线性代数习题解答.doc

1、线性代数习题解习题一 A 组1.计算下列二阶行列式（1） （2） （3） （4）52-0189622baa1232xx2.计算下列三阶行列式（1） =1+8+27-6-6-6=18 （2） 132 598413（3） （4）74050dcba3. 当 k取何值时， =0.1043k解： ， 得 ， 1043k0)3()(2 0342k所以 或 。4.求下列排列的逆序数. 解：(1) . 5120)5324(2) . 8461(3) .23)7(4) .13400352845.下列各元素乘积是否是五阶行列式 中一项?如果是,该项应取什么符号?ija解：(2) 不是. 因为 中有俩个元素在第一列

2、.514321a(3) 是. 对应项为 35)(、所以该项应取负号。102)4153(6.选择 i, j 使 成为五阶行列式 中带有负号的项jia542 ija解: 当 时, , 是奇排列.)(, 30)(当 时, , 是偶排列.1ji 81231所以 i = 1, j = 5. 8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1) 12323042r 620431r(2) 621734435102 6217104352c 6217435. =62101437323c621430532r294013505(3) 118204,32iri(4) 150233415023 1203845024431r1

3、2046342r 71305642r 7130246)(.027146)5(2743r 27016443c0（5） yx11 yxc103412 yxr012431yx023201xyxr（6） dcbacbaa36103632422 cbaadcbiri 36103602424,1 bar3702423 44302acbdcbr9.用行列式性质证明:(1) =333222111cbka321cba证明: .333222111ck 3322112cbk 332211cbak(2) =efcfbdabf4证明: efcf dcbeaf的 公 因 子提 取 各 行 1abfce的 公 因 子提 取

4、 各 列.021312abdfr 20123efrcdef4(3) yx11 yxx22证明: =yx11 yx101yx11 yx10yx0yx101yxyxy1002 yxyxx 10102.yxyxy10012 )(22yxx 22xx10.解下列方程:(1) 09132522xx解: 由 22432122 405139135xxrxx 22314013xxr2221 4013xrx 2223 4031xr)(3(22得 所以 或 .)(22xx(2) 010x解: 由 0110224,301xxirx 01)(x10)2(413 xxr xxr10)2(43xxxr 10)()2(10

5、)()2()(3=xx1)(0)2( )1()(222 2)(x得 , 所以 , , .0)2(021x3415. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1） 27311x解：由系数行列式 573D17231D123, .11x2x(3) 45273321x解: 由系数行列式 6387012245218572331 rrD63413786204572131cD202542331r189073124583532313 rrD得 , , .1x2Dx3x16.判断下列齐次方程组是否有非零解:(1) 0325879414321xx解:由系数行列式3215879D47208193412r 0472819(第

6、一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解.(2). 032424141xx解:由系数行列式 30154)(23015)(301521342 2343 rrD0此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 有非零解.则 取何值?0)2(543yx解:由系数行列式)2(714520)(32543 D其齐次线性方程组有非零解,则 或 .7习题二 A 组1.计算下列矩阵的乘积.(1) .23151解： .2 12572513)2()(1（2） 013(3) . 350215401324解： .350215401324 103653021679（4） 321321321 xax解： =

7、+ + +321321321 xx 23221xa211)(x313)(xa322)(xa2. 计算下列各矩阵:(1) .524解： 5243243243421243.816728（2）203解: =214397(3) .n0解： n1n01=nnnn 0101012)(10 22,1其中 .203 001n(4) n1解： =n0n010 n0101 22211 0110)1(0001 nnnnn 02)1(00 2nnnn nnn02)1(其中 , .01012 001013n5. 证明：对任意 矩阵 ， 与 都是对称方阵；而当 为 阶对称方阵时，则对任意 阶方阵 ，nmATTAnnC为对

8、称方阵.ACT证明： （1） 为 阶方阵， 又 为 阶对称方阵TATT)(T同理 为 阶对称方阵m（2） 为 阶方阵， 为 阶对称方阵 又 ACTnnAT ACTT)(为 阶对称方阵6.设 均为 阶方阵.证明:如果B,nCABE,则 .EC解: 由已知 则 .且 AB)(, BE1)( AC即 , 则 . 得 .)( ABEC1 E8.（3） 1234解： 5A0521A53171223682A131386750251A9. 解下列矩阵方程:(1) 2351X解: 由 , 511得 . 16923512321X(3) 014010解: 由 012103401231X, 即 .243013402

9、 43X11. 设 , 求BAA2,02.解: 由已知 ,)(,EB因 0162)( 3E存在, 则 1)(AA)(1由 240102024102, 312r 3106240321332 rr所以 .3122)(1AEB12.设 均为 n 阶方阵， 为 n 阶单位阵，证明： A,（1） 若 则 可逆；,BEA（2） 若 则 可逆，并求 .O432-1）（ EA解: （1）由已知 , 即 , EBAB)(,)()(所以 可逆,且 .EAEB-1）（2）由已知 ,EAA2)()(,2所以 可逆,且 .,2)( A11- ）（14.设 , 求 及 .103A4,A1解: ,323由 , 7-481-

10、297168-52-4，所以 .740974A由 , 所以 . 12-31-232-1-， 3102-321-A15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形:(1) 02-13A解: 02-13A 10)(10512-13 321232 rrr16.求下列各矩阵的秩：（2） 613405A 31240361r 15297038462413r15297036124r 60123517423r 120635所以00613)(AR17.设 ， ，且矩阵 的秩为 2，求1AaB12Ba解：因为 ，所以 =0 又因为 ， 所以 即)(RA0A001a习题三 A 组2. 设 ，其中1233()()5(), 求向

11、量 .TTT2310(41),解:由已知 , 25即 ,1231335)66、所以 .4,25209T3. 设向量组 线性无关,而向量组 试判断向123,12123132.,、量组 的线性相关性 .1,解:设数 使得 成立，即32k1230k，1213()()(2)312.kkk得线性方程组 ，其系数行列式0321k 0.12-0线性方程组只有唯一解 ，则向量组 的线性无关.321 13,5.已知向量组 问 取何值时向量组 线性无TTT()()(),c123,关或向量组 线性相关 .123,解:设数 使得 成立，k1230k得线性方程组 ， 其系数行列式 .03321ck )5(7321Tc所

12、以 线性方程组有非零解 向量组 线性相关;05c 1,线性方程组只有零解 向量组 线性无关. 236.设向量组 线性无关,证明向量组 也线性无关.123,121,解：设数 使得 成立，k1233()()0kk、得线性方程组 ， 其系数行列式0321k 210T线性方程组只有唯一解 ，所以向量组 线性无关.321k231,7. 设向量组 线性无关,判断向量组 线性相关性123,14,并证明之.解：设数 使得 成立4321,k12233441()()()0kkk、得线性方程组 其系数行列式043214k 010则线性方程组有非零解，所以向量组 线性相关 .12341,9.若向量组 线性无关,而向量

13、 不能由 线性表示,证明向量组m、21 m、21线性无关. 、m21证明: 反证法.设 线性相关,由定理 3.1 向量 可由 线性表示,这与已知条、m21 m、21件矛盾.假设不成立.所以向量组 线性无关.、m2110.判断题(结论对的请在括号内打 “” ,错的打“”)(1) 若当数 时,有 则向量组 线性无关. 021mkk 021mk m、21( ).(2) 若有 个不全为零的数 , 使得 则向量组mk,21 021k线性无关 ( ).m、21(3) 若向量组 线性相关,则 可由其余向量线性表示. ( m、21 1 ).(4) 设向量组 ; .若向量组 线性无关,则rI,)(21 mrI,

14、)(121 rI,)(21向量组 也线性无关. ( ).mr,1 (5) 若向量组 线性无关,则向量 不能由 线性表示. ( ).21， m,21(6) 若向量组 线性无关且向量 不能由 线性表示,证明向量组m，21 m21线性无关. ( ).121,m(7) 若向量 不能由 线性表示,则向量组 线性无关. ( ).m,2 ,21m，提示: 利用向量组 讨论(1)(4),(7),利用定理 3.1 和 3.2 讨论(5),(6).10,2,01,34321 12.求下列向量组的秩,并求它的一个极大无关组.(1) .TTT )3,(,)2,(,)1,( 32解: 取矩阵 3201),(321A 1

15、023201321rr所以向量组的秩为 3，极大无关组是 .1,(2) .TTTT ),2(,)147,()(,)4,1( 321 解: 取矩阵 32A 0413401331242014012473 4343132 rrr所以向量组的秩为 3，极大无关组是 .1,(3) TTTT )1,23(,)1,(,)5(,),( 4321 解: 取矩阵 A1240),(4321 00285142805435230041 432412 rrr所以向量组的秩为 3，极大无关组是 .31,14.求解线性方程组.(1) .342610513x解： 由增广阵 012201652310378 35019784612

16、351003631426053 4324342 1421 rrrr rrA所以 .23x(2) 12331x解：由增广阵 302415410232331 rrA得 , 所以此方程组无解.3)(2)(rr(3) 3231542431421xx解：由增广阵 00174517304702131235412 242412 rrrA得同解方程组 ; 434237x取 得通解 ,72413kx 10745012432kx(4) 253442111xx解：由增广阵 59701081423231124355341211rrA0075976)14(273r得同解方程组 434321795176xx取 得通解 .

17、,7,2413kx 70915076214321kx15.求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解.（1） 023431xx解：由系数阵 001531)5(215023123 rrA得同解方程组 , 取 4342315x,52413kx得通解 ， 基础解系 .1021432kx 1021，(2) 05105363242xx解：由系数阵 01204121531rA得同解方程组 取 432410x,2412kx得通解 ，基础解系 .1021432kx 1021，(4) 025314xx解：由系数阵 32650431202114302143 rrA00536)53(22r得同解方程组 , 取 , 54

18、35423161xxx 352413,5kxkx得基础解系 , 通解 .503,0520621 ， 321kk18.已知非齐次线性方程组 12)3(1212xx解: 由增广阵 210012332rA知: 当 时, , ,方程组有无穷多解,1 00112r 3)(Ar通解为 ;01321kx当 时, 3021210321031rA则 ,方程组无解;3)(2)(rr当 时, 有 ,方程组有唯一解.103)(Ar19.问 取何值时，线性方程组ba、 4231xba有唯一解，无解，无穷多解（无穷多解时并求其解）解：（1）系数行列式 = 12baA)(a当 时方程组有唯一解（克拉默法则）,0ab（2）当

19、 时， 32410rA1034a所以线性方程组无解)(R（3）当 时，1a 01204412331brbA当 时，即 时 ，方程组有无穷多解，02b)(AR同解方程组为 1231x令 得方程组的特解 取 得基础解系03x02X13x10此时全部解为 其中 为任意常数102kk20. 设 1,112432，将 表示成向量组 的线性组合.432,解: 设数 使得 得 4321,k 4321kk1243214321kk其增广阵 02010201112 32414321 rrA 410251410)41(4021)21( 3324342 rrr得 , 即 .41,41,5321 kk 43211452

20、1.设四元线性方程组 的系数矩阵的秩为 3， 是其 3 个解向量，且 ，AX21X, 8021X.求其全部解43212X解： 所以全部解为 其中 为任意常数123221)( 12380kkB 组1. 判断题(结论对的请在括号内打 “” ,错的打“”)(1) 若 ,则 维向量组 线性相关. ( )nmm,21提示:定理 3.3的推论 2.(2)若向量组线性相关,则它的任意一个部分组都相关. ( )提示:利用上面(10)题解中的 讨论.4321,(3) 若向量组 线性相关,则它的秩小于 ,反之也对. ( )m,21提示: 若向量组 的秩为 ,则若.(4) 向量组 的极大无关组为 . ( )TTT

21、)1,20()5124(,)03,( 31 21,提示: 向量组 的秩为 3.2(5) 若 阶方阵 的行列式不等于零,则 的列向量组线性相关. ( )nAA提示: 由 阶方阵 的行列式不等于零 , 方阵 的秩 ,n和 的列向量组的秩=方阵 的秩 , 则 的列向量组线性相关 . n2. 填空题(1) 向量组 的秩 = 2 .TTT )6,0(,)542(,)31(3解: 由 . 013160, 2321 rA(2) 若 都是齐次线性方程组 的解向量,则 = 0 .21,AX)43(21A解: .043)4(2121AA(3) 若向量组 线性相关,则 1 .TTT tt )1,0(,)(,)( 2

22、3解: 由 线性相关,有 .321, ,21即 .0)1()1(0, 222321 ttttA(4) 方程组 的基础解系所含向量的个数 = 1 .132x解:由系数阵的秩是 2,.(5) 方程组 的基础解系为 .04321x 10,21(6) 若线性方程组 的有解,则长数 15/4 .kx213k解: 线性方程组 的有解,则其系数阵的秩=增广阵的秩,有kx21 0A所以 .154)3(1)6(3012321 kkkrkA3. 单项选择题(1) 向量组(I)线性相关的充分必要条件是（ B ）.(A) (I)中每个向量都可由其余向量线性表示 .(B) (I)中至少有一个向量都可由其余向量线性表示.

23、(C) (I)中只有一个向量都可由其余向量线性表示.(D) (I)中不包含零向量 .提示:定理 3.2.习题四 A 组10.下列矩阵是否为正交矩阵？（1） （2）612032103解：（1） ，其中 ),(321A),(21ii )(,),(jiji),321所以 为正交矩阵（2） ，其中 ),(321 ),(3ii )(,),(jiji0),所以 不是正交矩阵11.设 是 阶对称矩阵， 是 阶正交矩阵，证明 也是对称矩阵AnBnAB1证明： 由题意可知 ， AT1T因为 所以 也是对称矩阵11)(习题五 A 组1. 设矩阵 , 试证向量 为矩阵 的属于特征值 的特征向量.13T)1,(A1解

24、：由 A所以向量 为矩阵 的属于特征值 的特征向量. T)1,(A13. 若 是矩阵 的一个特征值 , 是正整数,试证 是矩阵 的一个特征值.0mm0A证明: 由 是矩阵 的一个特征值,存在非零向量 ,使得 成立,即 是矩阵0A的属于特征值 的特征向量.那么有0 mmmmm AAA 020201011)( 所以 是矩阵 的一个特征值.04. 若 是矩阵 的一个特征值 ,试证（1） 是矩阵 的一个特征值;20EA2（2）若 ,矩阵 的特征值只能等于-2 或 1.A证明: 由 是矩阵 的一个特征值,存在非零向量 ,使得 成立,即 是矩阵00AA的属于特征值 的特征向量.那么有0(1) )2()2(

25、 0022 EAEA所以 是矩阵 的一个特征值.02(2) 由 , 和 , , 有 ,)()2(02 020得 ,即矩阵 的特征值只能等于-2 或 1.120， A7. 求下列矩阵的特征值与特征向量.(1) 3解：由 0)2(14)2(32 AE得特征值 .,12当 时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组 ，1 0XAE即 ,其基础解系 .所以矩阵 的属于特征值 的全部特征向量为 ,0242x2111k其中 是任意非零常数.1k当 时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组 ，2 02XAE即 ,其基础解系 .所以矩阵 的属于特征值 的全部特征向量为 ,0421x1222k其中 是任意非零常数.k

26、(2) 41A解：由 0)3(1)2(422E得特征值 .321当 时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组 , 03XAE即 ,其基础解系 .所以矩阵 的属于特征值 的全部特征向量为 ,012x1321k其中 是任意非零常数.k(3) 3102A解：由 3)2(1)3()2(1 E得特征值 .231当 时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组 ，2 02XAE即 ,其基础解系 .所以矩阵 的属于特征值 的01032x 10,21.231全部特征向量为 ,其中 是任意不同时为零常数.2k21,k8. 设 为 3 阶矩阵,满足 , 求A 023,AEAE(1) 的特征值 ; (2) 的行列式 .解:

27、 (1) 因 得 因 即 得,0;1,0)1(3,0AE;12因 即 得,02323AEAE ,02.23(2)由 和 ,有 .,1,321319. 已知矩阵 xA47的特征值 求 的值，并求矩阵 特征向量。,12,321A解：由 和 ,321A因 ，243)74()(3047141732 xxxrxA,08321得 .,xx当 时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组 ，321 03XAE即 ,由其基础解系 .所以矩阵 的属于特征值 的全04321x 41,021321部特征向量为 ,其中 是任意不同时为零常数.21k21,k当 时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组 ，23 012XAE即

28、,由其基础解系 .所以矩阵 的属于特征值 的全0841532x 4,021321部特征向量为 ,其中 是任意不同时为零常数.21k21,k12. 设 3 阶矩阵 的特征值为-2，-1 ，3，矩阵 ，求矩阵 的行列式 。A253BAEB解 因为 的特征值为-2，-1，3， 。所以 的特征值为 17，9，-3，2所以 。45917B17.设 为 阶可逆矩阵，且 相似于 ，试证：AnAB（1） 为可逆矩阵 （2） 相似于11（1）证明：因为 相似于 ，所以存在可逆矩阵 使 PAB1PAP11因为 为 阶可逆矩阵，所以 ，即 所以 为可逆矩阵n0（2）因为 ，所以 ，所以 相似于APB1AB111-)

29、(11B19. 已知 3 阶矩阵 与 相似， 的特征值为 ，求行列式 的值。234、E解 因为 与 相似，所以 与 有相同的特征值，所以 的特征值也为 ，所以 的特征B234、E1值为 1,2,3，所以 。6321EB24试证：若正交矩阵有实特征值，则该特征值等于 1 或 .证明：设 为正交矩阵 的特征值， 为对应的非零特特征向量A或)()(TT 20,1即该特征值等于 1 或 .25.若 为奇数阶的正交矩阵，且 ，试证 1 是 的一个特征值AA证明： EEAEnTT )(因为 为奇数，所以 即 ，n 0所以 1 是 的一个特征值A26. 若 为 阶正交矩阵，且 ，试证 是 的一个特征值n1A

30、证明： 即 ，EETT 0AE所以 是 的一个特征值127.若 是正交矩阵 的特征值 ，试证 也是 的一个特征值A)0(1A证明：因为 是正交矩阵 的特征值，所以 是 的一个特征值1又因为 而且 与 的特征值相同，所以 是 的一个特征值T1T28. 下列矩阵 为是对称阵，求正交矩阵 ，使 为对角矩阵AQAT 12解 ，所以 。2310EA123、当 时， ，所以321当 时， ，所以110EA21因为 是属于不同特征值的特征向量，所以是正交的，将 单位化，得12、 2、， ， ，122121Q13TAQ第六章1. 写出下列二次型的矩阵 ； 解 2211,3fxx321A ； 解 1212,fx

31、01 ；2212313123,54fxxx解 0231A ； 解 1231232,fxxx01A ； 解 221231,4fxx2102. 写出下列对称矩阵对应的二次型 解 ； 1A2211,fxx ； 解 021212,4f ； 解 103A2212313,fxx ； 解 211231232,46fxxx ； 解 30A221231,fxxx3. 求二次型 的22123131323, 40fx秩.解 500213A所以 ，所以 的秩也为 2.r2,fx4. 已知二次型 的秩等于 1，求 的值.211,4txt解 ，因为 的秩等于 1，所以1204Att12,fx，所以 ，即 .r8. 判定下

32、列二次型是否为正定二次型 221231313,454fxxxx解 ，40， ，05A80280A所以 是正定二次型.123,fx 221313265xxx解 ，20， ， 所以 不是正定二次型.3512A7031123,fx9. 当 取何值时，下列二次型为正定二次型t 221231313,5fxxtx解 ，要使二次型是正定二次型，则 ，05tA10tA解得 .2t 2212313113, 4fxxxt解 ，要使二次型是正定二次型，则 ，即 ，即 ，解得 04tAt 0A2840t2t.2t10.设 为 阶正定矩阵，试证n1EA证明：由题意可知， 的特征值都是非负的，则 的每个特征值都大于 1，又因为 等于所有EAEA特征值的乘积，所以