解：相同的时间内，速度与路程成正比，即 32%401乙甲乙甲 sv。当乙到达 A 城时，两人所行的路程之比是 乙甲乙甲 。因此，甲还要行全程的 132 1才能到达 B 城。答：当乙到达 A 城时，甲还要行全程的 31才可以到达 B 城。2、A、B
6、 两地相距 880 千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经过 8 小时后相遇，已知甲、乙两车的速度比是 5：6，问：甲、乙两车每小时各行多少千米？解：甲、乙两车每小时共行 8808110（千米） 。甲车每小时行 110（56）550（千米） 。乙车每小时行 110（56）660（千米） 。答：甲、乙两车每小时各行 50 千米、60 千米。3、A、B 两地相距 480 千米，一辆轿车和一辆货车分别从两地相向而行。货车 9 时出发，轿车 10 时出发，轿车的速度是货车的 1.5 倍，两车在 12 时相遇。求：两车的速度各是多少？、解：不妨将货车 1 小时行驶的路程看做 1 份，则轿车 1 小时行驶
7、的路程是 1.5 份。因此，货车共行了（129）13（份） ，轿车共行了（1210）1.53（份） ，说明将全程平均分成 6 份，货车与轿车各行了其中的 3 份。货车的速度是 480 3380（千米/时） 。轿车的速度是 801.5120（千米/时） 。答：两车的速度各是 80 千米/时、120 千米/ 时4、一列火车每小时行 68 千米，另一列火车每小时行 76 千米，这两列火车分别从甲、乙两站同时相对开出，行了 小时后还相距两站之间铁路长的 。求：甲、乙两站之间的铁路6541长多少千米？、解： 65小时后两车共行了（6876） 65120（千米） 。甲、乙两站之间的距离为 120（1 4）
8、160（千米） 。答：甲、乙两站之间的铁路长 160 千米。（二）知识引入基本数量关系是：火车行驶速度时间车长桥长. 火车过桥：火车有长度的物体S桥长车长 解法：SV 车 T例题分析例 1 一列火车通过 530 米的桥需 40 秒钟，以同样的速度穿过 380 米的山洞需 30 秒钟。求这列火车的速度是每秒多少米？车长多少米？分析与解：火车 40 秒钟行驶的路程桥长车长；火车 30 秒钟行驶的路程山洞长车长。比较上面两种情况，由于车长与车速都不变，所以可以得出火车 403010 秒能行驶 530380150 米，由此可以求出火车的速度，车长也好求了。解：（1）火车速度：（530380）（4030
9、）1501015（米/秒） 。（2）火车长度：154053070（米） 。答：这列火车的速度是每秒 15 米，车长 70 米。例 2 某列火车通过 342 米的隧道用了 23 秒，接着通过 288 米的隧道用了 20 秒，这列火车与另一列长 128 米、速度为 22 米的列车错开而过，问需要几秒钟？分析与解：这道题结合了过桥问题与相遇问题两种知识。要求错车而过的时间，就要知道两列火车的长度和速度。第二列火车的长度和速度是已知的，所以求第一列火车的长度和速度就是解题的关键。解：第一列火车速度：（342288）（2320）18（米） ；第一列火车长度：182334272（米） ，或 1820288
10、72（米） ；错车时间：（72128）（2218）5（秒） 。答：两列火车错开而过需要 5 秒钟。例 3 某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，问该列车与另一列长 320 米，时速 64.8 千米的列车错车而过需要几秒？分析与解：列车通过隧道行进的距离是隧道长加车长，两车完全错车行进的距离之和是两车长之和。列车通过第一个隧道比通过第二个隧道多走了 40 米，多用 2 秒，则此列车速度为：（250210）（2523）20（米/秒） ，车长为 2025250250（米） ，另一列车时速64.8 千米，合 18 米/秒，两车错车需时为：（ 250320）
11、（2018）15（秒） ，即两车错车需要 15 秒。在火车错车、过桥、过隧道、进站等问题中常会将车长作为行进距离的一部分，因此遇到此类问题时一定要特别小心。家庭作业1. 甲、乙两车同时从 A 地出发到 B 地，甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行 70 千米。途中甲车停车 2 小时，结果甲车比乙车晚 1 小时到达 B 地。A、B 两地间的路程是多少千米？. 解：途中甲车停车 2 小时，结果甲车比乙车晚 1 小时到达 B 地，说明如果顺利地从A 地行驶到 B 地，甲车比乙车少用 1 小时。因此这道题可以理解为乙车比甲车先行 1 小时，结果两车同时到达 B 地，从而将其转化为典型的追及问题。追及
12、路程：701=70（千米） 。追及时间：70（8070）=7（小时） 。A、 B 两地间的路程：807=560（千米） 。答：A 、 B 两地间的路程是 560 千米。2. 某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从其身后开来，在身旁通过的时间是 15 秒钟，客车长 105 米，每小时速度为 28.8 千米。求步行人每小时行多少千米？分析与解：一列客车从其身后开来，在身旁通过的时间是 15 秒钟，实际上就是指车尾用 15 秒钟追上了原来与步行人 105 米的差距（即车长） ，因为车长是 105 米，追及时间为 15 秒，由此可以求出列车与人的速度差，进而求再求人的速度。解：（1）车与人的速度差：105157（米/秒）25.2（千米/时）（2）步行人的速度：28.825.23.6（千米/时）
